圆锥曲线解题技巧和方法综合.doc

1、圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 ， ，代入方程，(,)xy1(,)2然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论） ，消去四个参数。如：（1） 与直线相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)，则有 。)0(12bayx 020kba（2） 与直线 l 相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有),(2 20yx（3）y 2=2px（p0）与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.典型例题

2、给定双曲线 。过 A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及 ，求线段 的中xy2P12P12点 P 的轨迹方程。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点 P，与两个焦点 、 构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 F12典型例题 设 P(x,y)为椭圆 上任一点， ， 为焦点， ，xayb2Fc10(,)2(,)PF12。PF21（1）求证离心率 ；sin)(e（2）求 的最值。|PF132（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，

3、如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题 抛 物 线 方 程 ， 直 线 与 轴 的 交 点 在 抛 物 线 准 线 的 右 边 。ypxxyt210()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为 A、B，且 OAOB，求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。（1） ，可以设法得到关于 a 的

4、不等式，通过解不等式求出 a 的范围，即：“求范围，找不等式” 。或者将 a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出 a 的范围；对于（2）首先要把NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想” 。最值问题的处理思路：1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求 x、y的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题已知抛物线 y2=2px(p0)，过 M（a,0）且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不

5、同的两点 A、B，|AB|2p（1）求 a 的取值范围；（2）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求NAB 面积的最大值。（5）求曲线的方程问题1曲线的形状已知-这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题已知直线 L 过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上。若点 A（-1，0）和点 B（0，8）关于 L 的对称点都在 C 上，求直线 L 和抛物线 C 的方程。2曲线的形状未知-求轨迹方程典型例题已知直角坐标平面上点 Q（2，0）和圆 C：x 2+y2=1, 动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数 （ 0）,求动点 M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。 MN

6、QO（6） 存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。 （当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）典型例题 已知椭圆 C 的方程 ，试确定 m 的取值范围，使得对于直线 ，椭圆 C 上有不xy2431yxm4同两点关于直线对称（7）两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用 来处理或用向量的坐标运算来处理。kyx1212典型例题 已知直线 的斜率为 ，且过点 ，抛物线 ，直线 与抛物线 C 有两个不同lP(,)0Cyx:()241l的交点（如图） 。（1）求 的取值范围；k（2）直线 的

7、倾斜角 为何值时，A、B 与抛物线 C 的焦点连线互相垂直。l四、解题的技巧方面：在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。典型例题 设直线 与圆 相交于 P、Q 两点，O 为坐标原点，若 ，340xymxy20OPQ求 的值。m（2） 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它

8、，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题 已知中心在原点 O，焦点在 轴上的椭圆与直线 相交于 P、Q 两点，且 ，yyx1OQ，求此椭圆方程。|PQ102（3） 充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题 求经过两已知圆 和 0 的交点，且圆心在直线 ：Cxy12420： Cxy224： l上的圆的方程。2410xy（4）充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题这也是我们常说的三角代换法。典型例题 P 为椭圆 上一动点，A 为长轴的右端点，B 为短轴的上端点，

9、求四边形 OAPB 面积的最大21xyab值及此时点 P 的坐标。（5）线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是：把直线方程 代入圆锥曲线方程中，得到型ykxb如 的方程，方程的两根设为 ， ，判别式为，则axbc20xAB| |ABxAB12，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。|12k例 求直线 被椭圆 所截得的线段 AB 的长。xy10xy2416 结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。例 、 是椭圆 的两个焦点，AB 是

10、经过 的弦，若 ，求值F12xy2591F1|AB8|22BFA 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例 点 A（3，2）为定点，点 F 是抛物线 的焦点，点 P 在抛物线 上移动，若yx24y24x取得最小值，求点 P 的坐标。|PAF圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率 tan,0,)k点到直线的距离 夹角公式：2AxByCd21tank（3）弦长公式直线 上两点 间的距离：ykxb12(,)(,)AxyB21ABkx或2211()4122yk（

11、4）两条直线的位置关系 =-1 121lk212121/bkl且2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：21(0,)xymn且距离式方程： 22)(cxcya参数方程： os,inxayb(2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：21(0)xymn距离式方程： 22|()()|xcyxcya(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？22bbpaa椭 圆 ： ； 双 曲 线 ： ； 抛 物 线 ：(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知 是椭圆 的两个焦点，平面内一个动点 M 满足 则21F、 1342yx 21F动点 M 的轨迹是（ ）A、双曲线；B、双曲线的

12、一支；C、两条射线；D、一条射线(5)、焦点三角形面积公式： 12tanFPPb在 椭 圆 上 时 ， S12co在 双 曲 线 上 时 ，（其中 ）22112 12|4,cos,|cs|FcFP PFP (6)、记住焦半径公式：（1） ，可简记0 0;xaexaey椭 圆 焦 点 在 轴 上 时 为 焦 点 在 y轴 上 时 为为“左加右减，上加下减” 。（2） 0|xexa双 曲 线 焦 点 在 轴 上 时 为（3） 1 1|,|22ppy抛 物 线 焦 点 在 轴 上 时 为 焦 点 在 y轴 上 时 为(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）

13、设 、 ， 为椭圆 的弦 中点则有1,yxA2,yxBbaM, 1342yxAB， ；两式相减得3421134202121y=21212121 yyxxABkba432、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式 ，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点0，将这两点代入曲线方程得到 两个式子，然后 - ，整体12(,)(,)AxyB 1 2 1 2消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点 A、B、F 共线解决

14、之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为 ，ykxb就意味着 k 存在。例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆 上，且点 A 是椭圆短轴的一80542yx个端点（点 A 在 y 轴正半轴上）.（1）若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC 的方程;（2）若角 A 为 ，AD 垂直 BC 于 D，试求点 D 的轨迹方程.09分析：第一问抓住“重心” ，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC 的斜率，从而写出直线 BC 的方程。第二问抓住角 A 为 可得出 ABAC，从而得09，然后利用联立消元法及交轨法求出点 D 的轨迹方程；0

15、16)(14221 yyx解：（1）设 B（ , ）,C( , ),BC 中点为( ),F(2,0)则有x2xy0,yx1620,2yyx两式作差有 (1)016)()( 222121 yyxx 045kyxF(2,0)为三角形重心，所以由 ，得 ，由 得 ，代入323021 20y（1）得 直线 BC 的方程为56k 856yx2)由 ABAC 得 （2）01)(14221 yx设直线 BC 方程为 ，得85,xbky代 入 08510)54(22bkxk，221540bx2214805x代入（2）式得21221 5480,548kbyky，解得 或06392b)(舍 94b直线过定点（0，

16、 ，设 D（x,y） ，则 ，即)94 14xy 0163292yxy所以所求点 D 的轨迹方程是 。)(920)16(2 yx4、设而不求法例 2、如图，已知梯形 ABCD 中 ，点 E 分有向线段 所成的比为 ，双曲线CDAB2AC过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点当 时，求双曲线离心率 的取值范围。43e分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系 ，如图，若设 CxOy，代入 ，求得 ，进而求得 再代入 ，建立目hc, 212byaxh ,Exy 12ba标函数 ，整理 ，此运算量可见是难上加难

17、.我们对 可采取设(,)0fc(,)0fe h而不求的解题策略,建立目标函数 ，整理 ,化繁为简.(,)fabc(,)fe解法一：如图，以 AB 为垂直平分线为 轴，直线 AB 为 轴，建立直角坐标系yx，则 CD 轴因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，xOyy由双曲线的对称性知 C、D 关于 轴对称 y依题意，记 A ，C ，E ，其中 为双曲0 ,ch, 20 ,x|21c线的半焦距， 是梯形的高，由定比分点坐标公式得h， 1210ccx 0hy设双曲线的方程为 ，则离心率2baxace由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和 代入双曲线方程得， 142bhe 1124

18、2bhe由式得 ， 142ebh将式代入式，整理得 ，故 2142132e由题设 得， 解得432321e 07e所以双曲线的离心率的取值范围为 10, 分析：考虑 为焦半径,可用焦半径公式, 用 的横坐标表示，回避AEC,AEC,的计算, 达到设而不求的解题策略h解法二：建系同解法一， ，,ECAaexaex，又 ，代入整理 ，由题设 得，211Eccx1C132e432解得 4323e 07所以双曲线的离心率的取值范围为 1, 5、判别式法例 3 已知双曲线 ，直线 过点 ，斜率为 ，当 时，双曲线12:xyCl0,2Ak10的上支上有且仅有一点 B 到直线 的距离为 ，试求 的值及此时点

19、 B 的坐标。分析 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B 作与 平行的直线，必与双曲线 C 相切. 而相切的代数表现形式是所l构造方程的判别式 . 由此出发，可设计如下解题思路：01)2(: kxkyl kkxyl 2: 把直线 l的方程代入双曲线方程，消去 y，令判别式 0直线 l在 l 的上方且到直线 l 的距离为 2的 值解 得 k解题过程略.分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点 B 到直线 的距离为 ”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出l2如下解题思路：简解：设点 为双曲线 C 上支上任一点，则点 M 到直线 的距离为：)2,(xM l212k10k于是，问题即可转化为如上关于 的方程.x由于 ，所以 ，从而有10kk2 .22kxkxk 于是关于 的方程x)1(22kk0)1( ,)(22xkxx.)( ,02)1(2)(22 kk由 可知：10方程 的二根同正，故 02)1(2)1(22 kxkkxk转化为一元二次方程根的问题求解问题关于 x 的方程 有唯10212kkx一解