中国人民大学第四版高等数学一第10章课后习题详解.doc

1、1 B(0,1)A(1 ,0)x+y=1xyo第 10 章课后习题详解 曲线积分与曲面积分 例题分析 1. 计算 dsyxL )(，其中 L 为连接 )0,0(O ， )0,1(A ， )1,0(B 的闭折线。 知识点： 第一类曲线积分 . 思路 : L 由三段直线段组成，故要分段积分 . 解： 如图 L OA AB BO 则 dsyxL )( OA( AB BO dsyx )(10,0: xyOA ， dxdxyds 2)(1 ， 2121)0()( 10210 xdxxdsyxOA 10,1: xxyAB ， dxdxyds 2)(1 2 ， 2221)( 1010 xdxdsyxAB 注

2、： 利用被积函数定义在 AB 上，故总有 1),( yxyxf 10,0: yxBO ， dydyxds 2)(1 2121)0()( 10210 ydyydsyxBO 2121221)( dsyxL . 注： 1) BAAB dsyxdsyx )()(， OBBO dsyxdsyx )()(对弧长的曲线积分是没有方向性 的，积分限均应从小到大 . 2)对 AB 段的积分可化为对 x 的定积分，也可化为对 y 的定积分，但 OA 段， OB 段则只能化为对x （或对 y ）的定积分 . 2.计算 Lyds，其中 L 为 圆周 4)2( 222 aayx . 知识点： 第一类曲线积分 . 思路

3、: L 为 圆周 用极坐标表示 较简单 . 解： L 的极坐标方程： 0,s inar addaadrrds 2222 )c o s()s i n()( 2s ins in ary 2 220 20 222 212212s i n 2s i n aadaaday d sL . 3. 计算曲线积分 dszyx 2221 ，其中 为曲线 ttt ezteytex ,s in,c o s , 应于 t 从 0 到 2 的一段弧 . 知识点： 第一类曲线积分 . 思路 : 空间曲线，用空间间曲线 第一类曲线积分公式 . 解： dtedtetetedtzyxds tttt 3 )s i n()c o s

4、()()()( 222222 原式 = dtedtee ttt 202022t 2331e 1 )1(2323 220 ee t. 1. 计算曲线积分 dsxzzx 22，其中 为球面 2222 Rzyx 与平面 0 zyx 的交线。 知识点： 第一类曲线积分 . 思路 : 的参数方程不易求出，不好 用 空 间 间 曲 线 第 一 类 曲 线 积 分 公 式 ， 但 满足2222 Rxzzx ， 故总有 2222 Rxzzx . 解： 0: 2222 zyx Rzyx 即 0 2:222zyxRxzzx 原式 = 22 2R 2222 RRdsRdsR 注： 1)利用被积函数 xzzxzyxf

5、 22),( 定义在 上，故总有 2222 Rxzzx ，是常用的一种简化运算的方法 . 2) 为平面 0 zyx 上的 一个 圆，圆心 )0,0,0( ，半径为 R . 课后习题全解 习题 10-1 1. 设在 yx0 面内有一分布着质量的曲线弧 L，在点 ),( yx 处它的线密度为 ),( yx ，用对弧长的曲线积分分别表达： 1) 该曲线弧对 x 轴、 y 轴的转动惯量 xI 和 yI ； 2) 该曲线弧的质心坐标 x 和 y . 3 (0,1 )(1,0 )x+y= 1xyO知识点： 第一类曲线积分的概念及物理意义 . 思路 : xOy 面内的一段 曲线 L ，其线密度为 ),( y

6、x ，则 1)线段 L 的质量为： L dsyx ),(2)线段 L 关于 x 轴和 y 轴的静力矩为： L Lyx dsyxxMdsyxyM ),(,),( 3)线段 L 对 x 轴和 y 轴的转动惯量： Lx dsyxyI ),(2， Ly dsyxxI ),(2解： 由第一类曲线积分的概念及物理意义得 (1) Lx dsyxyI ),(2, Ly dsyxxI ),(2(2) LLxLLy dsyxdsyxyMMydsyxdsyxxMMx),(),(,),(),( 2. 计算 L dsyx 22，其中 )2(0 s in ,c o s: txaytaxL 。 解： 法一： a d tdt

7、tatadtyxds 2222 )c o s()s i n()()( 原式 = 20 222 2)s in()c o s( aa d ttata法二：原式 = 22 2 adsadsaLL .(利用性质 2) 3. 计算 L dsyx )(，其中 L 为连接 )0,1( ， )1,0( 两点的直线。 解： 直线方程为： 10,1 xxy dxdxyds 2)(1 2 原式 = 10 221 dx 4计算 L dsyx )( 3/43/4，其中 L 为内摆线 )0( 3/23/23/2 aayx 的弧。 解： 摆线的参数方程为： 20,s in,c o s 33 ttaytax dtttadtt

8、tattadtyxdsc o ss i n3 )s i nc o s3()c o ss i n3()()( 222222 原式 20 443/4 c o ss in3)s in( c o s dtttatta4 1B3AxzDyC3/72062063/72052053/720443/44s i n616112c o ss in s inc o s 12c o ss in3)s in( c o s 4attoscat d ttt d ttat d ttatta 5. 计算曲线积分 dszyx )( 222，其中 为螺旋线 ktztaytax ,s in ,c o s 上相应于t 从 0 到 2

9、的一段弧。 解： dtzyxds 222 )()()( dtkadtktata 22222 )c o s()s i n( 原式 20 222222222 )43(32)( kakadtkakta 6. 计算曲线积分 zydsx2，其中 为折线 ABCD ,这里 A , B , C , D 依次为点 )0,0,0( ，)2,0,0( ， )2,0,1( ， )2,3,1( . 解： 如图， 原式 = CDBCAB zydsx 2 AB ： )20(,0,0 ttzyx 00 2 ABAB dsz y d sxBC ： )10(2,0, tzytx ， 00 2 BCBC dsz y d sx C

10、D ： )30(2,1 tztyx ， dtdtzyxds 222 )()()( 921 302302 tt d tz y d sxCD 原式 = 9900 . 7. 计算 Lxds，其中 L 为对数螺线 0)( kaer k 在圆 ar 的内部。 解： 依题意： aaek 得 0 dkaeda k eaedrrds kkk 22222 1)()()( 0 21c o s dkaeaex d s kkL 0 222 c o s 1 deka k222 41 12 k kka . 5 x- o 8. 计算曲线积分 dszy 222，其中 为球面 2222 azyx 与平面 yx 的交线。 解：

11、: 2222 yx azyx 即 2: 222 yx azy 法一： 的参数方程为： )20(s in,c o s2,c o s2 ttaztaytax adtdtzyxds 222 )()()( 原式 = 20 22 2 adtaa法二： 原式 = 22 2 2 aaadsadsa 9. .求半径为 a 、中心角为 2 的均匀圆弧（线密度 )1 的质心 . 解： 取扇形的角平分线为 x 轴，顶点为原点建立平面直角坐标系，则 圆弧的方程为： )(s in,c o s ayax addtatadyxds 2222 )c o s()s i n()()( 由图形的对称性和 1 知 0y ，而 s i

12、 ns i n2 c o s2 12 aaadaaax d sMMx Ly 故质心在（ 0,sina） . 10. 求螺旋线 )20( ,s in ,c o s tktztaytax ，对 z 轴的转动惯量，设曲线的密度为常数 . 解： dtktatadtzyxds 222222 )c o s()s i n()()()( dtka 22 22220 22222 2 )( kaadtkaadsyxI z . 11. 设螺旋形弹簧一圈的方程为 ktztaytax ,s in ,c o s ，其中 20 t ，它的线密度222),( zyxzyx . 求： (1) 螺旋形弹簧关于 z 轴的转动惯量

13、zI ; 6 L 3L 2L 1y=xxyo(2) 螺旋形弹簧的重心 . 解 : dtktatadtzyxds 222222 )c o s()s i n()()()( dtka 22 (1) 20 222222 22 )()( dtkatkaadsyxI z)382()3( 22222220322222 kakaatktakaa . (2) dsyxM ),( 20 22222 )( dtkatka)382()3( 222222032222 kakatktaka 螺旋形弹簧关于 xOyzOxyOz , 平面的静力矩分别为： dsyxxM x ),( 20 22222 )(c o s dtkat

14、kata2222020222202202222220222202224)c o sc o s(20s i n2s i n)(0c o s)(c o skakat d tttkkaat d ttkttkakaat d ttkat d takaa同法得： dsyxyM y ),( 20 22222 )(s in dtkatkata2222202022222202202222220222202224)s i ns i n(24c o s2c o s)(0s i n)(s i nkakat d tttkkkaat d ttkttkakaat d ttkat d takaa ),( dsyxzM z 2

15、0 22222 )( dtkatkakt )2(2)42( 22222220422222 kakaktktakak . 222243 6 ka akMMx x , MMy y222243 6 ka ak MMz z222222 43 )2(3 ka kak . 提高题 7 1. 计算 dseL yx 22，其中 L 为正向圆周 222 ayx ，直线 xy 及 x 轴在第一项限内所围成的扇形的整个边界 . 解： xy 与 222 ayx 在第一象限的交点为 )22,22( aa . 如图： 321 LLLL ;0,0:1 axyL dxdxyds 2)(1 20,:2 axxyL ; dxdx

16、yds 2)(1 2 axaxayL 2,: 223 ; dxxa adxyds 222)(1 . 则 原式 322222122 L yxL yxL yx dsedsedse dxxa aedxedxe aa aa xa x 22220 20 2 aaaaxax axa r caeee22020 s in.2)42()42()1(2 aeaee aaa 2. 计算 zds，其中 为圆柱面 4)2( 222 ayax 与锥面 22 yxz 的交线 . 解： 4)2(:22222yxazayax ，参数方程为 22 c o ss inc o sc o s:2 ttazttaytaxdttadtzy

17、xds 2222 s in1 202220222022222s i ns i n12s i n1c o s2s i n1c o s2s i n1c o stdtadtttadtttadttataaz d s 10 22 12 s in duuatu 又 10 210 210 2210210 2 1 112111 duuduuduuuuuduuI 8 oyxCB(0,2)A2)21l n (2)21l n (2)1l n (21 122 10210 2 IuuduuI故 zds 22 )21ln (22 )21ln (22 aa .(此题请核查 ) 10.2 第二类曲线积分 内容概要 名称 主要

18、内容 第二类曲线积分 1.平面曲线： L dyyxQdxyxP ),(),(2.空间曲线： dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),(),(),(常用的性质 1 L L其中 L 表曲线的某一方向 (正 向 ), L 表曲面的另一方向 (负向 ) 2.若 21 LLL ,则 L 1L 2L计算 (平面曲线 ) )( )(: tyy txxL，起点 t ，终点 t ，其中 )(),( tytx 具有一阶连续的导数，则 dttytytxQtxtytxPdyyxQdxyxPL )()(),()()(),(),(),( 计算 (空间曲线 ) )()()(:tzztyytxx,起点 t ，终点 t ，其

19、中 )(),(),( tztytx 具有一阶连续的导数，则 dttxtztytxPP d x )()(),(),( dttytztytxQQd y )()(),(),( dttztztytxRR d z )()(),(),(例题分析 1. 计算 L dyyxdxyx )()( 2222，其中 L 是 )1,1()2,0()1,1(),0,0( CBAO 为顶点的正方形的正向边界 . 知识点： 第一类曲面积分 . 思路 : 如图 L 由四段直线段组成，故要分段积分 . 解： 如图 L OA AB COBC 9 则 L dyyxdxyx )()( 2222 OA( AB BC CO dyyxdxy

20、x )()() 2222 xxxy xxOA (,10 ,: 变化从 0 到 )1 322)()( 2102222 dxxdyyxdxyxOA xxxy xxAB (,10 ,2,: 变化从 1到 )0 314)2(312)2(2)1()2()2()()(0132012222012222 xdxxdxxxxxdyyxdxyxAB (, 01,2: xxxyBC 变化从 0 到 )1 3231221)2()2()()(1032102222102222 xdxxdxxxxxdyyxdxyxBC xxxyCO (, 01,: 变化从 1 到 )0 323122)()()(01320122012222

21、 xdxxdxxxdyyxdxyxCO 4323231432)()( 2222 L dyyxdxyx . 2计算曲线积分 222 zyx dzxd yyd x，其中 为曲线 ttt ezteytex ,s in,c o s 上对应 于 t 从 0 到 2 的一段弧 . 知识点： 第一类曲面积分 . 思路 : 空间曲线，用空间间曲线 第一类曲线积分公式 . 解： 原式 20 22222 s i nc o s)c o ss i n(c o s)s i nc o s(s i n ttt ttttttt etete dtedttetetedttetete )3(21)(21)1(212 2202020

22、 22 eetdtedte ee ttttt . 10 x1yOB(1,1)AL 2xL 1yoxyo课后习题全解 习 题 10-2 1.计算 L xdyydx sin，其中 L 为 )0( s in xxy 与 x 轴所围成的闭曲 线，依顺时针方向 . 解： 如图 21 LLL 其中 xxyL , sin:1 变化从 0 到 ， xyL , 0:2 变 化从 到 0 , 1 s in1 L xd yyd xI 0 02 )s i n21c o s(c o ss i ns i n xxx d xxx d x 2 02 00s in0 s in2 xddxx d yy d xI L 原式 2s

23、in2121 IIx d yy d xLL 2.计算 L xdyydx，其中 L 为圆周 tRytRx s in,c o s 上对应于 t 从 0 到 2 的一段弧 . 解： 原式 20220 2c o sc o sc o s)s i n(s i n t d d tRt d tRtRdttRtR 02sin2 202 tR 3.计算曲线积分 L xx dyyexdx 22，其中 L 为从 )0,0(O 经 22 xxy 到点 )1,1(B 的那一段 . 解： xxxyL , 2: 2 变化从 0 到 1 原式 10 22210 2 )1(22 222 22 dxxex d xdxxx xexxx d x xxxxeex xx 21)2121( 1022 2 . 4.计算曲线积分 L yx dyyxdxyx 22 )()(，其中 L 为圆周 222 ayx （按逆