空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题详细答案.doc

1、【巩固练习】一、选择题1. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1） ， （-1 ，1，2） ，则下列向量中是平面的法向量的是( )A. （-1，-2，5） B. （-1，1，-1 ） C. （1， 1，1） D. （1，-1，-1）2. 如图， 是正方体， ，则 与 所成角的余弦值是1ABCD114ABE=DF1EDF（ ）A B1752C D833. 如图， 是直三棱柱， ，点 分别是 的中点，1ABC90BCA1DF、11ABC、若 ，则 与 所成角的余弦值是（ ）11FA B 032C D151054. 若向量 与 的夹角的余弦值为 ，则 ( )(2)a， ， (2)b， ， 89A

2、 B C 或 D2 或2 2555. 在三棱锥 中， ， ，点 分别是 的中点，PAC、1AB=PO、ACP、底面 ，则直线 与平面 所成角的正弦值（ ）OODA B 62138C D00216.（2015 秋 湛江校级期末）在正四棱锥 SABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱 SD 的中点，且 SO=OD，则直线 BC 与平面 PAC 的夹角是（ ）A30 B45 C60 D75 7. 在三棱锥 中， ， ，点 分别是 的中点，PC、A1=2BA、ACP、底面 ，则直线 与平面 所成角的正弦值是（ ）OODPA B C D2168321062103二、填空题8若平面 的一个法向量

3、为 ，直线 的一个方向向量为 ，则 与 所成0n、l 1=b、l角的余弦值为 _9正方体 中， 分别为 的中点，则异面直线 与 所1ABCDEF、1ABC、 EF1AC成角的大小是_.10. 已知三棱锥 S中，底面 为边长等于 2 的等边三角形， S垂直于底面， =3，那么直线 与平面 S所成角的正弦值为 . 11. 如图，正方形 ABC所在平面与平面四边形 ABEF所在平面互相垂直， ABE是等腰直角三角形， ,45EF，则平面 和平面 的夹角余弦D值是_.三、解答题12. 如图，点 在正方体 的对角线 上， .P1ABCD1DB60PA（）求 与 所成角的大小；D1（）求 与平面 所成角的

4、大小.P1A13. 如图，四棱锥 的底面 是菱形，其对角线 ， ， ，FBCDA2ACBDAE都与平面 垂直， ， ，求平面 与平面 的夹角大小.CFA1E 2FBF14. 如图（1） ，在 Rt 中， 90， 3， 6， 分别是 ，ABCBCADE、AC上的点，且 ， ，将 沿 折起到 的位置，使ABDE2、DE1，如图（ 2） 1C(1)求证： 平面 ；1(2)若 是 的中点，求 与平面 所成角的大小；MCM1AB(3)线段 上是否存在点 ，使平面 与平面 垂直？说明理由BPDP1E15 (2016 浙江理 )如图，在三棱台 ABC-DEF 中，平面 BCFE平面 ABC，ACB90 ，B

5、E EFFC1 ，BC 2，AC3()求证：EF 平面 ACFD；()求二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值.【答案与解析】1.【答案】B【解析】排除法.平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零. 排除 A，C，D，选项为 B.2.【答案】A【解析】设正方体的棱长为 1，以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，则D-xyz13(1,0)(,)(0,)(,)44BEF所以， ，1(,)(,)(,)DF，174BE， 174，1 150()6所以， 11cos,56.174BEDF因此， 1BE与 DF所成的角的余弦值是 53.【答案】A【解析】如图所示，以 为原点建立的

6、空间直角坐标系，C则 1111,0,0,0,AB由中点公式可知， ，22DF、，1102B、 .1-34cos52AF、4.【答案】C【解析】由 可得， ，即 ，cos=ababA、21084 250 即 或 .2 55.【答案】D【解析】.22214214,0,0,0.,02OPABCOABCPzOxyzaABaCaPDa 平 面 ， ， ， ，以 为 原 点 ， 射 线 为 非 负 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 ，设 ， 则 ， ， ， ，14,1,720cos, .31sinc,0210.3ODPBCnODnPBC可 求 得 平 面 的 法 向 量 设 与 平 面

7、所 成 的 角 为 ，则 与 平 面 所 成 角 的 余 弦 值 为6.【答案】A【解析】如图，以 O 为坐标原点，以 OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，以 OS 为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz。设 OD=SO=OA=OB=OC=a，则 A（a，0 ，0 ） ，B （0，a，0 ） ，C（a，0，0） ， ，(0,)2aP则 ，(2,)(,),)2CPB设平面 PAC 的一个法向量为 ，n则 ，0,nA ，可取 ，2axyz(0,1)n ，2cos,|CBan ，,60直线 BC 与平面 PAC 的夹角为 9060=30故选 A。7.【答案】D【解析】 .222,0,0,0.OPA

8、BCOABCPzOxyzaaaOPh 平 面 ， ， ， ，以 为 原 点 ， 射 线 为 非 负 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 ，设 ， 则设 ， 则 ,7214,0,1,720cos, .31sinc,0.AaDaPBCnODn 可 求 得 平 面 的 法 向 量 设 与 平 面 所 成 的 角 为 ，则 8.【答案】 3【解析】 由 ，知 与 所成角的余弦值为2(3,0)1,6cos3n,bl.63199.【答案】 30【解析】 以 A 为原点建立直角坐标系（如图所示） ，设 B（2，0，0） ，则 E（1，0，0） ，F（2，2，1） ，C 1（2，2，2） ，A

9、 1（0，0，2） ， ， ，(,)(,0) ，11(,),3cos, 2|6EA zyxPODCBA .1cos,30EFAC10.【答案】 34【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E，连结 SE，过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于F，连 BF，正三角形 ABC， E 为 BC 中点， BCAE，SABC， BC面 SAE， BCAF，AFSE， AF面 SBC，ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角，由正三角形边长3， AE， AS=3， SE= 23，AF= ， 3sin4BF.11.【答案】

10、31【解析】因为ABE 为等腰直角三角形，AB=AE，所以 AEAB. 又因为平面 ABEF平面 ABCD，AE 平面 ABEF，平面 ABEF平面 ABCD=AB，所以 AE平面 ABCD.所以 AEAD.因此，AD，AB，AE 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立 如图所示的直角坐标系 A-xyz.设 AB=1，则 B（0，1，0） ，D (1， 0， 0 ) ， E ( 0， 0， 1 )， C ( 1， 1， 0 ).因为 FA=FE， AEF = 45，所以AFE= 90.从而， (,)2F.所以，设平面 BDF 的一个法向量为 1n，并设 1=（x，y，z）.，10BD=、 32F、

11、 ， 由 得.nA01.xyz取 y=1，则 x=1，z=3.从而 1n3（ ， ， ）.由 AE平面 ABCD 可知，平面 ABD 的一个法向量为 ，01AE=、设平面 和平面 的夹角为 ，则BDFA.1031cosnE=、12.【解析】如图，以点 为原点建立空间直角坐标系 ，设 为单位长，则DDxyzA= ， = .连结 ， ，在平面 BB1D1D 内，延长 DP，交 于点 H，BD1 1BD设 = ( m 0 )， 由条件知 = 60.由 =| | |cos ，可得 2m = .解得 m = .所以 = .（）因为 cos= ，所以= ，即 与 所成的角的大小是 45.DP1C（）因为平

12、面 的一个法向量是 ，又 cos= ，所以= . 即 与平面 所成角的大小为 60.DP1A注意：由于点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 D1B 上且PDA=60，直接设点P 的坐标则会出现多个变量，因为所求的两问都是求与 DP 相关的角度问题，因此根据点P 的位置特征只确定 DP 所在的直线的位置即可，因此出现上面解法. 显然尽管求解过程是用向量的坐标方法，但空间想象与思辨论证的要求并没有降低，体现了对学生全面的几何方法的考查.13.【解析】如图，以 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系.设平面 的法向量为 ，ABF则由 得令 ，得 .同理，可求得平面 的法向量 .ADF因为 ，所以平面 与平面 垂直.ABFD所以平面 与平面 的夹角 .ABFD214.【解析】15.【 解析】()延长 AD，BE，CF 相交于一点 K，如图所示