概率论与数理统计练习题.doc

1、1第一章应用题1. 设有 n 个球，每个球都等可能地放入 N（ ）个盒子中去，n试求每个盒子至多有一个球的概率。解：将 n 个球放入 N 个盒子中，每一种放法是一个基本事件，这是等可能事件。因为每个球都可以放入 N 个盒子中的任意个盒子中，故共有 种不同的放法。n而每个盒子至多有一个球，共有 种不同的放(1)(1)n法，因此所求概率为2. 某人有 5 把钥匙，其中有 2 把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪 2 把，只好逐次试开，问此人在 3 次内打开房门的概率是多少？解法一：设 表示事件“第 k 次才打开房门” （k=1,2,3） ，则kA用 A 表示事件“3 次内打开房门” ，则 而 两两互不

2、相容，因此1213,(1)().nNnANP1212113 312()5()|)5401(|(|)543PPAA1213A112123()()()3950PPA2解法二：因为 ，有 123A故 P(A)=9/10.3.甲、乙两人进行射击比赛，根据以往数据可知，甲命中率为0.9，乙命中率为 0.8. 现在甲、乙两人各独立地同时向目标射击，求（1）甲、乙两人都中靶的概率；（2）甲、乙两人至少有一个中靶的概率。解：设甲、乙两人中靶事件分别为 A 和 B，则有()()0.98.72()09.8720.98PABP4. 发射台将编码分别为 1，0 的信息传递出去，发出 1 被误收成 0 的概率是 0.0

3、2，发出 0 被误收到 1 的概率是 0.01，信息 1 与0 发出的概率为 2：1，若接收的信息是 1，问发出的信息确是 1的概率。解：令 A 表示收到信息为 1 这一事件；B 表示发出的信息为 1.则2(),(|)0.98,(|)0.13PBPAB(|96(|)() 7)|)(|)A:1231213121()()()5430PPAA3选择题1. 设 ,则正确结论是0()1,0()1,(|)(|)1PABPAB且（C ）（A） A,B 不相容；（B ） A,B 相互对立；（C ） A,B 相互独立；（D） A,B 不相互独立.2. 一盒产品中有 a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二

4、次取到正品的概率为(C)21()()()AabBCabD3. 某人连续向一目标射击，每次击中目标的概率为 3/4，则需射击3 次才击中目标的概率为(A)4232241()41()ABCD4. 若随机事件 A 与 B 相互独立，则 P(A+B)=（B ）()()()()()PBPCD5. 若随机事件 A,B 的概率分别为 ,则 A 与 B 一定()0.6,().5APB（D）(A) 相互对立(B) 相互独立(C) 互不相容(D) 相容填空题1. 在古典概型的随机试验中，P(A)=0 当且仅当 A 是_(不可能事件)2. 若 A,B 是两个事件，且 ,则有 P(B-A)=_(P(B)-P(A)AB

5、3. 设袋中有 20 个黄球，30 个白球。现有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到黄球的概率是_(2/5)54. 甲、乙两人独立地向一目标各射击一次，其命中的概率分别为 0.6,0.5。则目标被击中的概率为_(0.8)， 目标被击中的前提是是甲击中的概率为_(3/4).5. A,B 为两个事件，已知 P(A)=0.2，P(B)=0.3， ()0.4PAB则 _(0.9)()PAB证明题1. 设随机事件 P(A)=x, P(B)=2x, P(C)=3x, 且 P(AB)=P(BC), 证明 x 的最大值不超过 1/4证明：由 ()()()23()PBCPBCxPBC所以 5

6、)xA即4()1xPBC2. 设试验 E 的样本空间为 S，A 为 E 的事件，若事件组则有12,Sn iB 为 的 一 个 划 分 ， 且 P(B)0, (i=1,2n)12()|)|(|()nPAPAB证明：由 12()n 根据 ，且 ()0,2)iBn (,12,ijij得1212()()()| (|)(nnPAPABPABP 6第二章第二章命十道选择题、十道填空题、三道应用题、六道计算题(或综合题)一、选择题1 设随机变量的概率密度 ，则 q=（B ） 。21()0qxf(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/22. 设 是随机变量 的概率密度,则一定成立的是 ( B )fxX(

7、A) 定义域为 ; (B) 非负; 01fx(C) 的值域为 ; (D) 连续fx,3. 假设随机变量的分布函数为 ，密度函数为 若与有相同的分布()Fx()fx函数，则下列各式中正确的是CA ； B ； ()Fx)()()FC ； D ；ff fxf4、设离散型随机变量 的联合分布律为(,)XY(,)1(,2)3123/69/8XYP且 相互独立，则( A ),A. ； B. ；9/1,/29/2,/1C. ； D. .68587.设 则 与 为 （ C ）),(YX.,0,/),(2他其 yxyxfXY独立同分布的随机变量； 独立不同分布的随机变量；A)(B不独立同分布的随机变量； 不独立

8、也不同分布的随机变量.)(CD8. 设二维随机变量（X、Y）的联合分布为YX 1 27则 PXY=4=（A ）A. B. C. D. 2112543419. 设二维随机变量（X，Y）的分布律为YX 1 2 30 0.2 0 01 0.1 0.2 0.12 0.3 0.1 0则 PX=Y=（ A ）A0.2 B0.3C0.4 D0.110. 下面分布函数表达错误的是（ C ）A. B. 0),(F 1),(FC. D. 1y 0y二、填空题1 设随机变量 X 的概率密度 则 （ 0.6 ） 。其 它,011)(xxf 0.4PX2设有 7 件产品，其中有 1 件次品，今从中任取出 1 件为次品的

9、概率为（ 1/7 ） 。3设随机变量 X 的概率密度 则 （ 0.8 ） 。其 它,0)(xxf 2.04设随机变量 在区间 上服从均匀分布,则 的概率密度函数为 022YX1,40Yyf其 他5 设随机变量 上服从均匀分布,则关于未知量 的方程06X在 区 间 x有实根的概率为_5/6_21xX2 4164 386设随机变量 X 的概率密度 则 （ 7/10 ） 。其 它,011)(xxf 3.0XP7、 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 ， ，则 P(X =Y)5.PX5.1Y= 0.5 .8. 设随机变量 X，Y 相互独立，且 , 则2143P_ _.3,1YP189. 设随机变量

10、，且 则)(2X_ _.Xk2!ke10. 设随机变量 的密度函数为 ，则常数 = 1 .其 它0),(2)(Ax三、计算题1 设二维随机变量 的联合分布密度Y与X,0(,)yexfx其 它分别求关于 X 与关于 Y 的边缘密度函数。（2 分）()(,)Xxffyd（3 分）,00xe 分 ）（ 2),()(dyfyf0,03,yex（ 分 ）其 它2设连续型随机变量 的密度为 X5,0().xKef(1)确定常数 (2)求 (3)求分布函数 F(x).K2.0P 0501() (3)xxded 分故 。59 （3 分）.367905)2.0(1. edxP当 x0 时,F(x)=0; （1

11、分）当 时， (2 分) 0xxxededF5051)()(故 . (1 分)0,)(xx3设二维随机变量（X, Y）的分布密度 其 它,010,6),(2xyxyxf求关于 X 和关于 Y 的边缘密度函数。(2 分)()(,)xffxyd(3 分)226),010x x其 它(2 分)()(,)yffyd(3 分)6,010yxy其 它4 设随机变量 与 相互独立,概率密度分别为:XY, ,0(),xef1,0()Yyfy其 他求随机变量 的概率密度Z(2 分)ZXYfzfxzdx(10 分)01,1,zxzey,01,ze105. 设二维随机变量 的密度函数：(,)XY,02,(,)Axy

12、fxy其 他（1）求常数 的值；（2）求边缘概率密度 ；A,XYff（3） 和 是否独立?解: （1）由 ，得 (2 分)(,)1fxyd/4A(2) (5 分),Xff,02xdyx其 他 /,02x其 他(9 分)(,)Yfyfxyd21/4,02,yxy其 他 /4,02,yy其 他(3) ，不独立(10 分)(,)XYff6已知随机变量 的密度为 ,且 ,01(axbf其 它 /258Px求: (1) 常数 的值; (2) 随机变量 的分布函数,abXF解: (1) 由 , 解1()/2fxdb1/25/8/()3/82fxdab得 (4 分),/(2) ,当 时, ，当 时, 0.5,1()xxf其 它 00FxPXx1x, 当 时, ， 20./xFPXd 1F所以(10 分)20,/,11,xx7设二维随机变量 有密度函数：(,)XY43,0;(,)xyAefxy其 他（1）求常数 ；A（2）求边缘概率密度 ；,XYff