数值分析复习题要答案.doc

1、第一章1、ln20.69314718，精确到 103 的近似值是多少？解 精确到 103 0.001，即绝对误差限是 0.05，故至少要保留小数点后三位才可以。ln20.693。2、设 均具有 5 位有效数字，试估计由这些数据计算 ，1.80,125.6xx 21x的绝对误差限1解：记 则有2., .xx12340, | 0|xx所以 1122112| |x3480.6.05.7512121243|()| 0.2|xxx3、一个园柱体的工件,直径 d 为 10.250.25mm,高 h 为 40.001.00mm,则它的体积 V 的近似值、误差和相对误差为多少。解： 22 22 2243105

2、4036154051043640630783,.;()()().,.().%rdh mdhVdhm第二章：1、分别利用下面四个点的 Lagrange 插值多项式和 Newton 插值多项式 N3(x)，计算 L3(0.5)及 N3(-0.5)x 2 1 0 1f(x) 1 1 0 2解：(1)先求 Lagrange 插值多项式（1 分）32103 )()()()( yxllyxllL， （2 分）)1(0)()()()( 3020100xxl x)(6（2 分） )1(0)21()()() 3121011 xxxxl x)1(2（2 分）3212022l（2 分） )01()2()() 231

3、3033 xxxxl x)1(26（1 分）L36)32所以 （1 分）4)5.0(3L(2)再求 Newton 插值多项式列均差表如下： )(12321 )(10)()(2 , 2223210 3210分分分分xx xfxfxfykjiji所以 （2 分）xxxN)()()()( x13（1 分）21)5.0(32、求过下面四个点的 Lagrange 插值多项式 L3(x)和 Newton 插值多项式 N3(x)。x 2 1 0 1f(x) 2 1 1 1）解：（1）L 3(x)=lo(x)yo+l1(x)y1+l2(x)y2+l3(x)y3 （1 分）)()()( 1110 niiiiii

4、ii xl 得出 （2 分） （2 分）6)(xxlo )1(2l（2 分） （2 分）)1()2(1)(2 l )(61)(3 xxl )1(261233 xxxL（1 分）（2） （1 分）)()()()()( 21031020103 xxaxaxaxN （2 分） （2 分）00f 101ff（2 分） ， （2 分）3)()(2021102 xffxffa 63a （1 分）xxxN )(61)(3)()(3 第三章1、令 ，且设 ，求,efxp10使得 为 在-1 ，1上的最佳平方逼近多项式。10ap2已知数据对(7，3.1)，(8 ，4.9) ，(9，5.3)，(10 ，5.8)，

5、(11 ，6.1)， (12，6.4) ，(13，5.9)。试用二次多项式拟合这组数据。解：y0.145x 23.324x 12.794第四章：1数据如下表x 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04f (x) 3.10 3.12 3.14 3.18 3.24用中心差分公式，分别取 h = 0.01、0.02 计算 )02.1(f解：中心差分公式为 （2 分）hxfxf)()1）取 h=0.01 时， （4 分）30.18302.302.1( 2）取 h=0.02 时， （4 分）5.4.4.)1()().( fff2 （10 分）根据如下函数表X 1.0 1.1 1.2 1.3 1.

6、4 1.5 1.6f(x) 1.543 1.668 1.811 1.971 2.151 2.332 2.577用中心差分公式，分别取 h=0.3，0.1 计算 )3.1(f解：中心差分公式 （2 分）hxffxf2()()取 h=0.3 时， （4 分）7.6.0)3.1取 h=0.1 时， （4 分）01()() ffxf3分别用复合梯形公式 T6 和复合辛普森公式 S3 计算定积分 的值6.0dx解： （2 分）)(0(216 niiyxfnab)5.0()4.()3.0(.(.06.).0 ffffff（3 分）475139.)4.0()2.()5.0()3.()1.0(4)6.()06

7、3 ffffffnabS （3 分）4782.f(0)=1，f(0.1)=0.9090，f(0.2)=.08333，f (0.3)=0.7692，f (0.4)=0.7142，f(0.5)=0.6667，f(0.6)=0.625 （7 分）4、利用复合 Simpson 公式 S4 计算积分 （取小数点后 4 位） 。102dx解： （2 分）)()20(6112niniiin yfabS， ， ， ，.4)0(f 93846.764.3f 5068.3f， ， ， ，2.3870.25f 50.22.7（9 分）)1(f 8)64883814)(046 ffffffffS（4 分）1.3第五章

8、：1、利用列主元消去法求解线性方程组6571042332xx（计算过程保留到小数点后四位）.解： （1 分） （2 分）265170423r 651470（2 分） （2 分）.20312r .05.235.10r回代解得 ， ， （1 分）3x1x2、用矩阵的 LU 分解法解方程组4321420321x解：设 （1 分）32133210ulLUA（4 分）LUX=b10其中设 UX=y，则 Ly=b （2 分）4320321yy=(2,1,1) T UX=y (2 分)101321xx=(0,2,1) T （1 分）5. 用追赶法解三对角方程组 Ax=b，其中解：用解对三角方程组的追赶法公式

9、计算得6. 用平方根法解方程组解：用 分解直接算得由 及 求得第六章：1、用 Gauss-Seidel 迭代法求解方程组 ，取初值 ，30152284021xx T)0(),x写出 Gauss-Seidel 迭代格式，求出 ， ，计算 ，并根据原方程组的系数)()( )2()(矩阵说明该迭代格式是否收敛2、对方程组 1052310312x（1）写出其 Jacobi 迭代格式，并据迭代矩阵的范数，说明该迭代格式收敛。（2）写出题中方程组的 Seidel 迭代格式，取 ，迭代求出 ，Tx)0,()0()1(x， 。)(x)3(（1）解：其 Jacobi 迭代格式为：（5 分） （6 分）25130

10、1)()()(3)()()(2)()(2)1( kkk kkkxx 0521M1 （2 分）|M收敛 （1 分）（2）解：其 Seidle 迭代格式为：（5 分）251301)1()()(3)()()(2)()(2)1( kkkkkkxxT,)0(T （2 分）)684.213.)1(xT （2 分）)9537.,0)2(T （1 分）)416.,9.)3(x3对方程组 741658321x（1）写出其 Jacobi 迭代格式，并根据迭代矩阵的范数，说明该迭代格式收敛。（2）写出 Seidel 迭代格式，取 ，迭代求出 ；计算 。Tx)0,()0()1(10x解：(1)其 Jacobi 迭代格

11、式为 （5 分）47146588)(2)()1(3)(3)()(2)()(2)1( kkkkkkxx迭代矩阵为 （2 分）04158M1 （2 分） 所以 Jacobi 迭代格式收敛 （1 分）4|(2)其 Seidel 迭代格式为： （5 分）471456588)(2)()1(3)(3)()(2)()(2)1( kkkkkkxx将 代入得 （3 分）Tx)0,()0 T60,9,8)(所以 （2 分）15)()0(x5. 用 SOR 方法解方程组(取 =1.03)精确解 ，要求当 时迭代终止.解：用 SOR 方法解此方程组的迭代公式为取 ，当 时，迭代 5 次达到要求第七章1利用牛顿迭代法求

12、方程 的近似根，取初值 进行计算，04.19.123xx 10x使误差不超过 103 解：牛顿迭代格式为： （1 分） ；)(1kkxfx利用牛顿迭代法求解，将 代入，得0（1 分） ， （1 分）738.)(1fx 674.0)38.(7.02f（1 分） ， （1 分）67.0)4.(67.03fx所以取 1（2 分）.)1.(67.04fx2、求方程 在 1.5，2内的近似解：取 x0=2，用 Newton 迭代法迭014x代三次，求出 xx 3。解：牛顿迭代法公式 （1 分）)(1nnxf， （1 分）0)(4xf 43Newton 迭代公式： （3 分）1403341 nnn xxx

13、x0=2 代入 x1=1.870967742（1 分）x 2=1.855780702（1 分）x 3=1.855584561（1 分）xx 3=1.85558（ 2 分）第九章:1、应用 Euler 方法计算积分 在点 x = 0.5, 1, 1.5, 2 时的近似值.texd022、用改进的 Euler 公式，求初值问题 1)0(yx在 x1=0.1，x 2=0.2，x 3=0.3 三点处的数值解（即当 x0=0，y 0=1，h=0.1 时，求出y1，y 2， y3）解：改进的欧拉公式： （2 分） ),(),(211 pnnnp yxfyfhyx初值 x0=0，y 0=1 （2 分） ),()(05.,111 pnnnp