导数的综合应用练习题及答案.doc

1、 导数应用练习题答案1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值 。； ；2(1)31,.5fx 21(2),fx； 30,41,e解： 2(1)31,.5fx该函数在给定闭区间上连续，其导数为 ，在开区间上可导，而且 ，()1fx()0f，满足罗尔定理，至少有一点 ，(.5)0f,.使 ，解出 。4114解： 2(2),fx该函数在给定闭区间上连续，其导数为 ，在开区间上可导，而且 ，2()1)xf1(2)5f，满足罗尔定理，至少有一点 ，1(2)5f,使 ，解出 。20()f解： 3),3fx该函数在给定闭区间上连续，其导数为 ，在开区间上可导，而且 ，(

2、)323xfx(0)f，满足罗尔定理，至少有一点 ，(3)0f0,使 ，解出 。23解： (4)e1,xf该函数在给定闭区间上连续，其导数为 ，在开区间上可导，而且 ，2()exf(1)ef，满足罗尔定理，至少有一点 ，使 ，解出 。(1)ef2()0f2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值 。； ；3(1)0,()fxa(2)ln1,2fx32()51,0fxx解： 1),()a该函数在给定闭区间上连续，其导数为 ，在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有23fx一点 ，使 ，即 ，解出 。(0,)a()0()0ffa2(0)a3a解： 2ln

3、1,2fx该函数在给定闭区间上连续，其导数为 ，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有1()fx一点 ，使 ，即 ，解出 。(1,2)()12ff1ln(2)1ln2解： 325,0fxx该函数在给定闭区间上连续，其导数为 ，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条2()31fxx件，至少有一点 ，使 ，(1,0)(0)f即 ，解出 。22(9)3(5433.不求导数，判断函数 的导数有几个实根及根所在的范围。()1(2)()fxx答案：有三个根，分别在 ,3,44 证明：当 时，恒等式 成立1x22arctnrsi1xx证：设 2()arctsiF当 时， 连续，当 时， 可导1x()x

4、()Fx且22 2221() 0(1)1()xx即当 时， ，即1x)FC()4F故当 时，1x22arctnrsi1xx5 设 在 上连续，在 内可导，且 ，证明在 内存在一点 ，()f0,(0,)(0)f(0,1)c使 2cffc不证明：令 ，则 在 上连续，在 内可导，且因 ，则2()1()Fxfx()F0,1(0,1)(0)f(0)即 在 上满足罗尔定理的条件，则至少存在 使, (,)c(Fc又 ，即2()21)()(Fxfxfx 2(1)0ff而 ，得0,ccc6.已知函数 在 上连续，在 内可导，且 ，证明在 内至少存在一点 ，()fx0,1(0,1)(0)1,ff(0,1)使得

5、证明：令 ，则 在 上连续，在 内可导，且()Fxf()Fx0,1(0,1)(0)(1)F即 在 上满足罗尔定理的条件，则至少存在 使0,1 ,又 ，即 ，故()()xffx()()0ff()()ff7.证明不等式： 2121sinix证明：设函数 ， ， ，不妨设 ，()fx,R12x该函数在区间 上连续，在 上可导，由拉格朗日中值定理有12,12(,)x， 即 ，2()()fxff2121sinicos()xx故 ，由于 ，所以有121sinicos)xcoin8.证明不等式： 1 1()(),0)nnnbababa证明：设函数 ，在 上连续，在 内可导，满足拉格朗日定理条件，故)fx,，

6、其中 ，因此1(nnabab0a11nnba有 1)()n所以 1 1()()nnnbabab9.利用洛必达法则求下列极限：； 0e(1)limx解： 00e+lili21xx；1n(2)lix解： 11limixx；321()lix解：3221136lilixxx； 2ln()(4)imtax解：222 21ln()coscos(in)ililimli0ta 1cosxxxxx (5)lim(0,enax为 正 整 数 ）解：1!lililim0eennaxaxnax； 0(6)li(0)mx解： 10000lnliiilimmmxxxx； 1(7)ex解： 000001e1e1e1lim(

7、)lilimlilime() 2xxxxx xxx； 0(8)lisin)xx解：11sin0li(i)exx；sin0(9)lmxx解：212000001ln sinsinlimsnlilimlmlsin 0cocossnco0leeeee1xxxxxxxx 10.设函数 ，若 在点 处可导，求 与 的值。l()()10kf x()f k()f解：由于函数在 处可导，因此函数在该点连续，由连续的概念有0x，即0ln()imli()1xkkfk按导数定义有200000ln1() ln() 1()liimilimli2()2xxxxxff 11.设函数 ，当 为何值时， 在点 处连续。21cos

8、()0e1xfkk()fx解：函数连续定义， ，00lim()li()xxff000000e1e1e1li()li()lilimlilime() 2xxxxxxxxxxf ，而 ；2001coslilixxf 0li()2xfkf即当 时，函数 在 点连续。k()f0x12.求下列函数的单调增减区间：； 2(1)365yx解： ，有驻点 ，01x由于当 时， ，此时函数单调减少；1x0y由于当 时， ，此时函数单调增加； 42(3)yx解： ，令 ，有 ，32(1)x0y,1x当 时， ，此时函数单调较少；当 时， ，此时函数单调增加；1x0y 0y当 时， ，此时函数单调较少；当 时， ，此

9、时函数单调增加0 1x；2(3)1xy解： ，令 ，有 ，此外有原函数知 ，22()(1)x0y,2x1x当 时， ，此时函数单调增加；当 时， ，此时函数单调减少；x0y10y当 时， ，此时函数单调减少；当 时， ，此时函数单调增加；10x13.证明函数 单调增加。2ln(1)yx证明： ，220 等号仅在 成立，所以函数 在定义区间上为单调增加。1x2ln(1)yx14.证明函数 单调减少。siny解： ，co10x等号仅在孤立点 成立，所以函数 在定义域内为单调减少。2(,12)n sinyx15.证明不等式： 3(0,xx证明：设 ，在 时， ，且 ，1()2f(1)f 2211()

10、xfx当 时， ，函数单调增加，因此 ；1x0fx 0fx当 时， ，函数单调减少，因此 ；0()()1f所以对一切 ，且 ，都有 ，即0x1()0fx123(0,1)xx16.证明：当 时， xe解：设 ()xf，当 所以1e0,()(),fxfx0,()0fx所以 0,x当 所以,()(),ffx0,()0fx所以 0,1xe,.17.证明：当 时， 0xln(1)x解：设 ()l)f，当221()(1)xfx0,()(),fxfx所以 ，0,0f ,ln1不18.证明方程 在 内只有一个实根。31x(,)证明：令 ， 在 上连续，且()ffx0,1(0)1,ff由零点定理存在 ，使 ，所

11、以 是方程 在 内的一个根。0,1)()3x(0,1)又因为 ，当 时 ，函数单调递减，22()3fxx(0,1)(0f当 时， ，当 时， ，所以在 内只有 一个实根()0f)x(0,1)或用罗尔定理证明只有一个实根 。19.求下列函数的极值：； 32(1)7yx解： ，令 ，解出驻点为 ，函数在定义6()x236(2)0yxx0;2x域内的单调性与极值见图表所示： x(,0)(0,)(,)()fx0 0 单调增加 极大 7 单调减小 极小 3 单调增加2 1 0 1 2 3 4101020fx()x； 2()y解： ，驻点为 ，函数的单调性与极值见表2()1x 1,xx(,)(,)(1,)

12、f极小 极大 (单调减小 1单调增加 单调减少；2(3)exy解： ，驻点为 ，() 0,2x二阶导数为 ，2e4)xy显然 ，函数在 点取极小值 ，在 处取极大值 。2(0),()0x2x24e1 0 1 2 30.511.52f x( )x； 23(4)()yx解： ，函数在 处不可导，以此点为13() 2x4 2 0 2 42112fx()x1 0 1 2 3 4 51.522.53fx()gx()x4 2 0 2 42112fx()x界划分区间并给出函数单调性与极值。 x(,2)(2,)f不存在 (单调增加 极大 3 单调减少； 32(5)1)yx解：函数导数为 ，解出驻点为 ，不可导

13、点为 ，函数在各个区间的单调性见表格所135x 25x0x示。 x(,0)(0,)(,)f不存在 0(x单调增加 极大 0 单调减少极小 325单调增加32(6)1)y解： ，驻点为 ，不可导点为 ，划分区间并判断增减性与极值3()x 0,3x1x(,)(,)(,3)(3,)fx0(f单调增加 无极 值 单调增加 单调减少极小 274单调增加2 1 0 1 2 3 450100f x( )x20. 设 ，求函数的极值，曲线的拐点。ln(1)yx解： ， 解出 ，201xy0x, 0,y，极小值, ,(0)f，解出 ，2()01xy1x,(,)1 (,)0 + 0 y 凸 ln2 凹 ln2 凸

14、拐点 (1,ln2),l)21.利用二阶导数，判断下列函数的极值：； 2(1)3)(yx解： ， ，驻点： ， ，7) 2(38)yx73x，因此在 点函数取极大值 ；320xy742，因此在 点函数取极小值 ；3x0(2)exy解： ， ，驻点为 ，21xexyln2x由于 ，因此在 处函数取得极小值 。1ln20xyl 222.曲线 过原点，在点 处有水平切线，且点 是该曲线的拐点，求3abcxd(1,)(1,),bcd解：因为曲线 过原点，有 ，32y0d在点 处有水平切线， ，(1,)(1)fabc点 是该曲线的拐点， ， ，, 62x (1)620fab又因为点 在曲线上，(1,)abcd联立方程组解出 ,3,0