1、第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理白城师范学院白城师范学院*第第 1页页4.1 特征函数4.2 大数定律4.3 随机变量序列的两种收敛性随机变量序列的两种收敛性4.4 中心极限定理第四章 大数定律与中心极限定理第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理白城师范学院白城师范学院*第第 2页页4.1 特征函数特征函数是处理概率论问题的有力工具，其作用在于： 可将卷积运算化成乘法运算； 可将求各阶矩的积分运算化成微分运算； 可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题； .第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理白城师范学院白城师范学院
2、*第第 3页页4.1.1 特征函数的定义定义 4.1.1 设 X 是一 随机变量，称(t) = E( eitX )为 X 的特征函数 . (必定存在 )注意： 是虚数单位 .第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理白城师范学院白城师范学院*第第 4页页注 意 点 (1)(1) 当 X为离散随机变量时，(2) 当 X为连续随机变量时，这是 p(x) 的傅里叶变换第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理白城师范学院白城师范学院*第第 5页页特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：注 意 点 (2)(1) 欧拉公式 ：(2) 复数的共轭 ：(3) 复数的模 ：第四
3、章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理白城师范学院白城师范学院*第第 6页页性质 4.1.1 4.1.2 特征函数的性质|(t)| (0)=1性质 4.1.2 性质 4.1.3 性质 4.1.4 若 X 与 Y 独立，则性质 4.1.5 第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理白城师范学院白城师范学院*第第 7页页定理 4.1.1 特征函数的定理一致连续性 .定理 4.1.2 定理 4.1.3 定理 4.1.4 唯一性 .定理 4.1.5 非负定性 .逆转公式 .连续场合，第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理白城师范学院白城师范学院*第第
4、 8页页4.2 大数定律 讨论 “概率是频率的稳定值 ”的确切含义； 给出几种大数定律：伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、马尔可夫大数定律、辛钦大数定律 .第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理白城师范学院白城师范学院*第第 9页页4.2.1 伯努利 大数定律定理 4.2.1（伯努利大数定律）设 n 是 n重伯努利试验中事件 A出现的次数 ，每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 0，有第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理白城师范学院白城师范学院*第第 10页页4.2.2 常用的几个大数定律大数定律一般形式 ： 若随机变量序列 Xn满足：则称 Xn 服从大数定律 .
