1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则 一、数列极限的定义 第二节数列的极限目录 上页 下页 返回 结束 数学语言描述 :一 、数列极限的定义引例 . 设有半径为 r 的圆 ,逼近圆面积 S .如图所示 , 可知当 n 无限增大时 , 无限逼近 S . 当 n N 时 ,用其内接正 n 边形的面积总有刘徽 (刘徽割圆术 )目录 上页 下页 返回 结束 定义 : 自变量取正整数的函数称为 数列 ,记作或 称为 通项 (一般项 ) .若数列 及常数 a 有下列关系 :当 n N 时 , 总有记作此时也称数列 收敛 , 否则称数列 发散 .几何解释 : 即或则
2、称该数列 的极限为 a ,目录 上页 下页 返回 结束 例如 ,趋势不定收敛发散目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 已知 证明数列 的极限为 1.证 : 欲使 即 只要因此 , 取 则当 时 , 就有故目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 已知 证明证 :欲使 只要 即取 则当 时 , 就有故故也 可取也可由N 与 有关 , 但不唯一 .不一定取最小的 N .说明 : 取目录 上页 下页 返回 结束 例 3. 设 证明等比数列证 :欲使 只要 即亦即因此 , 取 , 则当 n N 时 , 就有故的极限为 0 .目录 上页 下页 返回 结束 二、收敛数列的性质证 : 用反证法 . 及 且取
3、 因 故 存在 N1 , 从而同理 , 因 故 存在 N2 , 使当 n N2 时 , 有1. 收敛数列的极限唯一 .使当 n N1 时 , 假设从而矛盾 , 因此收敛数列的极限必唯一 .则当 n N 时 , 故假设不真 !满足的不等式目录 上页 下页 返回 结束 例 4. 证明数列 是 发散的 . 证 : 用反证法 .假设数列 收敛 , 则有 唯一极限 a 存在 .取 则 存在 N ,但因 交替取值 1 与 1 , 内 ,而此二数不可能同时落在长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有因此该数列发散 .目录 上页 下页 返回 结束 2. 收敛数列一定有界 .证 : 设 取 则 当 时 , 从而有取 则有由此证明收敛数列必有界 .说明 : 此性质反过来不一定成立 . 例如 ,虽 有界但不收敛 .有数列
