直角三角形与勾股定理 - 中国·上杭-教师进修学校.doc

1、第 1 页 共 24 页直角三角形与勾股定理一.选择题1. （2015 辽宁大连，8 ，3 分）如图，在ABC 中，C=90，AC=2，点 D 在 BC 上，ADC=2B,AD= ,则 BC 的长为（ ）5A. 1 B. +1 C. 1 D. +1355【答案】D【解析】解：在ADC 中，C =90，AC =2，所以 CD= ,1252AC因为ADC=2B ，ADC=B+ BAD,所以B=BAD,所以 BD=AD= ,所以 BC= +1，故选 D.2.（2015 四川南充 ,第 9 题 3 分）如图，菱形 ABCD 的周长为 8cm，高 AE 长为 cm，则对角线 AC 长和 BD 长之比为（

2、 ）（A）1:2 （B）1:3 （C ）1: （D ）1:【答案】D【解析】试题分析：设 AC 与 BD 的交点为 O，根据周长可得 AB=BC=2，根据 AE= 可得 BE=1，则ABC 为等边三角形，则 AC=2，BO= ，即 BD=2 ，即 AC:BD=1： .考点：菱形的性质、直角三角形.第 2 页 共 24 页3 （2015 四川资阳 ,第 9 题 3 分）如图 5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底部 3 cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 3 cm 的点 A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短

3、路径是A13cm B cm C cm D cm26161234考点：平面展开最短路径问题.分析：将容器侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A，根据两点之间线段最短可知 AB 的长度即为所求解答：解：如图：高为 12cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 3cm 与饭粒相对的点 A 处，AD=5cm，BD=123+AE=12cm，将容器侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A，连接 AB，则 AB 即为最短距离，AB=13（Cm ） 故选：A点评：本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股

4、定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力4. （2015 浙江滨州,第 10 题 3 分）如图，在直角 的内部有一滑动杆 .当端点 沿直线 向下滑动时，端点 会随之自动地沿直线 向左滑动.如果滑动杆从图中 处滑动到 处，那么滑动杆的中点 所经过的路径是( )图 5第 3 页 共 24 页A.直线的一部分 B.圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分【答案】B【解析】试题分析：根据题意和图形可知AOB 始终是直角三角形，点 C 为斜边上的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知 OC 始终等于 AB 的一半，O 点为定点，OC为定长，所以它始终是圆的一部分

5、.故选 B考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半5. （2015 浙江湖州，第 9 题 3 分）如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，O 是ABC 的内切圆，现将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 FG，点F，G 分别在 AD，BC 上，连结 OG，DG，若 OGDG，且O 的半径长为 1，则下列结论不成立的是( )A. CD+DF=4 B. CDDF=2 3 C. BC+AB=2 +4 D. BCAB=2【答案】A.【解析】试题分析：如图，设O 与 BC 的切点为 M,连接 MO 并延长 MO 交 AD 于点 N,利用“AAS”易证OMG GCD,所

6、以 OM=GC=1, CD=GM=BCBMGC=BC2.又因 AB=CD,所以可得 BCAB=2.设 AB=a，BC= b,AC=c, O 的半径为 r，O 是 RtABC 的内切圆可得第 4 页 共 24 页r= （a+bc） ，所以 c=a+b2. 在 RtABC 中，由勾股定理可得 ，整理得 2ab4a4b+4=0，又因 BCAB=2 即 b=2+a，代入可得 2a（2+a）4a4（2+a）+4=0， 解得 ，所以 ，即可得BC+AB=2 +4. 再设 DF=x，在 RtONF 中,FN= ，OF =x，ON=,由勾股定理可得 ，解得 ，所以CDDF= ，CD+DF = .综上只有选项

7、A 错误，故答案选 A.考点：矩形的性质；直角三角形内切圆的半径与三边的关系；折叠的性质；勾股定理；6. （2015 浙江嘉兴，第 7 题 4 分）如图， 中，AB=5，BC =3，AC=4，以点 C 为圆心的圆与 AB 相切，则C 的半径为（ ）（A）2.3 （B）2.4（C）2.5 （D ）2.6考点：切线的性质；勾股定理的逆定理.分析：首先根据题意作图，由 AB 是 C 的切线，即可得 CDAB，又由在直角ABC 中，C=90，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得 AB 的长，然后由 SABC= ACBC= ABCD，即可求得以 C 为圆心与 AB 相切的圆的半径的长解答：解：在ABC

8、中，第 5 页 共 24 页AB=5， BC=3，AC=4，AC2+BC2=32+42=52=AB2，C=90，如图：设切点为 D，连接 CD，AB 是C 的切线，CDAB，SABC= ACBC= ABCD，ACBC=ABCD，即 CD= = = ，C 的半径为 ，故选 B点评：此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用8. （2015四川乐山,第 7 题 3 分）如图，已知ABC 的三个顶点均在格点上，则 cosA 的值为（ ）A B C D【答案】D第 6 页 共 24 页考点：1锐角三角函数的定义；

9、2勾股定理；3勾股定理的逆定理；4格型9, （2015四川眉山，第 10 题 3 分）如图，在 RtABC 中， B=90，A=30，DE 垂直平分斜边 AC，交 AB 于 D，E 是垂足，连接 CD若 BD=1，则 AC 的长是（ ）A2 B 2 C 4 D4考点： 含 30 度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质；勾股定理.分析： 求出ACB ，根据线段垂直平分线的性质求出 AD=CD，推出 ACD=A=30，求出DCB，即可求出 BD、BC，根据含 30角的直角三角形性质求出 AC 即可解答： 解： 在 RtABC 中，B =90，A=30，ACB=60，DE 垂直平分斜边 AC，AD=

10、CD，ACD=A=30，第 7 页 共 24 页DCB=6030=30，在 RtDBC 中， B=90，DCB =30，BD =1，CD=2BD=2，由勾股定理得：BC= = ，在 RtABC 中， B=90， A=30，BC= ，AC=2BC=2 ，故选 A点评： 本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出 BC 的长，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半10. （2015 浙江省台州市，第 8 题）如果将长为 6cm，宽为 5cm 的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（

11、 ）A.8cm B. cm C.5.5cm D.1cm52二.填空题1、 （2015 四川自贡 ,第 13 题 4 分）已知， 是O 的一条直径 ，延长 至 点，使ABABC, 与O 相切于 点，若 ,则劣弧 的长为 .AC3BDCD3考点：圆的基本性质、切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式等.分析：本题劣弧 的长关键是求出圆的半径和劣弧 所对的ADADDCBAO13题第 8 页 共 24 页圆心角的度数.在连接 OD 后，根据切线的性质易知 ,圆的半径和圆心角的度数ODC90o可以通过 Rt 获得解决.OPC略解：连接半径 OD.又 与O 相切于 点 Do 又A3B2BC1O2B

12、D 在 Rt 1OCPcosC60o 在 Rt 根据勾股定理可知： D20o 223 解得： 23OD1则劣弧 的长为 . 故应填 A10202388oo232. （ 2015浙江滨州,第 17 题 4 分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形 AOCD 沿直线 AE折叠（点 E 在边 DC 上） ，折叠后顶点 D 恰好落在边 OC 上的点 F 处.若点 D 的坐标为(10,8） ，则点 E 的坐标为 .【答案】 （10,3）考点：折叠的性质，勾股定理3. （2015四川省内江市，第 22 题，6 分）在ABC 中，B=30，AB=12，AC=6，则 BC= 6 考点： 含 30 度角的直角三角形

13、；勾股定理.DCBAO13题第 9 页 共 24 页分析： 由B =30，AB=12，AC=6 ，利用 30所对的直角边等于斜边的一半易得ABC 是直角三角形，利用勾股定理求出 BC 的长解答： 解：B=30 ，AB=12，AC =6，ABC 是直角三角形，BC= = =6 ，故答案为：6 点评： 此题考查了含 30直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键4.（2015 江苏泰州 ,第 16 题 3 分）如图， 矩形 中，AB=8，BC=6 ，P 为 AD 上一点，将ABP 沿 BP 翻折至EBP， PE 与 CD 相交于点 O，且 OE=OD，则 AP 的长为_.【答

14、案】4.8.【解析】试题分析：由折叠的性质得出 EP=AP, E=A=90,BE=AB=8，由 ASA 证明ODPOEG，得出 OP=OG，PD=GE，设 AP=EP=x，则 PD=GE=6x，DG=x，求出 CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可.试题解析：如图所示：第 10 页 共 24 页四边形 ABCD 是矩形D=A=C=90，AD =BC=6，CD=AB=8根据题意得：ABPEBP ，EP=AP，E= A=90,BE=AB=8，在ODP 和 OEG 中ODPOEGOP=OG，PD= GE，DG=EP设 AP=EP=x，则 PD=GE=6x，DG=x，CG=8x，BG=8 （6x ） =2+x根据勾股定理得：BC 2+CG2=BG2即：6 2+（8x） 2=（x+2） 2解得：x=4.8AP=4.8.考点：1.翻折变换（折叠问题） ；2.勾股定理；3.矩形的性质.5.（2015 江苏徐州 ,第 17 题 3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，以对角线 AC 为边作第二个正方形，再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，如此下去，第 n 个正方形的边长为 （ ） n1