1、高等数学习题册参考答案明说 本参考答案与 在的 册中的 目有个 的不同,使用 真比 ,以防弄现 习题 题 别 时请认 对 错.第一册参考答案第一章 1.1 1. . ),(2, , ,0 , 211010101TtTTtavTtvtatvvavavvavv图形为:2.B.3. )()()()()( 2121 xfxfxfxfxf ,其中 )()()( 21 xfxfxF 为偶函数,而 )()()( 21 xfxfxG 为奇函数.4.6 ,0,64 ,)4(,42 ,)2(,20 ,)(222xxxxxxxxf 5.)(,)2()(,)1(单调减单调性相反,则单调增;单调性相同,则xgfgfxg
2、fgf6.无界. 7.(1)否,定义域不同;(2)否,对应法则不同;(3)否,定义域不同.1.21.(1) )1 ,0()0 ,1( D ;(2) , , 2 Z kkkxxD ;(3) )1 ,0(D .2. 1 ,4 ba . 3.,0 ,1,0 ,0 ,0 ,1 )(xxxxgf .1 ,1 ,1 ,1 , )(1 xexxexfg4. ( 1 ) 2 ,0,)1arcsin( 2 Dxy ; ( 2 )022 ),( , )(tanlog1ka kkDxy .5.(1) xxxff 1)( ; (2) xxff 1)(1 . 6. hrV rh hr 2 ,231 22 .17.(1)
3、 ax )( ; (2) hxx 2)( ; (3) haa hxx )1()( .1.91. 1ea .2.(1) 1x 和 2x 都是无穷间断点(属第类);(2) 1 ,0 xx 和 1x 是间断点,其中:1是可去间断点(极限为 21)(属第类);0是跳跃间断点(左极限 1 ,右极限1)(属第类);-1 是无穷间断点(属第类);(3) 0x 为无穷间断点(属第类), 1x 为跳跃间断点(属第类)(注意: ee xxx11lim ,而 0lim 11 ee xxx);(4) )( 2 Z kkx 为无穷间断点(属第类);(5) ,0 ,0,0 ,1lim)(12 xxnxnxxf xn 0x
4、 为无穷间断点(属第类);(6) )(lim , 0)(lim 11 xfxf xx , 1x 为第类间断点,(注意: 断点既不叫无 断点,也不叫跳 断点,不要乱叫这类间 穷间 跃间 ); 100 )(lim , 0)(lim exfxf xx , 0x 为跳跃间断点(属第类).3.(1) 1 ,0 ba ; (2) 1 , aeb . 4.(1) 21)0( f ; (2) 0)0( f.5.证:由 )()0()0( 22 xffxf ,得 0)0( f ,于是,再由0)0()(lim)()()(lim)()(lim000fxfxfxfxfxfxxfxxx , )(xf 在x点连续.1.10
5、1. )(xf 在 ),( 内连续,则 0a ;又 0)(lim xfx ,则 0b ,故选D.2. ) ,2()2 ,3()3 ,( ; 210 )0()(lim fxfx (0是连续点),5858213)2)(3()3()3(3322 limlim)(lim xxxxxxxxxxxf (-3是可去间断点), )2)(3()3()3(222lim)(limxxxxxxxxf (2是无穷间断点).23.(1)a1; (2)0; (3) 2e (提示:原极限 xexxexxxxxee)ln(lim)ln(00lim ,而 110 )ln(lim 加分子减x exxx2)1(lim)1(1lnli
6、m00 拆分分子等价无穷小代换 xexxex xxxx);(4) 21 e (提示:原极限 xxxe 2sincosln0lim ,而21cos110cos11cos0cos1)1(cos1ln0sincosln0limlimlimlim 222 xxxxxxxxxxx );注意:(3)和(4)都用到了等价无 小代 :穷 换 0 ,时 ln(1+).(5)1; (6)不存在(左极限 2 ,右极限 2).4.(1) 0a , eb ; (2)a任意, 1b .1.111.令 )sin()( bxaxxf ,则 )(xf 在 ,0 ba 上连续,且 0)0( bf , )( baf0)sin(1)
7、sin( baabbaaba .若 0)( baf ,则 ba 就是一个正根;若 0)( baf ,则由零点定理, )(xf 在 ) ,0( ba 内有一正根.总之, )(xf 在 ,0 ba 内有一正根.2.作辅助函数 xxfxF )()( ,则 )(xF 在 , ba 上连续,且 0)()( aafaF ,)(bF0)( bbf ,由零点定理, ) ,( ba ,使得 0)( F ,即 )(f .3.由题设: )(xf 在 , 1 nxx 上连续,设 mM、 分别为 )(xf 在 , 1 nxx 上的最大值和最小值,则 Mxfxfxfcm nn )()()( 211 ,于是,由介值定理可知
8、:) ,() ,( 1 baxx n ,使得 cf )( ,即 )()()()( 211 nn xfxfxff .4.令 )()()( axfxfxF ,则 )(xF 在 ,0 a 上连续.若 )()0()0( afaff ,则取00 x , 命 题 成 立 ; 设 )()0( aff , 则 由 )()0()0( affF , 而3)2()()( afafaF )()0()0()( afffaf ,所以, )0(F 与 )(aF ,于是,由零点定理可知:) ,0( a ,使得 0)( F ,即 )()( aff ,命题成立.第一章 总复习题1. .0 ,1 ,0 ,)( 21 1xxxf x
9、2. 22sin2 x . 3. ) ,( e .4.证: Axfxx )(lim0,对于 定的无 小的正数,都存在正数, 00 xx ,就 有 Axf )( 成立 ( 就是函数极限的“这 - 定义 );又 )( lim 00 xxxx nnn ,对 中的正数(因 的正数是任意的这 ), 存在数N , Nn ,就 有 0xxn 成立( 就是数列极限的“这 N- 定义 ). 对任 n, 0xxn ,所以这时 就有 00 xxn 成立 .就是(从推回到):对于 定的无 小的正数,(由 , 0 ,从而由 ) 存在 数N , Nn ,( 同 成立时 )就 有 Axf n)( 成立.故由极限的定义可知:
10、 Axf nn )(lim .附注:本 是函数极限与数列极限相 合的 目,抽象且有点 ,但提供了一个重要的求题 题 极限的方法,即数列极限可作 函数极限的特殊情况来 理,比如下面:为 ax axxexaxaxxxxlnlnlim1lim1lim0ln00(用到了0时, -1 ) axanaan xxnnnnln1lim1 1lim)1(lim01 .5.(1) 23 ; (2) 2011 ,20111 ; (3)5, 531 .6.提示: )(xf 在 , ba 上连续,而 )(max)(min ,2 )()(2, xfMmxf baxdfcfkbax ,对 )(xf 在 , ba 上介值定理
11、.7.(1)21(提示:个 分,分分currency1,与分“分,再理得 nn2 1 );4(2) a11 (提示: 极限 )1( a ,fifl 得 )1( 4na , 一个 )1( 0lim qqnn ); (3) ab11 (提示:分分“都 数n和:1” 分之”去 ,再 (2)中的 ); (4)21(提示:有理,分分“再同 以 n : 0 ,0 00 ba 时, .0 ,0 ,0 ,0 limlim00002211022110mkmkmknbnabnbnbnbanananabamknmmmmnkkkn );(5)t(提示: 极限); (6) 2 (提示:分“就是 x2sin 2x ,再分
12、);(7) 2ba (提示:有理,再 (4)中 );()4(提示:分”11分,再 无穷小换:0时, cos1 21 2);()e(提示:原极限 eee xxxxxx 22220tan)1ln(0lim lim等价无穷小代换 );(10) 2 )1( nn (提示:分分currency1, 分个 )1( x 与分“,再分个 )1( x 可与分“,的 一就可分 2)1( x);(11)2 (提示:令 xt 1 ,则原极限 2cossinlim 2 0tttt ,再 极限).提示: 根 得不: nn nn nnnn nAnAaaaA 21 , 意:1lim nnn (会推证 ),再 定理(或叫 准
13、,俗称“两 ” 则 ).第二章 2.61.(1) )cos(21 sin)cos(2 xyx xxyy ; (2) )1(2xyeeeeyxyyxxy ; (3)yxyx ;5(4) 22lnlnxxxyyyxy ( 取对数);(5) 111ln)1( xxxxx x ( 取对数 一个 :若 )()( xgxfy ,则 )()(ln)()( )( )()( xf xfxg xgxfxgxfy );(6) )1)(1(2 )2()1(21 11 222xxxxxxxxxxxxx ( 对数 法).2.(1) 3222)1()1()1(yxxyy ; (2) )1()1(2132322422 yyx
14、yyx .3. )(arctan)( )(arctan)( 2222xyxyfyxfyxxy(提示:令 xyvvu ,arctan 而 ,则原 为yxuf )( , 对x 得 yxyuf x yxyv 22 11 1)( ,再currency1y).4.提示: 一 数, 左 .5. : )1(1 52 xy ; 法 : )1(1 25 xy .6.(1)2t ; (2) 23 . 7.(1) 21 )1(cos ta ; (2) 1)( tf . )2)(1( 1 eet t (提示:第 个 对 t ,得 0dd tyee yt ,currency1yteety ddeeeeeetttt22
15、, tx tyxy dd dddd 之中再).在时 t, 所 tts 40)(1 , 所 tts 30)(2 ,间的 为 ttttd 50)30()40()( 22 ,间的 的 为 50)( td .10.设 yOPxON , ,则由 知: ctx dd (为 数),由题图知: OAMNy xy ,即 xMNOAOAy ,而 txMNOAOAty dddd .可 tydd 为 ,即P点 的 是 的.62.71.(1) 为-0.0,分为-0.1;(2) 为-0.00,分为-0.01.注评 : 果表明:结 x 愈小,则 yy d与 愈接近, 就是微分的数量特征;这微分的几何特征是“以直代曲”.2.
16、(1) Cxx 3 ; (2) Cx 2cos21 ; (3) Ce x ; (4) Cx2arctan21.3.(1) xd2 ; (2) xad ; (3) xd42 ; (4) xd .4.(1) xx x d13 )13ln(2sin3 ; (2) ttt te tt d)52(2 )23(332)52ln( 323 ;(3) xxxx d)21(sec)21tan(8 222 . 5. 150110 .第2章 总复习题1.2. )(xf 在 0x 可 连续.由连续有: )0()2sin(limlim 00 fxbe xaxx , 极限得:1b ;由可 有:,2lim)0(,01lim
17、)0( , )0()0(01)2sin1(00xxxaxxfaxefff 而所以, 2a .3.由 )0(f 存在,则 )0()0( ff 、 存在且. 而 x fxfxx fxfxf )0()(00 )0()(0 limlim)0( ,)0(limlimlim)0( )0()(00)0()(00)0()(0 ff x fxfxxfxfxxfxfx ,使 )0()0( ff , 有 0)0()0()0( fff .4.(1) 2222 1 1)( xaxax axa ; ( 2) lnln 12 xxx xxxx x ( 提 示 : xxx xx exy lnxe xxe lnln ,再 数
18、函数 ; 取对数 法);(3) ,1 ,1 ,)(11xexexfxx则 1x 时, xexf 1)( ; 1x 时, 1)( xexf ;1x 时, )1(lim11lim)1( 11111111 ff xexxexxx,则在 1x 不可 .7( 4 ) 4 ,1 ; ( 5 )tetttttttt22222)2sincos2()2cos2(sin4 , 2sincos22sinsin2 ;(6) )6( 1)5( 1!100 101101 xx (提示:分“分currency1,分,再 ).5. 1)0( g , 11)sin1(lim0 )0()(lim)0(1200 xxxxgxgg
19、xxx,0x 时, xxx xxxxg 1112 cossin21)sin1()( .6. )0(lim1lim)0( ,0)0( 0 0)11(00 0)1ln(0 fff x xxxx xx ,所以,函数 )(xf 在点 0x 可 ,且 1)0( f ,而 在 0x 连续.注评 :234(3)56都涉及函数在一点 的 数,特 是分段函数在分界点 的 数 别 ,数的定 以及左右 数的概念起到 的作用, 要 注意 义 务 .7.(1)由 xyyfxfyxf 2)()()( ,得 0)0( f .0y 时, xyyfy xfyxf 2)()()( . 由已知由 数定义,得yyfyyfyfyfk
20、)(0)0()(0limlim)0( , kxxf y xfyxfy 2lim)( )()(0 .故对一 ) ,( x , )(xf 皆可 ,且 kxxf 2)( .(2)由 kxxf 2)( ,知 Ckxxxf 2)( ,再由 0)0( f ,得 kxxxf 2)( .第3章 3.3 1. )0( !2)( 32 之间与介于 xxexxxf .2. ) 1( )1()1()1()()(1)( 1212 之间与介于 xxxxxxf nnnn .3. 2)1(2)1(76)( xxxf . 4.(1) 61 (提示:分“的 xsin x,而 需分的 xsin 展fl到 3x ); (2) 121
21、 (提示: 分的 xcos 和 22xe 都展fl到 4x).83.41.(1) ) ,0( 21x 单”, ),(21 x 单 ;(2) ),( 4 3ax 单 , ),( 4 3 ax 单”.2.(1)证 : 拉格朗日中值定理.令 xexf )( ,则 xxexfeefxf x )0)()0()( 0 .证 : 单调性.令 1)( xexf x ,则 1)( xexf .0x 时, 0)( xf ,而 )(xf 单调”;而 0x 时, 0)( xf ,而 )(xf 单调 .故对一 0x , 0)0()( fxf ,即 证的不成立.注评 : 抽象,但 ; 俗,但 虽 洁 虽 显 烦.(2)令
22、 )1sec2(sin)( ,2seccos)( ,2tansin)( 22 xxxfxxxfxxxxf .20 x 时, )(0)( xfxf 单调 0)0()( fxf )(xf 单调 ,故 20 x 时, 0)0()( fxf ,即 证的不成立( 会推理 过 ).注评 :本 与(题 1)和下面的(3)的不同 在 : 两 用 单调 .(3)参考上题 法泰勒:单调性 法:令 331tan)( xxxxf ,则)(tan(tantan1sec)( 2222 xxxxxxxxxf , 20 x 时, 0)( xf ,所以, )(xf 单调 ,故 20 x 时,0)0()( fxf .泰勒:令 x
23、xf tan)( ,则 xxf 2sec)( , xxxxf tansecsec2)( ,)1tan4tan3(2)secsectan3(2)( 24222 xxxxxxf ,xxxxxxxxf 23223)4( sec)tan2tan3(8)sectan8sectan12(2)( ( 烦),之间与介于其中 ) 0 ( )( !4)(!3)0(!2)0()0()0()(tan43314)4(32xxRxxxfxfxfxffxfx20 x 时, 0)( 4!4 )(4 )4( xxR f ,故 331tan xxx 成立.9注评 : 本 而 , 一 ,但 而 , 到 ( 是 对 题 单 对 实际
24、 劳) , 果 而 显 . (或 )的同 用长 劳 议, 几个 目也有 的情况题 类 . , 方法要 currency1总 类 .(4)参考(1)题 法泰勒: 4)1( 14132 432)1ln( xxx xx ,而0)( 4)1( 1413 4 xxR (介于0与x之间),故 32 32)1ln( xxxx .3.原不为 aaxa xa ln)ln( ,设 xxxf ln)( ,则 2ln1)( x xxf .所以, ex 时,0)( xf ,而 )(xf 单调”,故 aaxa xa ln)ln( ,即原不成立.注评 :“要 的不等 等价 用 的方法会fifi 证 转 单调 .4.不一定,
25、例如, xxxf sin)( 在 ) ,( 内单 , xxf cos1)( 在) ,( 内不单调.5. ) ,( 512x 单 , ),( 512 x 单”; 102052052 41max512)( ff ,无极小.6.函数 )(xfy 连续, 3 22232 ax xy ,有一个驻点 0x 和 个不可 点 ax ;0)( af 为极小值, 是最小值; 34)0( af 为极大值, 无最大值.7.在 1 ,0 上函数单”,故 4)0( f 最大, 0)1( f 最小.令 xbxxaxf 2ln)( ,则应有 012)1( baf , 014)2( 2 bf a ,得 32a , 61b ;而 )1(f 极小, )2(f 极大.提示:函数 可 ,而可 的极值点 为驻点. cbxaxxf 23)( 2 0)3(434)2( 22 acbcab ,即 032 acb 时无零点.3.51. )1 ,0(x 时,凸; ) ,1( x 时,凹;拐点 )7 ,1( .2. 82k ,各有 个拐点 ) ,1( 22 . 3. 3 ,0 ,1 cba .4. tty 1143 )1( 2 , 0y 的点 1t ,y 不存在的点 0t ;10
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