1、第五部分 多元函数微积分n 前面几部分是讨论一元函数微积分问题 (包括一元函数的极限、连续性、导数与微分、积分、微分方程等). n 这一部分讨论多元函数 (主要是二元函数 )的微积分问题 (包括二元函数的定义、极限、连续性、偏导数、二重积分等 ). 从一元函数到二元函数，有很多结论本质上不相同，而二元函数到其他更高阶元函数的讨论是完全类似的 , 因此我们将重点讨论二元函数的微积分问题 . n 讨论二元函数是在空间直角坐标系下进行的，因此在学习任务一中 , 先学习 “空间解析几何 ”, 包括坐标的建立、空间中两个点之间的距离、平面方程与直线方程、曲面方程与曲线方程等内容 . 学习任务一 空间解析
2、几何n 大家已经看到 , 讨论一元函数微积分 , 借助于平面直角坐标系是很有帮助的 , 无论是讨论一元函数的极限、还是学习导数和积分都是这样 . 要学习二元函数的极限、偏导数和二重积分 , 先学习空间直角坐标系是非常必要的 .n 建立空间直角坐标系及其他问题的讨论 , 对比平面直角坐标系是很有帮助的 . 在本学习任务中 , 要求大家掌握两个点之间的距离计算公式.n 1. 空间直角坐标系的建立n 在中学 ,原点相同的两根垂直的数轴就得到一个平面直角坐标系 . 类似地 ,原点相同的三根两两垂直的数轴就得到一个空间直角坐标系 . n 在空间直角坐标系中，三根数轴分别称为 横轴 (或 x轴 )、 纵轴
3、 (或 y轴 )和 竖轴 (或 z轴 ). 有了空间直角坐标系，空间中任意一个点 P都可以用这个点的横坐标 x、纵坐标 y和竖坐标 z三个数来表示，即 P(x, y, z). 这是建立空间直角坐标系的原因之一 . n 在三根数轴中， x轴和 y轴所确定的平面称为 xOy坐标面， y轴和 z轴所确定的平面称为 yOz坐标面， x轴和 z轴所确定的平面称为 xOz坐标面 . n 2. 空间中两个点之间的距离n 建立了空间直角坐标系，空间中的任意两个点可以分别为 M1(x1, y1, z1)和 M2(x2, y2, z2). 完全类似于平面直角坐标系中两个点之间的距离公式的推导，很容易得出空间中两个
4、点 M1 (x1, y1, z1) 和 M2 (x2, y2, z2)之间的距离公式为n 例 (空间中两个点之间的距离 ) 在 x轴上求一个点 C, 使得 C点与 A(-4, 1, 7)和 B(3, 5, -2)等距离 . n Solution 设 C(x, 0, 0)是 x轴上所求的点 , 根据题意有 |CA| = |CB|, 而n 由 |CA| = |CB|, 解方程得 x = -2. 因此 , 所求的点为 (-2, 0, 0). n 注意 本例除用到空间中两个点之间的距离公式外，关键还要知道 x轴上任意的点都是 (x, 0, 0)形式 . 同理， y轴上任意的点都是 (0, y, 0)形
5、式， z轴上任意的点都是 (0, 0, z)形式 . n xOy坐标平面上的点是 (x, y, 0)、 yOz坐标平面上的点是 (0, y, z)和 xOz坐标平面上的点分别是 (x, 0, z). n 3. 平面方程和空间直线方程n 类似于平面中到两个给定点距离相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线，在空间中到两个给定点距离相等的点的轨迹是垂直平分面 (一个平面 !). 下面的例子说明如何得出该平面的方程 .n 例 (平面方程的建立 ) 设有点 A(0, 0, 0)和B(1, 1, 2),求线段 AB的垂直平分面的方程. n Solution 设动点 M(x, y, z)是平面上的点 ,根据题意有 |MA| = |MB|, 而n 由 |MA| = |MB|, 得n 一般地 , 在空间直角坐标系中 , 平面方程的一般形式为 (A, B, C不全为 0)
