复变函数试题及答案.doc

1、一、填空题（每小题 2 分）1、复数 的指数形式是 i2、函数 = 将 上的曲线 变成 ( )上wzZS12yxWSivuw的曲线是 3.若 ,则 01ze4、 = i5、积分 = idz226、积分 1snzi7、幂级数 的收敛半径 R= 0nn8、 是函数 的 奇点zzez19、 Re21szz10、将点 ,i,0分别变成 0,i, 的分式线性变换 w二、单选题（每小题 2分）1、设 为任意实数，则 =（ ）1A 无意义 B 等于 1 C是复数其实部等于 1 D是复数其模等于 12、下列命题正确的是（ ）A B 零的辐角是零 iC仅存在一个数 z,使得 D ziz13、下列命题正确的是（

2、）A函数 在 平面上处处连续zfB 如果 存在,那么 在 解析azfaC 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛D 如果 v是 u的共轭调和函数,则 u也是 v的共轭调和函数 4、根式 的值之一是（ ）31A B C D i23123i23ii2315、下列函数在 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ）0zA B C D z1sinz1coszctge1Lnz6、下列积分之值不等于 0 的是( )A B C D 123zd12zd124zd1coszd7、函数 在 处的泰勒展式为（ ）farctn0A （ 1） B （ 1）021nz012nnzC （ 1） D （ 1）02nnz02nnz8、幂

3、级数 在 内的和函数是（ ）nn201)(A B C D 21z2z12z21z9、设 a ， C： =1，则 （ ）iidia2cosA 0 B i C 2 ie D icosie210、将单位圆 共形映射成单位圆外部 的分式线性变换是（ ）1z 1wA B )(aewi )(azeiC D )1(zi )1(wi三、判断题（每小题 2分）1、 （ ）对任何复数 z, 成立2z2、 （ ）若 是 和 的一个奇点,则 也是 的奇点azfgazgf3、 （ ）方程 的根全在圆环 内0123721z4、 （ ）z= 是函数 的三阶极点zf2515、 （ ）解析函数的零点是孤立的四、计算题（每小题

4、6分）1、已知 在 上解析,求 a,b,c,d的值 )(222 ydxcibyaxzf zS2、计算积分 22)1(5zz3、将函数 在 的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围f4、计算实积分 I=02)4(1dxx5、求 在指定圆环 内的洛朗展式21)(zfiz6、求将上半平面 共形映射成单位圆 的分式线性变换0Im1w，使符合条件 ， zLwiL0i五、证明题（每小题 7分）1、设（1）函数 在区域 内解析)(zfD（2）在某一点 有 ， （ ）00)(zfn,21n证明： 在 内必为常数)(zf2、证明方程 在单位圆 内有 个根15nez一填空题（每小题 2 分，视答题情况可酌情给 1 分

5、，共 20 分）1 ，2 ， 3 (2k+1) ,(k=0, )， 4 (k=0,ie654ui2,kie24ln),5 , 6 0 , 7 , 8 可去， 9 ， 10 3i212ez1二 单选题（每小题 2分，共 20 分）1 D 2 D 3 A 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D 9 A 10 A三 判断题（每小题 2分，共 10 分）1 2 3 4 5 四 计算题（每小题 6分，共 36 分）1 解： , 分22byaxu22ydxcv3yxv5分xycxy2解得: 分1,bda 62 解：被积函数在圆周的 内部只有一阶极点 z=0z及二阶极点 z=1 分22)1(5)Re020

6、zzfs)(1211 zzzfs 分5= 2i(-2+2)=0 分22)(5zd 63 解： 1f= 4分nnzzz 121220（ 2） 6 分4 解: 被积函数为偶函数在上半 z平面有两个一阶极点 i,2i 1分I= 2分dxx)4(122= 3分(Re2zsfzfsii= 5分izizi 222 )(1)4( = 6分65 解： 1分)(1)(izzf= 3分izi21)(= 6分02)()(nniiz iz26 解: =L(i)=k 分wi23分2)(izk4分0Lik6分izw五 证明题（每小题 7分，共 14 分）1 证明:设 在 解析)(:0DkRk)(zf0由泰勒定理 2分00

7、)(!nnzf )(Dkz由题设 ， 4分)(0fn)(0fz由唯一性定理 7分)(0f2 证明：令 ， 分nzf5)(1)(ze2(1） 及 在 解析(2） 上，1z5nzf5 分 1eez 4故在 上 ，由儒歇定理在 内zfz7分nzfNzN),()1,(一、填空题（每小题 2 分）1、 的指数形式是 3sinco52、 = i3、若 0r1，则积分 rzdz1l4、若 是 的共轭调和函数，那么 的共轭调和函数是 vuv5、设 为函数 = 的 m阶零点，则 m = 0z)(f33sin6、设 为函数 的 n阶极点，那么 = azf zfsazRe7、幂级数 的收敛半径 R= 0!n8、 是

8、函数 的 奇点zz1si59、方程 的根全在圆环 内23710、将点 ,i,0分别变成 0,i, 的分式线性变换 w二、单选题（每小题 2分）1、若函数 在区域 D内解析，则函数 在区域 D内（ ）zf zfA在有限个点可导 B 存在任意阶导数C 在无穷多个点可导 D 存在有限个点不可导2、使 成立的复数是（ ）2zA 不存在 B 唯一的 C 纯虚数 D 实数3、 （ ）2)1(coszdzA sin1 B sin1 C 2 sin1 D 2 sin1iiii4、根式 的值之一是（ ）3A B C D 2i23iii5、 是 的（ ）zzsinA 可去奇点 B 一阶极点 C 一阶零点 D 本质

9、奇点6、函数 ，在以 为中心的圆环内的洛朗展式41zzf 0z有 m 个，则 m=( )A 1 B 2 C 3 D 47、下列函数是解析函数的为（ ）A B xyi2xyi2C D )2()1(2x38、在下列函数中， 的是（ ）0Re0zfszA B 2zfzzf1sinC D zfcosinefz9、设 a ， C： =1，则 （ ）iidiaC2csA 0 B i C 2 ie D icosie210、将单位圆 共形映射成单位圆外部 的分式线性变换是（ ）1z 1wA B )(aewi )(azeiC D )1(zi )1(wi三、判断题（每小题 2分）1、 （ ）幂级数 在 1内一致收

10、敛0nz2、 （ ）z= 是函数 的可去奇点2cos13、 （ ）在柯西积分公式中，如果 ，即 a在 之外，其它条件D不变，则积分 0，dzafiC24、 （ ）函数 在 的去心邻域内可展成洛朗级数zfzctge15、 （ ）解析函数的零点是孤立的四、计算题（每小题 6分）1、计算积分 ，C： 1+ 的直线段Cdzixy2i2、求函数 在所有孤立奇点（包括 ）处的留数21zf 3、将函数 在 的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域izfi4、计算积分 , C: ，Cd12 122yx5、计算实积分 I= 0cosa)(6、求将单位圆 共形映射成单位圆 的分式线性变换z1wzLw使符合条件 ，2

11、1L五、证明题（每小题 7分）1、设函数 在区域 内解析，证明：函数 也在 内解析zfDzfiD2、证明：在 解析，且满足的 ， （ ）0nf21nf21,的函数 不存在zf 满分 14得分一填空题（每小题 2 分，视答题情况可酌情给 1 分，共 20 分）1 ，2 (k=0,) ， 3 0， 4 ， 5 9 9iek u6 ，7 ， 8 本质， 9 ， 10 n2zz二 单选题（每小题 2分，共 20 分）1 B 2 D 3 C 4 D 5 A 6 C 7 C 8 D 9 A 10 A三 判断题（每小题 2分，共 10 分）1 2 3 4 5 四 计算题（每小题 6分，共 36 分）1 解：

12、C 的参数方程为： z=i+t, 0 dz=dt 分1t 3 = 分dzixy212dit3i62 解: 为 一阶极点 分zf 1为 二阶极点 分1z 2分41Re1zzfs 3分121zzf 56分0efsz3 解： = 2分izf1izi21= 5分10nniziz（0 2） 6 分4 解：在 C 内 有一个二阶极点 0 和zfz一个一阶极点 1分i3分1Re020zzfs5分iizfsiz 21)(Re2所以原式 i 6分05 解：令 iez1分izdaIz112= 3分 1 22)1()1(2z azi被积函数在 内的有一个一阶极点 2az5分1)(Re212zfsazI= 6分22ai6解： 分121zkzLw 2所以 分121kkLk4于是所求变换 分212zw6五 证明题（每小题 7分，共 14 分）1 证明： 设 f(z)=u（x，y）+iv（x，y）= u（x，y）-iv（x，y）)(zf= v（x，y）-i u（x，y） 分i 2f（z）在 D内解析， xyvu,