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2008年普通高等学校招生全国统一考试四川延考卷.DOC

1、- 1 -2008 年普通高等学校招生全国统一考试(四川延考卷)数 学(理科)一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1)集合 , 的子集中,含有元素 的子集共有1,0A0(A)2 个 (B)4 个 (C)6 个 (D)8 个解: 的子集共 个,含有元素 0 的和不含元素 0 的子集各占一半,有 4 个选328B(2)已知复数 ,则()iz|z(A) (B) (C) (D)525525解: (3)10()()422iiz ii2|4z(3) 的展开式中含 的项的系数为 41()x2x(A)4 (B)6 (C)10 (D

2、)12解: 展开式中含 项的系数为412344()()xxx 2x23410C(4)已知 ,则不等式 的解集为*nN20.1n(A) 199, (B) 200,| |n*N(C) 201, (D) 202,|n*|解: 220.11 *0,n(5)已知 ,则 tan22(sinco)(A) (B) (C) (D)3- 2 -解: ,选 C2 1(sinco)sinco1tan23i(6)一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径,该正三棱锥的高等于这个球的直径,则球的体积与正三棱锥体积的比值为(A) (B) (C) (D)83363283解: 设球的半径为 ;正三棱锥的底面面积 , ,r314Vr

3、24Srh。所以 ,选 A232136V1283V(7)若点 到双曲线 的一条淅近线的距离为 ,则(,0)P2xyab2双曲线的离心率为(A) (B) (C) (D)2323解:设过一象限的渐近线倾斜角为 sin451k所以 ,因此 ,选 A。byxab2,ccae(8)在一次读书活动中,一同学从 4 本不同的科技书和 2 本不同的文艺书中任选 3 本,则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为(A) (B) (C) (D)15122345解:因文艺书只有 2 本,所以选 3 本必有科技书。问题等价于选 3 本书有文艺书的概率:346()1()1205PAC(9)过点 的直线与圆 相交于 两点,

4、则 的最小值为, 2()(3)9xy,AB|(A) (B) (C) (D)2345解: 弦心距最大为 , 的最小值为22(1)()| 2954- 3 -(10)已知两个单位向量 与 的夹角为 ,则 的充要条件是ab135|1ab(A) (B)(0,2)(2,0)(C) (D)(,)(,)解: 222 2|111cos351ababA,选 C20或(11)设函数 的图象关于直线 及直线 对称,且 时,()yfxR0xx0,x,则 2()fx3(A) (B) (C) (D)14349解: 211()()()()224fffff(12)一个正方体的展开图如图所示, 为原正方体的顶点,,B为原正方体一

5、条棱的中点。在原来的正方体中, 与 所成ACAB角的余弦值为 (A) (B) (C) (D)510105510解:还原正方体如右图所示设 ,则 ,AB,AF, , 与 所成角等于 与 所成角,2BEF3EE所以余弦值为 ,选 D58910cos2B二填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中模式横线上。(13)函数 的反函数为 。1xye()R解: ,所以反函数11ln()xyxy,ln(1)()yx- 4 -(14)设等差数列 的前 项和为 ,且 。若 ,则 。nanS5a4074a解: ,取特殊值5123414230Sa令 ,所以23,a4741974a(15

6、)已知函数 在 单调增加,在 单调减少,()sin)6fx(0)(,)3(,2)3则 。解:由题意 4()si()13f412,6kkZ又 ,令 得 。 (如 ,则 , 与已知矛盾)0k20kT(16)已知 , 为空间中一点,且 ,则直线 与9AOBC60AOCBOC平面所成角的正弦值为 。解:由对称性点 在平面 内的射影 必在 的平分线上作D于 ,连结 则由三垂线定理 ,DEOACECEO设 ,又 ,所1,260,2E以 ,因此直线 与平面 所成角的正弦2CAB值 sinOD三解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(17) (本小题满分 12 分

7、)在 中,内角 对边的边长分别是 ,已知ABC, ,abc。22acb()若 ,且 为钝角,求内角 与 的大小;4B()若 ,求 面积的最大值。AC解:()由题设及正弦定理,有 。222sinisin1CB故 。因 为钝角,所以 。22sincosCcoA- 5 -由 ,可得 ,得 , 。cos()4ACsini()4C85A()由余弦定理及条件 ,有 ,故 。221()bac2osacBosB12由于 面积 ,BsincB又 , ,ac21()4i32当 时,两个不等式中等号同时成立,所以 面积的最大值为 。ABC1342(18) (本小题满分 12 分)一条生产线上生产的产品按质量情况分为

8、三类: 类、 类、AB类。检验员定时从该生产线上任取 2 件产品进行一次抽检,若发现其中含有 类产品或C2 件都是 类产品,就需要调整设备,否则不需要调整。已知该生产线上生产的每件产品B为 类品, 类品和 类品的概率分别为 , 和 ,且各件产品的质量情况互AC0.95.0不影响。()求在一次抽检后,设备不需要调整的概率;()若检验员一天抽检 3 次,以 表示一天中需要调整设备的次数,求 的分布列和数学期望。解:()设 表示事件“在一次抽检中抽到的第 件产品为 类品” ,iAiA1,2.i表示事件“在一次抽检中抽到的第 件产品为 类品” ,iBB表示事件“一次抽检后,设备不需要调整” 。C则 。

9、121212ABA由已知 , ()0.9iP()0.5i1,.i所以,所求的概率为 12212)()()CPBPA。0.9.05.9()由()知一次抽检后,设备需要调整的概率为,依题意知 , 的分布列为()10.9pPC(3,.1)B- 6 -0 1 2 3p0729 0243 0027 0001。3.1En(19) (本小题满分 12 分)如图,一张平行四边形的硬纸片 中, , 。沿它的对角线0ABCD1B2A把BD 折起,使点 到达平面 外点 的位置。0C00()证明:平面 平面 ;AB()如果 为等腰三角形,求二面角 的大小。ABDC解:()证明:因为 , ,01DC02所以 , 。09

10、B9因为折叠过程中, ,0B所以 ,又 ,故 平面 。DCD0CB又 平面 ,所以平面 平面 。B0A0A()解法一:如图,延长 到 ,使 ,连结 , 。EE因为 , , , ,所以 为正方形,E1B9ABD。1A由于 , 都与平面 垂直,所以 ,可知 。DB0CAC1因此只有 时, 为等腰三角形。2B在 中, ,又 ,RtAE21E所以 为等边三角形, 。CB60C由()可知, ,所以 为二面角 的平面角,即二面角 的大ABDABDC小为 。60解法二:以 为坐标原点,射线 , 分别为 轴正半轴和 轴正半轴,建立如图的Dxy- 7 -空间直角坐标系 ,则 , , 。Dxyz(1,0)A(,1

11、0)B(,)D由()可设点 的坐标为 ,其中 ,则有 。 Cz21xz因为 为等腰三角形,所以 或 。AB1C若 ,则有 。12()xz则此得 , ,不合题意。0z若 ,则有 。 AC2(1)z联立和得 , 。故点 的坐标为 。x3C13(,)2由于 , ,所以 与 夹角的大小等于二面角 的大小。DABDABABDC又 , ,(1,0)13(,0)2C 1cos, .2|C所以 即二面角 的大小为 。,6DABABD60(20) (本小题满分 12 分)在数列 中, , 。na1212()nnaa()求 的通项公式;na()令 ,求数列 的前 项和 。12nbnbnS()求数列 的前 项和 。

12、T解:()由条件得 ,又 时, ,122()nna12na故数列 构成首项为 1,公式为 的等比数列从而 ,即 2n 21n21na()由 得 ,2()nnb235nnS,2311nn两式相减得 : - 8 -, 所以 231112()2n nS 25nnS()由 得2()aa 12nnnTTS所以 1nna2146n(21) (本小题满分 12 分)已知椭圆 的中心和抛物线 的顶点都在坐标原点 , 和 有公共焦点 ,点 在1C2CO1C2F轴正半轴上,且 的长轴长、短轴长及点 到 右准线的距离成等比数列。x1F()当 的准线与 右准线间的距离为 时,求 及 的方程;2 1512()设过点 且

13、斜率为 的直线 交 于 , 两点,交 于 , 两点。当FlCPQCMN时,求 的值。36|7PQ|MN解:()设 : ,其半焦距为 则 : 1C21xyab(0)c(0)24ycx由条件知 ,得 22()()c2a的右准线方程为 ,即 1C2x4的准线方程为 2c由条件知 , 所以 ,故 , 5136a3b从而 : , : 1C2367xy2C1yx()由题设知 : ,设 , , , lc1(,)M2(,)Ny3(,)Px4(,)Qxy由()知 ,即21:43xy41xc由 , 知 满223cyx34,足 ,22780x- 9 -从而 223434342()()7PQxyxc由条件 ,得 ,

14、故 : 67c2C6由 得 ,所以23yx2904x129x于是 12MNFc(22) (本小题满分 14 分)设函数 。2()xf()求 的单调区间和极值;()若对一切 , ,求 的最大值。xR3()3afxbab解:() ,2211()()f当 时, ;当 时, ;,x)0fx,)(,)()0fx故 在 单调增加,在 单调减少。()f21(21的极小值 ,极大值x()f)f()由 知2(12)xff即 1()()0fxf(1f由此及()知 的最小值为 ,最大值为x2因此对一切 , 的充要条件是,R3()3afb12即 , 满足约束条件ab- 10 -,3123abab由线性规划得, 的最大值为 5

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