1、2009 年高考数学试题分类汇编向量一、选择题1.( 2009 广 东 卷 理 ) 一质点受到平面上的三个力 123,F(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态已知 1F, 2成 06角,且 1F, 2的大小分别为 2 和 4,则 的大小为(D)A. 6 B. 2 C. 5 D. 27 2.(2009 浙江卷理)设向量 a, b满足: |3a, |b, 0a以 , b, a的模为边长构成三角形,则它的边与半径为 1的圆的公共点个数最多为 ( C ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A 3 B 4 C 5 D 63.(2009 北京卷理)已知向量 a、 b 不共线, c kab(R),d ab
2、,如果 c/d,那么 ( D )A 1k且 c 与 d 同向 B k且 c 与 d 反向 C 1且 c 与 d 同向 D 1k且 c 与 d 反向4.(2009 山东卷理)设 P 是ABC 所在平面内的一点, 2BAP,则( B )A. 0PB. 0CAC. 0P D. 0C5.(2009 全国卷理)设 a、 b、 c是单位向量,且 ab0,则 acb的最小值为 ( D )(A) 2 (B) 2 (C) 1 (D)126.(2009 全国卷理)已知向量 ,|5,则 | CA. 5 B. 0 C. D. 57.(2009 辽宁卷理)平面向量 a 与 b 的夹角为 06, (2,)a, 1b 则
3、2ab B(A) 3 (B) 23 (C) 4 (D)128.(2009 宁夏海南卷理)已知 O,N,P 在 ABC所在平面内,且 ,0OACNA,且 PBC,则点 O,N,P 依次是 B的( C )(A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心)9.(2009 湖北卷文)若向量 a=(1,1) ,b=(-1,1) ,c=(4,2) ,则 c= ( B )A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b10.(2009 湖南卷理)对于非零向量 a、b, “ 0b”是 “a/b”的是 (
4、 A )A充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件11.(2009 重庆卷理)已知 1,6()2A,则向量 a与向量 b的夹角是( C )A 6B 4C 3D aA BC二、填空题1.( 2009 广 东 卷 理 ) 若平面向量 a, b满足 1, ba平行于 x轴, )1,2(b,则 a 2.(2009 江苏卷)已知向量和向量 的夹角为 30o, |2,|3,则向量 a和向量 的数量积 b= 3 。3.(2009 安徽卷理)给定两个长度为 1 的平面向量 OA和 B,它们的夹角为120o.如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 B上变动.若 ,Cxy
5、其中,xyR,则 xy的最大值是_2_.4.(2009 江西卷理)已知向量 (3,1)a, (,)b, (,7)ck,若 ()ac b,则 k= 5 5.(2009 湖南卷文)如图 2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起, 若ADxByC,则 x 2 , y32 . 三、湖北省历年试题(04 年)已知 为非零的平面向量. 甲: ( )cba, 则乙 ,:,cbaA甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件(04 年)如图,在 RtABC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ与
6、的夹角 取何值时 的值最大?并求出这个最大值.CQBP(05 年)已知向量 不超过 5,则 k 的取值范围是 .|).,5(),2(bakba若(05 年)已知向量 在区间(1,1)上是增函数,baxftxx)(,1若 函 数求 t 的取值范围.(06 年)已知向量 , 是不平行于 轴的单位向量,且 ,则(3,)abx3AbA ( ) B ( ) C ( ) D ( )31,2,213,41,0(2006 年湖北卷)设函数 ,其中向量cbaxf xbxaos3,sin,cos,sin. ()求函数 的最大值和最小正周期;Rxc,sin,oxf()将函数 的图像按向量 平移,使平移后得到的图像关
7、于坐标原点成中心对称,求长度fyd最小的 .d(07 年)连掷两次骰子得到的点数分别为 和 ,记向量 与向量 的夹角为 ,则mn()mn,a=(1),b的概率是( )A B C D0, 5121271256(07 年)已知 的面积为 ,且满足 ,设 和 的夹角为 BC 306A AB(I)求 的取值范围;(II)求函数 的最大值与最小值2()sincos24f(08 年)设 , , 则)1(a)3(b),(cba)A. B. C. D.(5,201(08 年)在 中,三个角 的对边边长分别为 ,则ABC,ABC3,46c的值为 . coscosbab612(09 年)已知 |(1,0),|(,
8、)1,)PmRQbnR是两个向量集合,则,QA 1,1 B. -1,1 C. 1,0 D. 0,1 (09 年)已知向量 )0,(),sin,(co),sin,(cocba()求向量 的长度的最大值;b()设 求 的值.),(,4且平面向量的数量积(周一 2 课时)一、基础知识梳理(优化方案 P133)1.平面向量的数量积的定义(1)向量的夹角及其范围注:两个向量 , 平移成有公共起点时两个向量所成的角才是向量的夹角;要注意它的取值范围是ab;零向量与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题.80(2)向量的数量积的定义及其坐标运算。(3)向量数量积的几何意义。2、数量积的性质(5 条) ;数量积
9、的运算律注:与实数乘法比较,虽然乘法公式仍然适用,但是结合律不成立,即 ;)()(cba消去律不成立,即由 不能得到 ;此外由 也不能得到 或 .cabcb0ba03. 重要定理、公式的坐标表示二、考点精讲考点一:平面向量的数量积及运算律例 1 已知 , , 与 的夹角为 ,求 ; ; ;3|a2|bab135ba)(ba2)(; .)(2(b)()注:数量积的计算是基本的技能,在展开时与多项式乘法类似(乘法公式仍然适用) ,但与乘法的法则比较,数量积除了模的乘积之外还有夹角的余弦.例 2(1)设 , 满足 , 与 的夹角为 ,求 和 ;ab1|ab60ba|2|(2)已知两个单位向量 与 的
10、夹角为 ,若 , ,求 与 夹2cd3cd角的余弦;(3)已知 , , ,求向量 在向量 方向上的投影.3|a5|b1aba注:本例中的问题是向量的数量积所涉及到的基本问题(数量积的计算及有关长度、角度) ,体现了向量的工具性,要切实把握好解决这些问题的基本方法;其中角度的计算是以数量积和向量长度的计算为基础的.学生练习:1、 优化方案P133三基能力强化T1、2、3、42、 优化方案P134 例题 1 及其跟踪训练 1考点二:两向量的夹角(1) , , ,则 与 的夹角是 36|a1|b9aab(2)已知 夹角的余弦值为_bajijiyxji 与则轴 上 的 单 位 向 量 且分 别 是 ,
11、346,125, (3)与向量 的夹角相等,且模为 1 的向量是 )7,()27((4)若 , 是两个非零向量,且 , ,则 与 的夹角是 abab)((5)若 , , ,且 ,则向量 与 的夹角为 1|ccb(6)已知 , , 与 的夹角为 ,求 与 的夹角2| 135a2(7)有四个向量满足 =_.的 夹 角与则且 yxyxbya ,1|,2, 考点三:向量的长度(1)已知 , , 与 的夹角为 ,则 等于 3|a2|ba30|ba(2)已知 、 均为单位向量,它们的夹角为 ,那么 = 6|3|(3)若 _等 于则 |,743,74ABjiOBjiA(4)已知 .|),51(,| baba
12、求(5)在向量 之间,该等式. 成立,当cba, )23(:1)(:)(0acba ,1|,|时求时 a求 的值|和考点四:向量的平行与垂直 (周二 1 课时)一、回忆两个向量平行与垂直的充要条件。二、例题与练习:(1)已知在梯形 ABCD 中, .),2/(),73(),2,1(/ 点 坐 标求若 DABCBACD(2)已知平面内三个点 A(1,7) ,B(0,0) ,C(8,3) ,D 为线段 BC 上一点,且点坐标.BCDAB求,)((3)已知平面上三个向量 , , 的模均为 ,它们相互之间的夹角都是 ,abc1120求证: ;cba)((4)设 , 满足 , , ,若向量 与 互相垂直
13、,求3|4|6 bka实数 的值(是否存在实数 ,使得向量 与 互相垂直?说明理由).kkbka(5)若 , 是两个非零向量,且 与 垂直, 与 垂直,试求ab357ba427与 的夹角.小结:向量垂直的充要条件的应用是重要而且关键的知识点,需要通过举一反三的方式训练落实,这里根据向量满足的不同条件列出方程(组)求解是确定参数值的基本方法.学生练习:优化方案P134 例题 3 及跟踪训练 3考点五:数量积的综合应用(周三 四 2 课时)一、回忆有关数量积的重要公式。二、例题与练习:(1)已知三点 O(0,0) , A(1,0) , P( x, y)且设 .0,1yx如果选取一点 Q,使四边形
14、OAPQ 成为一平行四边形,则 Q 的坐标是_.如果还要求 AP 的中垂线通过 Q 点,则 x, y 的关系是_.再进一步要求四边形 OAPQ 是菱形,则 x=_时.(2)已知 ABC 的三边长分别为 AB=8,BC=7,AC=3,以点 A 为圆心,r=2 为半径作一个圆,设 PQ 为A 的任意一条直径,记 T= 的最大值和最小值,并证明当 T 取最大值和最小值时, PQ 的位置CBP求,特征是什么?(3)已知 , , 与 的夹角为 ,求当向量 与 的夹角是2|a3|ba45bka钝角时,实数 的取值范围. 且k 68516811注:根据向量满足的不同条件列出不等式(组)求解是确定参数值取值的
15、基本方法;不可忽略向量的特殊位置关系的探讨.学生练习:1、 优化方案P136T102、设 与 是两个互相垂直的单位向量,问当 为何整数时,向量 与 的abkmkabnk夹角能否等于 ,证明你的结论。60(4) 优化方案P135 例题 4 及高考检阅题(5) 优化方案P136T12、(6) 优化方案P146 例题 2、例题 3、P148T18(7)已知点 A(-1,0) ,B(1,0) ,点 C 在直线 2x-3=0 上,且 成等差数OBACAB,列, ,求 tan 的值的 夹 角与为 C小结:利用向量的数量积可以解决几何中两线垂直、两线的夹角及线段的长度等问题,只需把问题转化为向量来表示,用向
16、量的运算来求解,并且建立适当的坐标系,用向量的坐标表运算更方便,真正实现几何问题代数化。线段的定比分点(周五 2 课时)一、基础知识梳理:1、定比分点的概念2、定比 与分点之间的关系3、定比分点坐标公式与线段中点坐标公式、三角形重心坐标公式。二、例题与练习:(1) 优化方案P137 例题 1 及跟踪训练练习 1、已知点 A(1,4) ,B(5,2) ,线段 AB 上的三等分点依次为 P1、P 2,求 P1,P 2的坐标以及 A,B 分 .2所 成 的 比P2、设始点为同一点 O 的向量 的终点,A,B,C 在同一条直线上,根据下列条件把cba,表示出来:(1)c 为线段 AB 的中点; (2)
17、C 为以 3:2 内分线段 AB 的分点;ba,用(3)C 为以 3:1 外分线段 AB 的分点.3、设 P1(2,1) ,P 2(0,5)且 P 在 P1P2延长线上使 为则 点 PP|21点 P 地直线 MN 上,且 所成的比为 MNM分则 点|,|已知 P1(1,2) ,P 2(2,3) ,点 P(x 1,1)分 的值为 x则所 成 的 比 为 ,21(2) 优化方案P139 例题 4 及高考检阅题平移(周六 2 课时)一、基础知识梳理1、点的平移2、向量的平移3、图形的平移二、例题与练习(1)已知点 按向量 平移后得到点 ,则点 按向量 平移后的坐标是 (,)a(4,1)(2,)a已知
18、 A(3,7) ,B(5,2) ,向量 AB 按向量 a=(1,2)平移后所得的向量为 若直线 平移得到直线 xy按 向 量xy那 么,6将函数 平移后所得图象的解析式是 )1,(2sina的 图 象 按 向 量把函数的图象 C 按向量 的图象 C,则平移前图象 C 的函数解析xysin2,2,3得 到 函 数平 移 后式为 将函数 图象先向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,所得图象的解析式为_xylg(2)已知函数 的图象经过按 平移后使得抛物线顶点在 轴上,且在 轴上截得的2()ayx弦长为 ,求平移后函数解析式和 4a(3)已知 的交点是 B ,试求FAFFcbxay 与上在已 知 点平 移 到按图 象 ,)8,0(,)4,2(2 )213(F 对应的函数解析式.(4)将函数 的图象进行怎样的平移,才能使平移后得到的图象与函数 的两交点2yx 2yx关于原点对称?并求平移后的图象的解析式 (优化方案P138 例题 3)学生练习:优化方案P138 跟踪训练 2、3
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