几何与线性代数习题册.doc

1、 1 习题一 几何向量 及其运算 姓名 学号 班级 一、 填空题 1 下列等式何时成立： 1） ， 当 ； 2） ，当 ； 3） ， 当 ； 4） ， （ ,为非零向量） ，当 ； 5） ， 当 。 2指出下列向量组是线性相关还是线性无关： 1） , 是 ； 2） , 不平行， , 是 ； 3） , 共面， , 是 ； 4） , 不共面， , 是 。 3在空间直角坐 标系中，点 (2, 3, 5)M 关于关于 yoz 平面的对称点是 ； 关于原点的对称点是 ； 关于 z 轴的对称点是 ； 在 xoy 平面上的投影点坐标是 ； 在 y 轴上的投影点是 ； 到 yoz 平面的距离是 ； 到原点的距

2、离是 ； 到 x 轴的距离是 。 二、设 ,O A O B P为线段 AB 上任一点，证明 存在数 ，使得 )1(OP 。 三、已知向量 313221 , eeeeee ， 证明 , 共面 。 2 四、 判断题 1若 ，且 ，则 。 （ ） 2 , 共面的充分必要条件是 0)( 。 （ ） 3 ,s in。 （ ） 4 。 （ ） 五 、 填空题 1已知向量 4,3,32 的夹角和 ，则 1） = ； 2） 2 = ； 3） (3 2 ) ( 2 ) = 。 2已知 3,2 ADAB ，其中 6,3,5 ，则三角形 ABD 的面积 S 。 六 、 已知 21 , 2 , , , ,3 。问 1

3、） 为何值时， 与 平行； 2） 为何值时， 与 垂直。 七 、已知 与 垂直，且 3, 4，计算： (提示 : ,. ) 1） )( ； 2） )()( ； 3） )2()3( 。 3 习题 二 向量及其运算的坐标计算 姓名 学号 班级 一 、填空题 1平行于 y 轴的向量一般表示式是 。 2向量 )4,1,3( ， )1,1,2( ，它们的夹角 , 。 3向量 ),3,2( 1t ， )2,6,( 2 t ，当 1t = 与 2t = 时， 与 平行。 4设三力 1 (1, 1,0)F ， 2 (0,3, 1)F ， 3 ( 1, 2,1)F 作用于一质点，使质点产生的位移向量 2S i

4、j k ， 则 合力所做的功 W 。 5三角形的三个顶点为 (1 , 0 , 0 ) , (1 , 0 , 2 ) , (0 , 1 , 0 )ABC，其面积 S 。 6和向量 kjikji 2,3 都垂直的单位向量是 。 二 、已知向量 (3, 5, 1)，求 的方向余弦及与 平行的单位向量。 三 、 证明 向量 在 上的投影向量 为 ，并求 向量 (2,3,1) 在向量 (1, 2,2) 上的投影 向量 。 4 四 、 向量 )3,2,1(),1,2,0(),2,3,8( 是否共面？若不共面，试计算以这三个向量为棱所作的平行六面体体积。 五 、 设 (1, 0 0 ), ( 2 , 2 ,

5、1),， 向量 , 共面，且 P r P r 3,o j o j求 。 5 习题三 平面与直线 姓名 学号 班级 一、 填空题 1 平行于平面 0362145 zyx 且与此平面的距离为 3 的平面方程 是 。 2 如果平面 02102 zayax 与 052 zyx 平行，则 a ； 若垂直，则 a 。 3 过三点 (1, 0 , 0 ) , (1,1, 0 ) , (1,1,1 )A B C的平面方程是 。 4 过 x 轴且垂直于平面 0335 zyx 的平面方程是 。 5 点 A(2,3,1)到平面 01 zyx 的距离是 。 6 通过点 (1, 5,1)A 和 (3, 2, 12)B

6、且平行于 y 轴的平面方程为 。 7过点 )3,0,1()1,3,2( 21 MM 和 的直线方程是 。 8过点 )3,1,2(M 且垂直于直线 322 1 zyx 的平面方程是 。 9过点 )3,1,0( M 且垂直于平面 0923 zyx 的直线方程是 ， M 点在此平面上的投影点坐标是 ； M 点关于此平面的对称点坐标是 。 二、求满足下列条件的平面方程 1过原点引平面的垂线，垂足是点 (1,2,1)M 的平面方程。 2 通过点 )3,1,2( A 且平行于向量 )4,3,0()1,2,1( 及 的平面方程。 6 三 、求过点 )2,1,3( 且通过直线 zyx 2 35 4的平面方程。

7、 四 、求点 )2,1,3( 到直线 042 01zyx zyx的距离。 五 、 求两异面直线124 1 3 2 2: ; :2 6 3 2 5 4x y z x y zll 之间的距离。 7 习题 四 线性方程组 姓名 学号 班级 一、用加减消元法求解 下列 线性方程组 1) 02204202321321321xxxxxxxxx . 2) 1 2 31 2 31 2 3232 4 5 12 2 2x x xx x xx x x 8 二 、对非齐次线性方程组 1 2 31 2 31 2 3322 4 33x x xx x xx x ax b ，当 a， b 为何值时无 解？ 何值时 有无穷多解

8、？ 三 、液态苯在空气中可以燃烧。如果将一个冷的物体直接放在燃烧的苯上部，则水蒸气就会 在物体上凝结，同时烟灰（碳）也会在物体上沉积 .这个化学反应的方程式为 1 6 6 2 2 3 4 2CHx x O x C x H O 求 变量 1 2 3 4, , ,xx xx以配平该方程。 9 习题 五 矩阵的运算 姓名 学号 班级 一、 填空题 1设 )(21 EBA ，则当且仅当 2B 时， AA 2 。 2 )(22 BABABA 的充分必要条件是 。 3 设 1 1/ 3Acd，则 c ； d 时， 2AO 。 4 1 4 6 0 1 2 3 1 2 30 1 0 2 3 7 0 ; 0 1

9、 2 0 1 23 5 8 1 0 0 1 0 0 1 。 51 0 0 1 2 3 0 00 3 0 ; 0 1 2 0 00 0 8 1 3 1 0 0k abc ； 0 0 1 2 30 0 0 1 20 0 1 3 1abc 。 二、设 )3,1,2( ， (1,2,3) ， 计算： TA ； TB 及 4A （ k 为正整数）。（ 提示：用矩阵乘法的结合律 2 ( ) ( ) ( )T T T TA B A ） 10 三 、 设 1 2 1 0,1 3 1 2AB 验证 2 2 2( 1 ) ; ( 2 ) ( ) 2A B B A A B A A B B 是否成立？ 四 、若 A, B 满足 AB BA ，则称 B 和 A 可交换。设 11,01A 求所有与 A 可交换的矩阵。 五 、 设 2)( 2 xxxf ，记 )(Af 为方阵 A 的 多 项 式， 即 2( ) 2f A A A E ，若 01 21A ，计算 )(Af 。 六 、把向量方程21 31 1 1 30 1 2 02 3 0 2x x x 改写成 方程组的形式和矩阵乘积的形式。