函数数学研究——论文.doc

1、分院名称：学生学号：本科毕业论文（设计）（理工类）题 目： 专 业： 作 者 姓 名： 指导教师姓名： 指导教师职称： 2013 年 4 月I摘 要函数是数学研究的主要对象，这是因为在我们的周围，大量的事物都需要用函数去描述它们的变化状态.例如，液体的流体，气温的上升，压力的增加等等.我们研究它们是否是连续变化，同时，还要研究这种变化的性质，即函数的连续性与函数的光滑性. 从历史方面来讲，函数概念对数学以及科学的发展有重大影响.回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情.了解函数史不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我

2、们体会数学概念对数学发展、数学学习的巨大作用，函数的表达方式及其分析性质.关键词：函数；表达方式；分析性质长春师范学院本科毕业论文（设计）IIAbstractFunction is the main research object of elementary mathematics and higher mathematics, this is because around us, many things need to use the function to describe the changes of their status. For example, liquid fluid, te

3、mperature, pressure increases. On the one hand, we study whether they are continuous change, at the same time, to study the changes of the smoothing property. It is in this study and the problems, which are continuous functions and smoothness of functions. From middle school to high school, learning

4、 function has been at the core position of mathematics. In addition, in the chemical, physical, biological sciences, function is everywhere. From a historical perspective, the influence function concept of mathematical and scientific development, can be said to be through the ancient and modern, del

5、ay for a long time, the role of extraordinary. Historical development review function concept, historical process at the function concept has been refined, deep, rich, is a very useful things. Understand the function of history not only helps to improve our understanding of the function concept defi

6、nition of the sequence of events, but also can help us to understand the huge role of mathematics concept on the development of mathematics, mathematics learning, expression function and its analytical properties.Key Words: Function; expression; character analysis长春师范学院本科毕业论文（设计）3目录承诺保证书 .I摘 要 .IIAB

7、STRACT .III函数发展史 .51. 积分上限函数 .61.1 关于积分上限函数的理论 .71.2 积分限函数的几种变式 .71.3 有积分限函数参与的题型举例 .81.4 积分上限函数分析性质 .122.函数列与函数项级数 .132.1 基本概念 .132.2 一致收敛条件 .132.3 一致收敛性质 .152.4 范例分析 .163隐函数 .203.1 隐函数的表示方法 .213.2 隐函数的分析性质 .224.向量函数 .254.1 向量函数的分析性质 .25结 论 .26参考文献 .27致 谢 .28长春师范学院本科毕业论文（设计）4函数发展史早期函数概念十七世纪伽俐略(GGal

8、ileo ，意，1564 1642) 在两门新科学一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1637 年前后笛卡尔(Descartes，法，15961650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到 17 世纪后期牛顿、 莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。1673 年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂” ，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示

9、变量间的关系。十八世纪函数1718 年约翰 柏努利 (Johann Bernoulli ，瑞士，16671748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。 ”他的意思是凡变量 x 和常量构成的式子都叫做 x 的函数，并强调函数要用公式来表示。 1748 年，柏努利的学生欧拉在无穷分析引论一书中说：“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。1755，欧拉(LEuler，瑞士，17071783) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为

10、后面变量的函数。 ”18 世纪中叶欧拉(LEuler，瑞士， 17071783) 给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。 ”他把约翰 贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数” 。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰 贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。十九世纪函数1821 年，柯西(Cauchy，法，17891857) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。 ”在柯西的定义中，首先出现

11、了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的长春师范学院本科毕业论文（设计）5局限。1822 年傅里叶（Fourier ，法国，17681830 ）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。1837 年狄利克雷(Dirichlet ，德国， 18051859) 突破了这一局限，认为怎样去建立 x 与 y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的 x 值，y 都有一个确定的值，那么 y 叫

12、做 x 的函数。 ”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。等到康托(Cantor，德国，18451918) 创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，18801960)用“ 集合”和“ 对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数” 的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。现代函数概念1914 年豪斯道夫(F Hausdorff)在集合论纲要中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、 “对应” 概念。库拉托夫斯基(Kura

13、towski)于 1921 年用集合概念来定义“序偶” 使豪斯道夫的定义很严谨了。1930 年新的现代函数定义为“若对集合 M 的任意元素 x，总有集合 N 确定的元素 y 与之对应，则称在集合 M 上定义一个函数，记为 y=f(x)。元素 x 称为自变元，元素 y 称为因变元。 ”1. 积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分） 的自变量是上限变量 ，在求导()()xaFftdx时，是关于 求导，但在求积分时，则把 看作常数，积分变量 在积分区间 上x t,a变动.弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提.1.1 关于积分上限函数的基本理论定理 1 如果 在 上可积，则

14、在 上连续.)(xf,baxadtfF)()(,b定理 2 如果 在 上连续，则 在 上可导，且)(f,xatf)(,.)()(xfdtfxFa长春师范学院本科毕业论文（设计）6注：（）从以上两个定理可看出，对 作变上限积分后得到的函数，性质比)(xf原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导.这是积分上限函数的良好性质.而我们知道，可导函数 经过求导后，其导函数 甚至不一定是)(f )(xf连续的.（）定理（2）也称为原函数存在定理.它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数.我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特

15、定和式的极限，是积分学的问题.定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义.推论 1 )()(xfdtfxb推论 2 )()(ftfc 推论 3 )()( xfxfdtfx 1.2 积分限函数的几种变式（1） 比如 xdtfF0)()(被积函数中含 x , 但 x 可提到积分号外面来 .)在求 时，先将右端化为 的形式，再) xxxx dtftfdtftf 0000 )()()()(对 求导.x（2）比如 xdttfF0)()( f 的自变量中含 x, 可通过变量代换将 x 置换到 f 的外面来)在求 时，先对右端的定积分做变量代换 （把 看作常数） ，此时，)

16、 xtu， 时， ； 时， ，这样， 就化成了以 作为积分dut0tut0)(Fu变量的积分下限函数： ，然后再 000 )()()( xxx dfdfdfF对 x 求导.( 3 ) 比如 10)()(dtf长春师范学院本科毕业论文（设计）7(这是含参数 x 的定积分, 可通过变量代换将 x 变换到积分限的位置上去)在求 时，先对右端的定积分做变量代换 （把 看作常数） ，此时，)F tu， 时， ； 时， ，于是， 就化成了以 作为积分变xdut0tu1t )(Fu量的积分上限函数： ，然后再对 x 求导.xdfF0)()(1.3 有积分限参与的函数题型举例（1） 极限问题：例 1 （答：1

17、2）xdtt023)sin(lim例 2 （提示：本题用洛必达法则求不出结果，可用夹逼准则求. 答：xxli）例 3 已知极限 ，试确定其中的非零常数1sin1lim00 xxdtcabe .,cba（答： ）.,ca（2） 求导问题例 4 已知 求 (答: ).sin,)o1(0ttudyx.xycos12intt例 5 已知 求 (答: )0cxytte.(xyey例 6 求 xdtd02)sin(答: )2i例 7 设 在 内连续且 求证 在 内单调(xf),0)(xf xdtf0)()(),0(增加. (3) 最大最小值问题例 8 在区间 上求一点 , 使得下图中所示的阴影部分的面积为

18、最小.,1e长春师范学院本科毕业论文（设计）8ey = ln xxy11(提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和: , 然后求exxdttdA)ln1(ln)(1出 ,再求出其驻点. 答: .)xA e例 9 设 ， 为正整数. 证明 的最大值不超过0nxnttf02si)()(提示:先求出函数的最大值点, 然后估计函数最大值的上界.)32(1n(4) 积分问题例 10 计算 ，其中 .10)(dxf21sin)(xdtf(提示: 当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时 , 总是用分部积分法求解, 且取 为积分上限函数. 答: )(xu.(cos2例 11 设 在 内连续, 证明f).

19、)()(00xux dtfd(提示: 对右端的积分施行分部积分法.)例 12 设 求 在 内的表达式.2,012,)(xxf xdtf0)()(),(说明: 这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到 . 求表达式时, 注意对任一取定的 , 积分变量 在 内变动.xt,O长春师范学院本科毕业论文（设计）9答: ).21,1)(2,010)(2xxx(5) 含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分方程）的求解问题例 13 设函数 连续，且满足)(求.)()(00xxdtte).(x(答: ) sinco21ex（说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，然后求解.

20、注意初值条件隐含在积分方程内. 答: ） xxsinco)(例 14 设 为正值连续函数, 且对任一 , 曲线)(xf ,1)0(f 0)(fy在区间 上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积, 求此曲线方程.0(说明: 根据题设列出的方程将含有 的积分上限函数 . )(xf答: )0(2)xexf(6) 利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等.例 15 设 均在 上连续, 证明以下的 Cauchy-Swartz 不等式:)(,xgfba.)()( 222ba dxgfd说明: 本题的通常证法是从不等式 出发, 由关于 的二次函数0)(badxtgf t非负的判别条件即可证得结论. 但也可构造一个积分上限函数, 利用该函数的单调性来证明. 提示如下:令 则.)()()()( 22xaxaxa dtgtfdtgfF .0)(aF求出 并证明 从而 单调减少, 于是得 .0F.)(b由此可得结论. 这种证法有一定的通用性. 例如下例.例 16 设 在0,1 上连续且单调减少. 证明: 对任一 有)(xf ,10