【数学与应用数学】论文——公平的评卷系统模型.doc

1、- 1 -公平的竞赛评卷系统模型摘要本文针对数学建模竞赛评卷系统进行模型建立和求解首先通过码制转换和异或运算给出了一种简单易算、可随意转换且保密性能好的加密和解密方法；对于答卷分配方案，我们先以满意度最大为目标函数建立 0-1 整数规划模型，把所有评委分组，分别为 ，再引入隶属度函数，以广泛度最大为目标函数，回避本校答卷和满足5,87某些特殊要求为约束条件建立优化模型，给各题组的评委具体分配答卷；对评卷过程中出现的评分一致性和公正性问题，先运用统计学的原理分析了评委的类型客观公平型、一致性偏高型、一致性偏低型、大幅度波动型和作弊型，并用层次分析法实现对评委公平性的检验；在此基础上，对各类型的评

2、委的评分作出合理的量化，并以这些量化作为权值对不合理的分数进行最终调整，调整公式为 miijjswS1关键词：加密系统，满意度，广泛度，层次分析法- 2 -1 问题提出数学建模竞赛吸引了众多的大学生、研究生甚至中学生的参与，越来越多的人关心竞赛评卷的公平性现今大多数的评卷工作是这样进行的：先将答卷编成密号，评委由各参赛学校（20-50 所）派出，按不同的题目分成几个题组，每个题组由 个评M委组成，评阅 份答卷，每份答卷经 个评委评阅，评委对每份答卷给出等级分NL，如果 个评委给出的分数基本一致，就给出这份答DCBA,卷的平均分，否则需讨论以达成一致（其中 ） 53,206,15LNM假定有 3

3、5 所学校 298 个参赛队参赛，数据见附录 1其中：数字前两位代表学校，甲组选做 A，B 题；乙组选做 C，D 题；25 名评委所属的学校编号为：1-17，20，21，22，24，26，28，29，30每份试卷经四位评委评阅，编号为 15，22 的只容许评 C，D 题，编号为 26 的只容许评 A，B 题，编号为 1，4，6，12，16 的评委要求评 A 题，编号为 2，5，7，10 的评委要求评 B 题；编号为 24 的评委要求评 C 题，编号为 29 的评委要求评 D 题其余按所在学校的甲、乙组别及个人的要求安排现在需要解决如下问题：1研究一种答卷编号加密和解密的数学公式方法（其中题号为

4、明号） ；要求方法简单易算、可随意变换且保密性能好；对方法给出分析；2研究一种评阅答卷分配的数学公式方法，要求回避本校答卷，并且每个评委评阅的答卷尽可能广泛，并满足某些特殊的要求；3研究评分一致性或公正性的检验方法，该方法要求对每个评委的公平性给出评价（某评委分数普遍给的偏高或低属于尺度偏差，不应算作不公平，可在下面的问题中调整） ；4研究最终的分数调整计算公式，该公式要处理那些可能出现的“不公平” ，及尺度偏差2 模型假设21 假设除了问题中某些评委提出的要求，其他评委无明确要求；22 假设每个评委的评卷速度和阅卷量相近；23 假设每个评委在评卷过程中不会交流评卷业务以外的试卷信息，独立地评

5、出每份答卷的分数，对于评阅同一份答卷的评委不会相互交流各自所评的分数3 答卷的加密和解密31 答卷的加密一个密码系统，通常简称为密码体制，由五部分组成（如下图 1） ，可用数学符号描述如下 1：（1）DEKCBS,其中，明文空间，它是全体明文的集合；B密文空间，它是全体密文的集合；C- 3 -密钥空间，密钥是加密算法中的可变参数；K加密算法，它是一族由 到 的加密变换；EBC解密算法，它是一族由 到 的加密变换DCB对于每一个确定的密钥，加密算法将确定一个具体的加密变换，解密算法将确定一个具体的解密变换，而且解密变换就是加密变换的逆变换对于明文空间 中的每一个B明文，加密算法 在密钥 的控制下

6、将明文 加密成密文 ：EeKC（2）eKBEC,而解密算法 在密钥 的控制下将密文 解密出同一明文 ：Dd B（3）dedDM,如果一个密码体制的 ，则成为单密钥密码体制或对称密码体制，否则成为deK双密钥密码体制我们在本文中采用单密钥密码体制，即 ，对答卷编号进行加deK密和解密针对本题，我们加密的目的是把各参赛队的序号反映出来的学校信息以及每个参赛学校不同队伍的组号信息进行隐藏，即对答卷编号隐藏，而各答卷编号（即题号）是明号因此可以得出以下结论：明文空间 为各参赛队的序号，密文空间 为我们BC对明文空间 进行加密后的号码B于是，我们对加密算法 按以下步骤对答卷编号进行加密：EStep1 进

7、行码制转换；Step2 确定密钥；攻击者明文加密算法解密算法明文信道加密密钥 解密密钥MCM安全信道密钥 Ke d图 1- 4 -Step3 明文与密钥进行异或运算；Step4 把结果转换为十进制；Step5 添加题组标示，即为密文为了更好地理解该算法，我们选取了一个编号（1209 B 题）来简单描述：Step1 把 1209 的每个数字转换为四位二进制，即 0001 0010 0000 1001；Step2 随机选取一个 3-5 个字母的英文单词，如 num，把每一个字母转化为 ASCII码，即 110 117 109，再把 ASCII 码转换为二进制，即 1101 0010 0000 10

8、00 0001 1110 101，取前 16 位，即 1101 0010 0000 1000；Step3 按位进行异或运算，即用密钥 与 Step1 得到的二10 0 1K进制序列 0001 0010 0000 1001 异或，得到序列 1100 0000 0000 0001；Step4 把新得到的序列转换为十进制，即五位数字 49153；Step5 在 49153 的最高位前添加 2，即 249153，代表该参赛队是 B 题组的（数字1、2、3、4 分别代表题组 A、B、C、D） 故：编号 1209 B 题的密号为 249153为了减少工作量和提高加密系统的保密性，我们可将所有的参赛队编号按

9、先后顺序先自上而下、后从左到右地排列成 的矩阵；按每一列逐列进行整体加密；每一mn个评委分别秘密地发给公证人（注：该公证人不参与评卷工作，只负责对答卷加密、解密和分配答卷的工作 ）3-5 个字母的英文单词，公证人按顺序或逆序把每一个字母转化为 ASCII 码，再把各 ASCII 码转换为二进制，取一定的位数，此位数取决于每一列的编号转换为二进制后的全体比特数这样，就可以简化了 Step2 随机选取密钥的工作量，同时不会降低其保密性能32 答卷的解密对密号进行解密，实际上是对加密算法的逆运算，即 我们对解密算法1ED按以下步骤对密号进行解密：DStep1 评委们公开各人秘密发给公证人的字母，公证

10、人公开其按顺序还是逆序排列评委们的字母；Step2 把所有字母转换为 ASCII 码，再把各 ASCII 码转换为二进制，取一定的位数，此位数取决于每一列的编号转换为二进制后的全体比特数；Step3 取密号的后五位，转换成二进制，得到的结果与密钥 进行异或运算；KStep4 所得结果每四位二进制转换成一位十进制，按顺序逐个转换，得到的结果每四位十进制便是明号，即答卷的编号33 对加密系统的分析一个密码系统应满足以下三点共同要求 2：（1）加密变换及解密变换对所有密钥均有效；（2）该系统是容易使用的；（3）系统的安全应当仅依赖于密钥的保密而不依赖于算法的保密本文提出的加密系统模型可以满足以上要求

11、，简单易行、可随意变换且保密性能好，其优点如下：（1）通过对编号的码制转换便于我们对位进行异或逻辑运算，从而使加密过程更加隐蔽、易行；（2）把所有答卷编号进行矩阵排列，再按列操作，可以简化加密工作量；（3）通过要求评委们各自秘密发送 3-5 个字母给公证人，再由公证人顺序或逆序排列（只有所有评委和公证人的“密钥”都被知道了，已知道加密算法的人才能破译- 5 -该系统） ，从而大大增加了破译的难度，提高了加密系统的保密性能；（4）异或逻辑运算是一种可逆运算，简单易行，不仅隐蔽了原本学校和参赛队的信息，同时又保证了针对每个不同的序号能得到一个唯一与其对应的 16 位二进制序列，实现了对信息进行加密

12、的目的4 答卷的分配41 符号约定：分配到题组 A、B、C、D 的评委数目；dcba,：在第 个题组中，第 个评委评阅第 所学校答卷的份数；kijxij：在第 个题组中，第 所学校的答卷数；jUj：第 个题组的总答卷数；kA：在第 个题组中，第 个评委评阅答卷的总份数；ibi：第 个题组的评委数；km：第 个题组的参赛学校数n42 数据的处理在答卷数量不至于太多同时参赛学校不至于太少的情况下，我们要求每个评委来自不同学校，以示其公平性而本问题中要求，每个题组的 个评委来自不同学校，M则我们不需要考虑某学校参赛队数目与来自该校的评委数比例关系的公平性问题对于附录给出的数据，我们经统计可得以下的信

13、息：35 所学校 298 个参赛队，各参赛队选择题组分别为 A 题 95 个、B 题 107 个、 C 题 50 个、D 题 46 个（见下表1） 25 名评委分别来自不同学校，评委所属的学校编号分别为：1-17、20、21、22、24、26、28、29、30对于评委评阅答卷，还有些特殊要求，如：编号为 15、22 的只容许评 C、D 题，编号为 26 的只容许评 A、B 题，编号为1、4、6、12、16 的评委要求评 A 题，编号为 2、 5、7、10 的评委要求评 B 题；编号为 24 的评委要求评 C 题，编号为 29 的评委要求评 D 题（见下表 2） - 6 -43 模型的建立从上述

14、对问题的分析和数据的处理，我们可以知道，解决答卷评阅分配的关键在于先解决评委分组的问题1）评委分组：依题意，把 25 个评委分配到 A、B、C、D 四个题组，必须满足以下要求：a每个评委只能分配到一个题组中；b为了回避本校答卷，分组过程中每个评委所在的题组需要评阅的题目是该评委所在学校的参赛队选择最少的题目；c严格满足特殊要求中某些评委只容许评阅的题组的要求；d在满足公平原则和以上 3 项原则前提下，尽量满足特殊要求中某些评委要求评阅的题组的要求；e在满足以上原则的前提下，使每个评委评阅的答卷尽可能广泛；f对于没有提出要求或题目没有明确限制评阅题组的评委，在满足以上几项原则前提下，我们对这些评

15、委进行随机分配基于以上原则，我们采用数学规划中的整数规划，引入满意度的概念，并用决策变量 表示对其量化：用 表示四个题组 A、B 、C、D ，用 表示kly4,321k 25,1l25 个评委 1-17、20、21、22、24、26、28、29、30， 表示第 个评委被分到第 个klyk题组的满意度大小满意度定义为：a ）当某个评委的 “只容许”条件被满足时， ，否则为-2kly2；b）当某个评委的“要求”条件被满足时， ，否则为-1；c）当没有特殊要求1kly的评委被分到任意题组时，其满意度为 0我们可以用 表示由 组成的矩阵，则 可写成以下形式：YklyY 012012010101- 7

16、-由于每个评委只能分配到一个题组，所以对于矩阵的每一列 4 个元素只能选取其中一个，于是我们以最大满意度为目标函数：（4）4125maxklkly其中， 是基于 矩阵的得到的一系列矩阵中的最优矩阵 的元素klyY Y由题目可知，每个题组至少要有 5 个评委评阅答卷，同时从表 1 可以看到选择题组 A、B 的参赛队要比选择题组 C、D 的多，为了保证阅卷的公平性，分配到题组A、B 的评委数目应该比 C、D 的多，不妨假设题组 A 和 B 的评委数至少分别比题组C 和 D 的多 1，于是有以下模型（）： 4125maxklkly（）52.dcbts我们运用数学软件 Lingo9.0 来求解以上的数

17、学模型，得到下面的分配结果（表3）：题组 该题组评委数目 该题组评委所在学校编号A 7 1，4，6，12 ，16，28，30B 8 2，5，7，10，17，20， 21，26C 5 11，13，14，15，24D 5 3，8，9，22，29表 32）答卷分配：在评阅过程中，每份答卷必须经四位不同的评委评阅，同时要求评委回避本校答卷，满足某些特殊要求，在此基础上尽可能使评委评阅的答卷广泛，也就是说，该评委所评阅的答卷含不同学校数目尽量多在上一步中已经讨论了把 25 名评委分到四个题组的问题，现在我们以题组 A 为例，建立模型求解出题组 A 评委的具体分配情况，其他题组可以类似地求解题组 A 的评

18、委数为 7，分别是 1、4 、6、12 、16、28、30，我们重新对这些评委编号为 1，2， ，7，选做题组 A 的学校编号为 1，2， ，19为了使评委评阅答卷尽可能广泛，我们引入模糊数学的柯西型隶属度函数，给出各评委每评阅一份答卷的值广泛度：（5）1241ijijxf其中广泛度 是 的减函数，表示当第 个评委评阅的答卷越广泛，即所含学ijxfij i校越多， 越小，则广泛度 越大，如下表 4：ij ijxf- 8 -ijx1 2 3 4 5 6ijf08832 08621 08351 08000 07538 06923ijx7 8 9 10 11 12ijf06098 05000 036

19、00 02000 00588 0表 4于是，我们以广泛度最大为目标函数建立优化模型（）： 719maxijijijxf（）65,47,19,4.1971iijiijijijbxUts 在模型（）中，第一约束条件表示每所学校的每份答卷都有 4 位评委评阅；第二约束条件表示所有的答卷都有 4 位评委评阅；第三、四约束条件表示每个评委评阅一定量的答卷，且答卷量相当推广到其他题组，把模型（）写成模型（）： 4,321,max1kxfkinjijkij（）kulki kinjikmiji kkjikjbmxAnUtskk,14,.11 其中， 和 分别表示第 个题组评委评阅答卷数的下界和上界klbu44

20、 模型的求解经数学软件 Lingo90 的编程求解（程序见附录 2） ，我们得到以下的答卷分配结果（下表 5、6、7、8）：- 9 -A 题组的答卷分配情况1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 191 0 2 2 5 4 5 4 4 3 3 2 3 5 3 1 1 4 2 24 9 2 1 0 4 4 4 4 4 2 3 2 4 3 1 2 3 1 16 10 3 1 3 4 0 3 4 4 3 2 3 4 3 1 1 3 1 112 10 3 2 4 4 4 3 4 3 2 2 0 4 3 1 1 2 1 116 8 2 1 4 4 4 4

21、 4 3 2 3 2 4 2 2 0 3 1 128 7 2 2 3 4 4 3 4 3 2 2 3 4 3 1 2 3 1 130 8 2 3 5 4 3 3 4 4 2 2 3 3 3 1 1 2 1 1表 5B 题组的答卷分配情况1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 192 8 0 2 3 3 2 4 6 2 3 3 3 3 3 1 3 2 3 05 8 2 2 2 0 2 3 7 2 4 3 3 4 3 2 3 1 3 07 9 3 2 2 2 2 0 6 2 4 3 3 4 3 2 3 1 3 010 9 3 1 2 2 2 4 7

22、 2 0 3 3 4 3 1 2 1 3 117 9 2 2 2 2 2 3 6 2 3 3 3 4 3 2 3 0 3 020 8 2 1 1 3 2 2 7 2 3 3 3 4 3 2 2 1 3 121 8 2 1 2 2 2 2 7 2 4 3 3 4 3 1 2 1 3 126 9 2 1 2 2 2 2 6 2 3 3 3 5 3 1 2 1 3 1表 6C 题组的答卷分配情况5 14 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3511 2 2 3 2 5 2 3 3 3 2 2 3 2 2 0 2 1 113 1 2 2 2 5 3

23、 3 3 3 2 2 3 2 3 1 1 1 114 2 0 2 1 6 3 3 4 3 3 2 3 1 2 1 2 1 115 1 2 3 2 5 2 3 3 3 2 3 4 2 2 1 1 1 024 2 2 2 1 7 2 0 3 4 3 3 3 1 3 1 2 0 1表 7D 题组的答卷分配情况5 14 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 343 2 1 3 5 3 1 4 2 3 2 2 4 3 0 1 0 18 1 2 3 4 3 2 3 1 3 2 2 4 3 1 0 1 19 2 1 4 4 3 2 3 2 3 2 2 4 2 1

24、 1 1 022 1 2 3 6 0 1 3 2 3 3 3 4 2 1 1 1 129 2 2 3 5 3 2 3 1 4 3 3 0 2 1 1 1 1学校编号评委编号学校编号评委编号学校编号评委编号学校编号评委编号- 10 -表 8其中，A 题组的评委每人阅卷 份，B 题组的评委每人阅卷 份，C 题组5,454,3的评委每人阅卷 40 份，D 题组的评委每人阅卷 份37,65 评委的公平性评价在评卷过程中，不可避免地会出现评分一致偏高或偏低的情况，也有可能出现某些评委评分不公正的现象于是，给出一种评分一致性或公正性的检验方法，是非常必要的本文运用统计学的原理，引入几个统计量，根据各评委的

25、评分特点在这些统计量上表现出来的不同特征，对不同特点的评委进行分类，从而实现评分一致性或公正性的检验51 统计量说明1）标准差系数 V选择标准差系数考察平均分的代表性标准差 是反映一组数据分布的离散程度的统计指标，以绝对值表示标准差系数是标准差与平均数的比值，用百分比表示，即：（6）XV比较每份答卷的标准差系数若答卷 A 比答卷 B 的标准差系数大，说明评委对答卷 A 的意见差异更大，即使答卷 A 和 B 的平均分相同，答卷 A 的评分问题上存在较大争议，应当慎重考虑，需要进一步考察2）离差绝对值之和 iaS将某评委对每份答卷的评分，分别减去该答卷的平均分，即得到该评委对该答卷的离差，将全部离

26、差的绝对值累加求和，得出该评委的离差绝对值之和，即：（7）jjiiaxS上式 表示第 个评委对第 份答卷的评分， 表示第 份答卷的平均分ijxi jj离差绝对值之和的大小反映各个评委对测评对象整体水平的看法，离差绝对值之和与测评对象整体水平成负相关，离差绝对值之和越大，测评对象整体水平越不整齐，内部差异即离散程度则越大3）离差代数和 idS将各个评委对每一份答卷的评分，分别减去该答卷的平均分，即得到该评委对该答卷的离差，将全部离差累加求和，即得到该评委的离差代数和，离差代数和没有直接意义，必须与离差绝对值之和结合起来考察，才有实际意义4）绝代比 adr绝代比是每个评委的离差绝对值之和与其离差代数和的比值，即：