【数学与应用数学】论文——超级市场的最佳经营方案.doc

1、73 超级市场的最佳经营方案摘要:本文根据超级市场中商品的实际运作过程，针对韶关市某大型超级市场在进货策略方面存在的问题，建立了分类处理模型和基于商品价格的需求模型.分类处理模型对于超级市场所经营的生鲜商品和日用商品，分别建立了不考虑中断（缺货）损失和考虑中断（缺货）损失的最佳进货策略模型然后利用超级市场所提供的数据对以上建立的模型进行了检验，效果良好，具有普遍的实用性；基于商品价格的需求模型从经济学角度对该问题进行分析，利用了经济学中的价格弹性理论，得出了需求量与销售价格之间满足半对数函数关系，其关系式为 (各参量的意义见符号约定)，然后RPQlnlln210将韶关地区的各参量代入后，得到了

2、“需求量价格”函数关系式，为超级市场提供了一定的参考价值关键词: 超级市场;需求量;生鲜商品;日用商品;需求价格弹性1 问题的提出韶关市某大型超级市场每天需要储存大量物品以满足顾客的需要，经营的品种分为贮存时间较短的生鲜商品(如：蔬菜、面包、熟食等)和贮存时间较长的日用商品(如：洗涤用品、香烟、毛巾等)该超市常常碰到以下问题：商品进货策略把握不好，有些商品脱销，有些商品积压其后果是减少了超级市场的收益另外，有些商品缺货会造成顾客的抱怨，以至影响该超级市场的声誉，导致超级市场出现缺货损失在竞争激烈的市场经济条件下，该超市试图确定最佳进货方案，使得支付的总费用最小，以期获得最大利润2 模型的假设2

3、.1 顾客的需求量是随机的2.2 超级市场周期初所定的货物立即到达2.3 生鲜商品的保质期为销售的一个周期，一个周期只定一次货2.4 生鲜商品在一个周期内没有售出的(超过保质期)，不再贮存，立即折价售出2.5 日用商品在一个周期未售出的，进入下一个周期的销售，并且摆在货柜的最前面，即不考虑保质期的影响2.6 超级市场的商品在一个周期内，其进货价和销售价保持不变3 符号约定商品一个周期的定货量Q顾客的需求量，是一个连续的随机变量r需求量 r 的密度函数 p定货费(与数量无关)0c单位商品的进货价1单位商品一周期的贮存费2销售价3生鲜商品一个周期内未售出的商品，折价售出时单位商品的售价4c缺货损失

4、费5日用商品一个周期末的存货量x日用商品一个周期初的定货量u商品的需求价格弹性E74 超级市场经营方案边销售，边贮存付贮存费未售完的立即折价售出一个周期（保质期）边销售，边贮存付贮存费未售完的进入下一个周期的销售一个周期生鲜商品日用商品商品的定价P商品零售价格指数1消费者的收入水平R4 问题的分析超级市场进货后整个运转过程可用以下流程图表示：从以上流程图可知，我们需要分为生鲜商品和日用商品两大类分别建立数学模型对于生鲜商品到周期末未售出的，要立即售出不在贮存，因为已经过了保质期；对于日用商品到周期末未售出的，进入下一个周期的销售，而且应放在货柜的最前面，这样，我们不用考虑其保质期从经济学角度考

5、虑，销售量是关于价格的递减函对于该超级市场里的任意商品，我们可以根据超级市场提供的其销售的历史资料，进而找出较合理的“销售量价格”函数关系式，进而可以预测出进货量超级市场在进货时，可以根据“销售量价格”函数关系式确定进货量5 模型的建立和求解5.1 分类处理模型5.1.1 生鲜商品进货方案5.1.1.1 不考虑中断（缺货）损失的最佳进货策略不考虑中断损失，那么平均费用为定货费、进货费以及贮存费的总和由于需求量是随机变量，密度函数是 ,所以一个周期的累计贮存量为 此时，rrpQdrp0平均费用为 Qr dprccQL0210 41,说明：因为需求量 是一个随机变量，所以 的值也是不定的，超级市场

6、若要确保不r缺货，那么进货量 一定要大于需求量 r75 下面对上式进行分析，进而确定进货量 ，使得总费用 最小：QL当 时，rQQdrpcdL0241令 ,得0dQL(1)Qcdrp0214由于(1)式右边为负数，两边同时加上 ，且将 代入，得到Q0drp(2)cdrp241由于 ，即函数 存在最小值所以满足(2)式的 可以使平均02pcdQLLQ费用达到最小当 时，rQdrpcdL021令 ,得0dQL(3)Qcdrp021同理，由于(3)式右边为负数，两边同时加上 ，且将 代入，Q01drp得到(4)Qcdrp21由于 ，即函数 存在最小值所以满足(4)式的 可以使平均02pcdQLLQ费

7、用达到最小5.1.1.2 考虑中断（缺货）损失的最佳进货策略76 当定货量小于需求量，即 时，缺货费为 ；当 时，缺rQdrpQrc3 r货费为零这样平均费用可以表示为 QQr cdrpcQL0 41210 3,下面确定 使总费用 最小：L考虑 情形，根据平均费用的表达式，我们有rQQdrpcdrpcd0321令 ，化简得，0dQL(5)1230cdrpQ由于 ，即函数 存在最小值满足(5)式的 可以使平均费用达到最小 02dQLLQ当 时，缺货费为零，与不考虑中断损失时的模型类似r下面我们以超市提供的部分数据为例，来验证以上理论的正确性根据该超级市场提供的历史数据(见附录 1 表格)，对表格

8、中的数据进行方差分析，可以知道各种商品的的需求量符合正态分布此时，我们令需求量 的密度函数 为rrp21ep这里，考虑 情形，密度函数中的 ， 参看附录 1 中表格：生鲜商品销售的历史资rQ料，然后根据(4)和(2)分别计算出不考虑中断损失和考虑中断损失时的进货量，见表(1)表(1)理论进货量( )rQ 项目商品销售价 3c进货价 1折价后的售价 4c贮存费 2c实际销售量(平均值) 不考虑中断损失考虑中断损失面包 1.90 1.24 0.60 0.12 886.80 872 899饼干 2.70 2.23 0.80 0.12 134.60 125 14677 豆奶 2.50 1.80 0.7

9、0 0.12 74.60 75 87某种牛奶 3.50 2.90 1.00 0.12 76.80 82 84矿泉水 2.50 1.70 0.80 0.12 105.40 98 123香肠 1.20 0.56 0.40 0.12 75.80 66 845.1.2 日用商品进货方案5.1.2.1 不考虑中断（缺货）损失的最佳进货策略因为日用商品不用考虑保质期这个因素的影响，也就是说，一个周期未售完的商品不用折价售出此时，定货费为 进货费为 ，贮存费为 当然，0cu1uxdrpc02不进货(即 )时不用付以上费用当进货量 时，平均费用是定货费、进货费以及0u贮存费的总和；当进货量 时，只须付贮存费此

10、时，平均费用为uxux drpcudrpS02021,当 时有0u uxcuS021再令 ，得 dS(6)210cdrpux由于(6)式右边为负数，同理，我们可以变形为(7)uxcr21由于 ，即函数 存在最小值所以满足(7)式的 可以使平02uxpcduLSu均费用达到最小当 时，我们不用考虑进货问题有0xdrpcd02因为 ，所以 存在最小值令 ，容易得02xpcdSSxS，即00xrp(8)1xdrp也就是说当上一周期末的存货量 如果满足(8)式，那么就可以考虑不用进货5.1.2.2 考虑中断（缺货）损失的最佳进货策略78 当进货量 时，平均费用是定货费、进货费、贮存费以及缺货损失费的总

11、和；当0u进货量 时，只须付贮存费此时，平均费用的数学表达式为 uxLcS0,10其中， xx drprdrpcL502当 时，uccuSuxu5021令 ，可得0dS(9)1250cdrpuxux即周期初的定货量加上上周期末的存货量 满足(9)式时，平均费用最小也就是说，满足(9)式的 即为最优的进货量u与不考虑中断（缺货）损失的最佳进货策略类似：当 时，我们不用考虑进货问0u题有(10)drpcdrpcdxSxx502令 ，得0dxS(11)250cdrpxx当上一周期末的存货量 如果满足(11)式，那么就可以考虑不用进货x我们以超市的香烟为例对以上建立的日用商品进行检验，密度函数 中的参

12、数 ，rp见附录 1 中表格中各种品牌香烟销售的历史资料，这样我们可以计算出不考虑中断损失和考虑中断损失时各品牌香烟的进货量，见表(2)表(2)理论进货量项目品牌销售价 3c缺货损失费 5进货价 1c贮存费 2实际销售量(单位：包)上次库存 不考虑中断损失考虑中断损失盖双喜 8.00 2.40 7.45 0.12 73 3 74 79黄红梅 4.00 1.20 3.65 0.12 21 3 22 23盖红河 5.00 1.50 4.15 0.12 17 0 19 23白云烟 5.50 1.65 4.75 0.12 24 0 29 3579 红山茶 4.00 1.20 3.30 0.12 41

13、3 38 48红云烟 7.00 2.10 6.00 0.12 13 1 12 175.2 基于商品价格的需求模型需求价格弹性（也叫需求自价格弹性）是指一种商品的需求量对自身价格变动的反应灵敏程度，是需求量变化的百分比与商品自身价格变化的百分比之间的比值用E代表需求价格弹性，Q代表需求量，P代表价格，则需求价格弹性的基本计算公式为： QPE./从上式可以看出，需求价格弹性直接反映了价格的变动对需求量的影响需求价格点弹性，简称点弹性，是指需求曲线上某一点的弹性点弹性系数是需求量无穷小的相对变化与价格的无穷小的相对变化之间的比值点弹性的计算公式通常是以微分方法来表示的，即： QPdEPlim0影响需

14、求的因素主要有商品的价格、消费者的收入水平、社会收入分配平等程度、消费者嗜好、人口数量与结构的变动、政府的消费政策以及消费者对未来的预期等本模型主要考虑商品的价格和消费者的收入水平两个主要影响因素对超级市场的销售情况进行分析，发现其需求量与价格不是简单的线性关系，而是需求量的对数与商品的价格和消费者的收入水平符合线性关系：(12) RPQlnlln210其中Q为商品需求量， 为商品价格， 、 为随机变量， 表示商品零售价格指021P数， 表示消费者的收入水平由于是对数线R性需求函数模型，因此在上式中， 表示的就1是商品需求价格弹性，是一个无量纲的值经查证，韶关地区的人均收入为 7209 元，即

15、 ；商品零售价格指数为 100，食物7209R的价格弹性 0.12这样我们将以上数据代1入(12)式可得(13)7209ln0l2.ln0PQ以该超级市场的面包为例，我们利用数学软件MATLAB(程序见附录 2)，针对该超市所提供的需求量的历史数据(见附录 2)，用(13)式进行拟和后，其销售量与销售价格的相互关系如图(1),其拟和曲线的方程为： 图(1)80 (14)7209ln3.10ln2.54.6lnPQ同时利用(14)式可以计算出每一价格所对应的需求量(见附录 3 表格),以及每点的相对误差，从表格中可以看出该曲线拟合程度相当好，相对误差(见附录 3 表格)非常小这样超级市场就可一根

16、据商品的定价 来决定进货量 Q从图中可以看出，需求量 随着价格 的增大而减小，这是符合市场平衡规律的P用同样的方法，我们对于任意商品根据其销售的历史资料，根据(13)式，用 MATLAB 中的命令 nlinfit 进行拟合都可以得到该意商品的“需求价格”函数：饼干： 7209ln15.80ln2.1359lnQ豆奶： -8.牛奶： l.361l7l P矿泉水： 7209n10n2.23.nQ香肠： l.8l-5918l这样，我们对于超级市场中的任意商品都可以根据其销售价格来确定其进货量的大小，避免出现积压现象6 模型的评价与推广6.1 模型的评价本文所建立的两个模型中，分类处理模型较为清晰明确

17、的建立了总费用与订货费、贮存费、缺货损失费等因素的关系最终建立了进货量 合理的解决了超市商品缺货和出现Q商品积压的问题；基于商品价格的需求模型根据韶关地区的经济发展水平等特点，建立了形式较为简单的“需求价格”函数，也给超市进货提供了较实用参考价值本文所建立的两个模型都是针对单个商品实际上，超级市场每次进货都是多种商品一起进货的销售量是随机变化的，各种商品的销售量还受替代品的影响所以，实际操作时是一个较复杂的问题6.2 模型的推广该问题可以推广到 种商品一次性同时进货时，第 种商品的进货量此m).1(mi时，我们可以建立规划模型为 2 5432101,0. ,._ii iiimNrts ccfQ

18、LMin符号说明：第 种商品的进货量iQi第 种商品的需求量r种商品一次性进货时总的定货费(包括交通费)， 与数量无关0cm第 种商品的单位商品的进货价i1i81 第 种商品的单位商品一周期的贮存费ic2i第 种商品的销售价3第 种生鲜商品一个周期内未售出的商品折价售出时单位商品的售价i4i第 种商品的缺货损失费5然后解这个规划，可以得到更为合理的结果参考文献：1.姜启源.数学模型(第三版)M北京.高等教育出版社.20032.洪毅等.经济数学模型M广东.广东华南理工大学出版社.19983.王庚.实用计算机数学建模M安徽.安徽大学出版社.20004.http:/www.china- MATLAB

19、6M北京.清华大学出版社.2004附 录附录 1：生鲜商品销售的历史资料：销量商品 周期 1 周期 2 周期 3 周期 4 周期 5 期望值 标准差 面包(单位：只) 879 887 884 891 893 886.80 5.5857饼干(单位：包) 124 135 126 135 153 134.60 11.4586豆奶(单位：瓶) 75 84 66 75 73 74.60 6.4265某种牛奶(单位：瓶) 76 81 69 81 77 76.80 4.9193矿泉水(单位：瓶) 101 105 98 106 117 105.40 7.2319香肠(单位：条) 67 81 77 78 76

20、75.80 5.2631各种品牌香烟销售的历史资料：项目品牌周期 1 周期 2 周期 3 周期 4 周期 5 期望值 标准差 盖双喜 78 79 87 68 55 73.40 12.3004黄红梅 19 25 26 18 20 21.60 3.6469盖红河 17 15 16 19 21 17.60 2.4083白云烟 28 26 24 23 22 24.60 2.4083红山茶 45 44 42 41 36 41.60 3.5071红云烟 11 14 13 18 9 13.00 3.3912附录 2：拟合的 MATLAB 程序Clear;clc;Q0=;82 p=1.6:0.2:3.6;Q=

21、1003,925,872,892,877,860,875,844,834,853,833;Q0=Q0,exp(6.54-0.12.*log(p/100)-0.023*log(7209);D=abs(fix(Q0)-Q); %绝对误差disp(相对误差),D./Q %相对误差p1=1.6:0.01:3.6;Q1=exp(6.54-0.12.*log(p1/100)-0.023*log(7209);plot(p,Q,p,p1,Q1,-*)gridlegend(实际数据,拟合数据)xlabel(价格 p)ylabel(销售量 Q)附录 3：超市面包销售历史数据(单位商品的进货价为 =1.24)，1c项目周期销售价 (单位：P元) 销售量 (单位：只)Q理论销售量(单位：只) 相对误差周期 1 1.6 1003 926 0.0768 周期 2 1.8 925 913 0.0130周期 3 2.0 872 902 0.0344周期 4 2.2 892 892 0周期 5 2.4 877 882 0.0057 周期 6 2.6 860 874 0.0163周期 7 2.8 875 866 0.0103周期 8 3.0 844 859 0.0178周期 9 3.2 834 852 0.0216 周期 10 3.4 853 846 0.0082周期 11 3.6 833 841 0.0096