【数学与应用数学】论文——奶牛场的承包养殖问题.doc

1、- 1 -奶牛承包养殖问题摘要本文针对奶牛农场的贷款承包问题建立最优奶牛承包养殖模型.通过对奶牛的生产需求和牛奶、牛和粮食等买卖的变化情况，及银行贷款、租地费等条件的研究分析并建立了线性规划模型，用 matlab 软件求解得到最终的结果：当取七成的折价卖出时，第一年留下 50 头初生奶牛进行饲养往后每年生出来的牛都全部卖掉，第 2 年养 156 头牛，第 3 年养 142 头牛，第 4 年养 133 头牛，第 5 年养 121 头牛,在第 5 年折价卖牛时获得 31.08 万元，得到最大总利润 137.49 万元.关键词：线性规划，收益，买卖价 - 2 -1 问题的提出一个公司计划承包一个奶牛

2、场.第一年需要向银行贷款，往后五年内逐年还清，贷款主要用于奶牛的租借.占用土地面积 200 亩，开始农场有 120 头牛，20 头幼牛，110头产奶牛，只有到了 2 岁的牛才能产奶和生殖，牛从 011 岁各 10 头，每年牛都会自然死亡和增长，产下的牛公母对半，公牛全部卖掉，奶牛卖一部分，留下一部分饲养为产奶牛.牛有两种食物，粮食和甜菜，一部分可以自己生产，一部分可以从市场购买，生产多余时也可以拿到市场去卖.其中只有 80 亩地可用于种植粮食.养牛和种地都需要一定的成本和劳动力.每年都将 12 岁的牛卖出.最后研究得出一个最优养牛的安排计划，并得出最大利润.（各具体数据见原题）2 基本假设2.

3、1 假设幼牛损失的都是 1 龄牛，5 年内每年 11 岁产奶牛都保证在 10 头；2.2 假设每年的养牛和种植的成本都在生产过程中付，不需要贷款；2.3 假设每年的租地费用年末的收益来付，不需要贷款；2.4 假设牛都是在年末才长一岁；2.5 假设最后以 0.7 的折价把牛卖出.3 符号约定：第 年卖出的小奶牛数；iK：分别为 0 和 1 岁奶牛的头数；iiN21,：分别表示 01 岁和 211 岁奶牛的头数；iba：第 年粮食生产量和喂牛用量的差，单位吨；il：粮食的买卖价， 为买价 900 元， 为卖价 750 元；s12：第 年甜菜生产量和喂牛用量的差，单位吨；it：甜菜的买卖价， 为买价

4、 700 元， 为卖价 500 元；s12：第 年所需的劳动力，单位小时；iw：第 年养殖和种植所需成本，单位元；iy：第 年卖牛奶和牛所获得的收益，单位元；im- 3 -: 第 1 年贷款额，单位元；p：第 年超出的牛的数量，单位头；iT：第 年年末收益，单位元；iq：五年后的总收益，单位元；Q：每年需交的土地征用费，60000 元；z：第 5 年将牛全部卖出后的收益，单位元.M4 问题分析首先我们从题目中提取影响最终利润的因素： 贷 款 额 粮 食 和 甜 菜 买 入 的 花 费劳 动 力 的 工 资粮 食 和 甜 菜 的 生 产 成 本生 产 消 耗土 地 承 租 费付 出 的 资 金

5、买 粮 食 和 卖 甜 菜年 折 价 卖 牛 的 收 益第 岁 奶 牛 的 收 益各 年 卖 小 牛 和卖 牛卖 牛 奶获 得 的 利 润 5124.1 各年龄奶牛的头数1）0 岁需饲养奶牛新生牛由上一年产奶牛决定，而产下的牛有一半是公牛要卖出，而另外还有一部分奶牛也要卖出，则可列出关系式：（1）5.2,1.98.011 iKbNii2）1 岁奶牛根据假设，一岁奶牛由上一年的 0 岁奶牛减去自然死亡数决定，且奶牛的数量应该是整数，则可得出关系式：（2）5.2,0.)(1,21,1,2 iNNiiii3） 幼牛数- 4 -即为 0 岁和 1 岁奶牛数：（3）iiiNa214） 211 岁奶牛根据

6、假设，211 岁奶牛每年末要减去上年长大到 12 岁的 10 头和自然死亡数，再加上上年末长大的 1 岁牛，则可得关系式：（4）1098.0)(21iii Nb其中的 为变量第一年应为各年龄牛已知且没有幼牛可卖，则 为 0.iK iK4.2 粮食和甜菜的买卖情况先估算一下卖粮食的可行性，用卖粮食的价格减去所需成本： 3251029.075所以当粮食喂牛有剩余时可以拿到市场去卖来获得更高收益，因此可以尽量的生产粮食.同理，甜菜也应该尽量生产.1） 第 年粮食需求量i各年粮食的需求量应该为该年的养牛需求量减去该年的生产量，则可得粮食需求量关系式：（5）9.086.4.0iiibal2） 第 年甜菜

7、需求量i同理，甜菜的需求量应该为该年的养牛需求量减去该年的生产量，得到的关系式为：（6）5.1207.15iii bat由于生产得到的粮食和甜菜无论是喂牛还是拿去卖都是有利润的，所以 200 亩地都应用来生产.当 出现负值时表示生产的大于喂牛所需的可拿去卖，当 为负值itl, itl,时表示生产的大于喂牛所需的则需要另外买入.43 第 年劳动力需求量i劳动力包括饲养牛所需时间和种地所需时间，则可得出关系式：（7）301280410iiibaw44 第 年养殖和种植所需成本i根据题目给出条件可知，养幼牛每头需要 500 元，养产奶牛每头需要 1000 元，种- 5 -粮食每亩地需 20 元，种甜

8、菜每亩地需 30 元，则根据条件可列出关系式：（8）102580150iii bay45 第 年产奶、卖牛的收益i由于只有 211 岁的牛能产奶，所以生产牛奶的数量应由 决定，而卖牛一部分ib是长成 12 岁的牛，一部分是刚生出来的全部公牛和部分奶牛，则可得出产奶、卖牛和收益的关系式：（9）3021.98.0412037 iiii bKbm46 贷款总额根据假设，只需在第一年贷款即可，应还的贷款额关系式为： 012345 2.5.1.52.12.1.08 PP解得，（10）56947 各年幼奶牛卖出数各年卖出的奶牛数是一个不定值，就是所要求的养殖安排，它的最大值应该由上一年产奶牛的生殖量来决定

9、，则可列出关系式： （11）21.9801iibK48 超出的牛数第 年超出 130 头牛的数量为：i（12）130iiibaT49 第 5 年折价卖牛的收益根据假设，可得出关系式：（13）7.040)1(55 abM410 第 年收益i各年收益应为卖牛奶和牛的收益减去上面提到的各种消耗及需还的贷额，得出关系式：- 6 -（14）20510 iiisisii TzPwytlmq5 模型的建立和求解根据对题目的分析，可以看出本题是对各年出生的小奶牛进行分配，是要进行饲养还是直接卖出，来影响其它各项生产资料的变化，所以本题就是对各年出生的小奶牛的优化分配求解.根据上面对问题分析得到的结果，建立出一

10、个线性规划模型.模型如下：目标函数： 51iqMaxQ约束条件： 205107.4)1(32.980563021.41037012805.7.5964.1095.2,.)(2.8.0. 51,21,12 iiisisii iiiiiiii iii iii iii iiiii iii TzPwytlmqabMTKPbbmbaywtlNbaNKts根据 matlab 软件编程得到最优生产安排及获得的最终利润(如表 1)：年数 粮食（吨） 甜菜（吨） 卖出的小奶牛数（头）养牛超出上限的数（头） 当年收益 （元）1 买，2 卖，93.67 3 0 2103502 买，10.4 卖，83.87 53 2

11、7 1203903 买，4.8 卖，90.4 51 14 148097- 7 -4 买，7.8 卖，86.9 71 3 3065475 买，0.6 卖，95.3 64 0 278727表 1每年各年龄牛的头数(如表 2)：年 0 岁牛 1 岁牛 211 岁牛 总牛数1 10 10 100 1202 50 9 97 1563 0 48 94 1424 0 0 133 1335 0 0 121 121表 2第 5 年折价卖出奶牛的收益为 31.08 万元；5 年总收益为 137.49 万元.6 模型评价该模型在考虑贷款时只考虑买牛的款项,而养牛和租地费都在生产过程或年末结算时才考虑,这样比较符合实

12、际且对模型的求解也比较简便.模型在处理粮食和甜菜买卖情况时，用正值表示需要买入，用负值表示需要卖出，同时处理了粮食和甜菜需求量不足和过剩时的情况.该模型在处理奶牛死亡的时候，考虑将死亡的对象固定在某些年龄段的奶牛上，这样对实际的情况可能会有误差，但由于死亡率较小和奶牛数量不大，因此这个假设对最终结果影响不大，且方便了求解过程.7 模型推广考虑到银行利率的波动和还贷方式的改变，我们只需将模型分析中的第 10 条的值改动一下，在条件 1.12 中设置一个变量 让它在一个范围内变化即可套用原来的Pp模型求解，加入条件为 .4058iiP考虑由于气候等外因变化引起的农产品产量与价格的变化及劳动力市场价

13、格的变动，则只需对条件（4）（8）进行相应的改动即可.在生产过程中还需考虑到生产力是否充足，即生产力可能会有一个上限，则可加多一个对劳动力的约束条件： 即为该上限.AWi,考虑每年都不能出现赤字，则在原模型的基础上加多约束条件：0iq参考文献：1郑汉鼎，刁在筠，数学规划M，山东：山东教育出版社，1997.122徐久平，胡知能，李军，运筹学M，北京：科学出版社，2004.9- 8 -3施阳，李俊，MATLAB 语言工具箱TOOLBOX 实用指南,西安：西北工业大学出版社，1999.4 4（美）David Kincaid,Ward Cheney,Numerical Analysis,北京：机械工业

14、出版社，2005.9- 9 -附录附录 1：原题某公司计划承包有 200 亩土地的农场，建立奶牛场，雇佣工人进行奶牛养殖经营.由于承租费用较高，公司只能向银行贷款进行生产经营.现在要为未来的五年制定生产计划，并向银行还本付息，使公司盈利最大. 开始承包时农场有 120 头奶牛，其中 20 头为不到 2 岁的幼牛，100 头为产奶牛.产奶牛平均每头每年生 1.1 头牛，其中一半为公牛，生出后不久即卖掉，平均每头卖 300 元；另一半为奶牛，可以在出生后不久卖掉，平均每头卖 400 元，也可以留下饲养，养至 2 岁成为产奶牛.幼牛年损失5%；产奶牛年损失 2%.产奶牛养到满 12 岁就卖掉，平均每

15、头卖 1200 元.现在有 20 头幼牛，0 岁和1 岁各 10 头；100 头产奶牛，从 2 岁至 11 岁，每一年龄的都有 10 头.应该卖掉的小奶牛都已卖掉.所有 20 头是要饲养成产奶牛的. 一头牛所产的奶提供年收入 3700 元.现在农场最多只能养 130 头牛.超过此数每多养一头，要投资 2000 元.每头产奶牛每年消耗 0.6 吨粮食和 0.7 吨甜菜.每头小牛每年消耗粮食和甜菜量为奶牛的 2/3.粮食和甜菜可以由农场种植出来.每亩产甜菜 1.5 吨.只有 80 亩的土地适于种粮食，产量平均 0.9 吨.从市场购粮食每吨 900 元，卖出 750 元.买甜菜每吨 700 元，卖出

16、 500 元.养牛和种植所需的劳动量为：每头小牛每年 10 小时；每头产奶牛每年 42 小时；种一亩粮食每年需 20 小时；种一亩甜菜每年需 30 小时.其它费用：每头幼牛每年 500 元，产奶牛每头每年 1000 元；种粮食每亩每年 150 元，种甜菜每亩每年 100 元.劳动力成本为每小时费用为 10 元.承包农场需要一笔费用，其中一部分是土地承租费用，每年 6 万元（每年底付清） ，另一部分用于支付开始承包时农场已有的 120 头牛的费用.平均产奶牛每头 4000 元，小牛每头 400 元，到承包结束时，农场的牛按此价折价抵卖.任何投资都是从 5 年期的贷款得到.贷款的年利率为 12%，

17、每年偿还本息总共的 1/5，五年还清.此外，农场主不希望产奶牛的数目在五年末与现在相比减少超过 50%，也不希望增加超过 75%.试分析承包人有无盈利的可能性.若有，应如何安排 5 年的生产，使得五年的净收益为最大？附录 2：程序clearclcP=408000*5*(1.125)/(1.124+1.123+1.122+1.12+1);N=10,10,100;T(1)=0;z=60000;M=0;for n1=1:fix(1/2*(N(1,3)-fix(N(1,3)*0.02)*1.1)+1l(1)=20*0.4+110*0.6-80*0.9;t(1)=20*7/15+110*0.7-120*

18、1.5;w(1)=20*10+110*40+80*20+120*30;y(1)=20*500+110*1000+80*150+120*100;m(1)=110*3700+10*1200+n1*400+fix(1/2*(N(1,3)-fix(N(1,3)*0.02)*1.1)*300;q(1)=m(1)-l(1)*900-t(1)*500-10*w(1)-z-T(1)*2000-P/5; N(2,1)=fix(1/2*(N(1,3)-fix(N(1,3)*0.02)*1.1)-(n1-1); N(2,2)=N(1,1)-fix(N(1,1)+N(1,2)*0.05); N(2,3)=N(1,3)

19、-fix(N(1,3)*0.02)+N(1,2)-10; for n2=1:fix(1/2*(N(2,3)-fix(N(2,3)*0.02)*1.1)+1 l(2)=(N(2,1)+N(2,2)*0.4+N(2,3)*0.6-80*0.9;- 10 -t(2)=(N(2,1)+N(2,2)*7/15+N(2,3)*0.7-120*1.5;w(2)=(N(2,1)+N(2,2)*10+N(2,3)*40+80*20+120*30;y(2)=(N(2,1)+N(2,2)*500+N(2,3)*1000+80*150+120*100;m(2)=N(2,3)*3700+10*1200+n2*400+f

20、ix(1/2*(N(2,3)-fix(N(2,3)*0.02)*1.1)*300;if l(2)0alpha=900;elsealpha=750;endif t(2)0bita=700;elsebita=500;endif N(2,1)+N(2,2)+N(2,3)130T(2)=N(2,1)+N(2,2)+N(2,3)-130; elseT(2)=0;endq(2)=m(2)-l(2)*alpha-t(2)*bita-10*w(2)-z-T(2)*2000-P/5;for i=3:5N(i,1)=0;if N(i-1,1)0 N(i,2)=N(i-1,1)-fix(N(i-1,1)+N(i-1

21、,2)*0.05); endN(i,3)=N(i-1,3)-fix(N(i-1,3)*0.02)+N(i-1,2)-10; n=fix(1/2*(N(i,3)-fix(N(i,3)*0.02)*1.1);l(i)=(N(i,1)+N(i,2)*0.4+N(i,3)*0.6-80*0.9;t(i)=(N(i,1)+N(i,2)*7/15+N(i,3)*0.7-120*1.5;w(i)=(N(i,1)+N(i,2)*10+N(i,3)*40+80*20+120*30;y(i)=(N(i,1)+N(i,2)*500+N(i,3)*1000+80*150+120*100;m(i)=N(i,3)*3700+10*1200+n*400+fix(1/2*(N(i,3)-fix(N(i,3)*0.02)*1.1)*300;K(i)=n-1;if l(i)0alpha=900; elsealpha=750;endif t(i)0bita=700; elsebita=500;endif N(i,1)+N(i,2)+N(i,3)130