【数学与应用数学】论文——奥运会迷你超市网点设计优化模型.doc

1、125 奥运会迷你超市网点设计优化模型摘要：本文以 2008 年北京奥运会场馆建设为背景，针对迷你超市网点设计问题，采用统计、分析等方法，归纳出问卷调查数据中观众在出行、用餐、购物等规律；并在此基础上结合最短路径分析，测算出20 个商区的人流量分布以及消费额档次的人数比例；根据在地点、大小类型和总量方面满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利的三个基本要求，建立了多目标规划模型；在满足约束条件下把多目标规划问题转化为单目标规划问题，通过数据的仿真，运用 matlab 求解，求得所有商区的大型 MS 个数为 90 个，小型 MS 个数为 78 个.并求出所有商区的 MS 日总利润达到

2、728.8088 万元.关键词： 人流量;商区;消费额;最短路径 1 问题的提出2008 年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段.奥运会期间，在比赛主场馆的周边地区（20 个商区）需要建设临时商业网点（MS） ，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期间的购物需求，网点的设计在地点、大小类型和总量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利.要求通过附录问卷调查数据找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律，根据结果测算 20 个商区的人流量分布，再找出满足三个基本要求的 20 个商区内 MS 网点的设计方案，并评价其科学性与合理性.2 基本假设1) 三个场

3、馆的每个看台人数都达到其最大容量 1 万人；2) 观众是沿白色的人行道的最短路径行走的；3) 进入场馆后观众是均匀分布到各个看台； 4) 观众出来餐饮是均匀地从各个看台出口出来；5) 每个 MS 的商品量都是充足，不会出现缺货;6) 单位面积的成本包括商品成本、税收等一切支出.3 符号约定1) ：第 i 个商区的人流量i2) ：第 i 个商区的消费额a3) ：MS 网点每平方米的总成本C4) ：第 i 个商区大规模 MS 网点的个数ix5) ：第 i 个商区小规模 MS 网点的个数y6) ：大规模 MS 网点的占地面积1S7) ：小规模 MS 网点的占地面积28) ：商圈内的饱和指数(平均每位

4、顾客的购物空间)h9） ：所有商区的 MS 日总利润G4 模型的建立与求解4.1 观众在各个方面所反映的规律对三个问卷调查表分别统计出行、用餐、消费额、出行与年龄，用餐与年龄，用餐与消费额，出行与消费额等的人数比例.统计三个表在各个方面的平均人数比例时,取各个方面对应的比例数据,乘以对应表的总人数之和,再来除以三个表的总的调查人数;如统计三个表的出租车人数比例均值公式为：， （ ：第 个表 的总人数， ：第 个表 的出租车的人数31iiiiQbi )3,21(iib)3,21(i比例）.126 统计出行、用餐、消费额、出行与年龄，用餐与年龄，用餐与消费额，出行与消费额等的人数比例.再对其取平均

5、值分析得到以下几个规律：1) 从不同出行方式人数比例分析,乘坐公交车与地铁的人数较多，坐私人车的比例较少(见附录 1：图 1).2) 从各种餐饮人数比例分析，用西餐的人数比例较大.（见附录 1：图 3）3 ) 从餐饮与消费额的关系分析，用餐人数中中档人数较多，其中用西餐人数消费额档次波动较明显. （见附录 1：图 6）4) 从不同出行方式与不同消费额档次分析：出行人数当中消费额中档比例较大，乘地铁人数比例也较大.（见下图 4）图 4出行与性别、年龄、消费额关系比例表单位(100%) 公交车 出租车 私人车 地铁 合计总人 0.3400 0.1896 0.0904 0.3800 1.0000男性

6、 0.2254 0.0665 0.0310 0.2117 0.5412女性 0.1146 0.1231 0.0586 0.1683 0.4588年龄 1 0.0377 0.0210 0.0100 0.0421 0.1108年龄 2 0.1971 0.1099 0.0524 0.2203 0.5798年龄 3 0.0685 0.0382 0.0182 0.0766 0.2015年龄 4 0.0367 0.0205 0.0098 0.0410 0.1079消费额 1 0.0313 0.0354 0.0174 0.0792 0.1633消费额 2 0.0851 0.0457 0.0215 0.095

7、8 0.2481消费额 3 0.1442 0.083 0.0402 0.1731 0.4405消费额 4 0.0335 0.0098 0.0098 0.027 0.0801消费额 5 0.0092 0.0022 0.0006 0.003 0.0150消费额 6 0.0057 0.0014 0.0009 0.0017 0.0097出行与年龄关系比例图127 5) 综合分析各个方面的人数比例，可得如下规律： a 乘地铁出行的人数比例较大,其中男性出行乘公交车的人数比例较大,女性出行乘地铁的人数比例较大;b 任何年龄的出行方式都是乘地铁的人数比例大;c 年龄对私人车的影响比较小，对地铁、出租车影响比

8、较大;d 消费额 4 档,6 档的人出行乘公交车的人数比例较大,其余档次的人出行乘地铁的人数比例较大.4.2 人流量分布问题4.2.1 最短路径分析各个商区的人流量和消费额都与所选路径有关，由于出行均采取最短路径，我们可以考虑进场观众下车后沿白色的人行道路进入场馆是选择离车站最近的那个商区所对应的进口进入看台；出场观众从每个看台的出口出到所对应的商区，然后再根据每位观众的用餐方式来选最短路径.（即观众用什么餐就选离用餐地点最近的白色人行道路去） ；例如在中的观众要去吃中餐，路径（ ）是所有沿白色人行道 去中3A 中 餐123A3A餐地点的路径中最短的一条.采用这样的定性分析可得观众出行会通过的

9、商区(即影响的商区)表(见附录 2). 4.2.2 人流量分析不同商区的观众要用同一种餐饮，选的是最短路径到达所用餐地点，因此走的路线就不同，我们用人流次数来计算人流量.即是每位观众经过一个商区就记一个人流次，然后将进出场馆中每个商区的人流次累加再比上总的人流次数，就得到各个商区的人流量.由于我们是用比例来计算人流量,因此累加的也是比例;把各个商区人流量比例与累加的总比例相比,得到的比例就是流量分布.到 场馆各个商区不同出行方式人流量 (第 种出行方式到第 个商区的人数比例，Ainxn统计时两公交车站和两地铁站的人数比例分别是用问题一的公车站人数比例的 1/2 和地铁站人数比例的 1/2)，加

10、上出来用餐经过各个商区的人数比例 (用第 种餐饮的经过第iny个商区的人数比例)之和乘以 ,再加上到 场馆经过 A 场馆各个商区的人数比例之和n201C乘以 ,即第 个商区人流量的计算公式：204n2041)(6361 inininn zyxA )10,.(到 场馆各个商区不同出行方式人流量 (第 种出行方式到第 个商区的人数比例)，Bimxm128 加上出来用餐经过各个商区的人数比例 (用第 种餐饮的经过第 个商区的人数比例)imyim之和乘以 ,即第 个商区人流量计算公式:206m206)(6131iimyxB)6,.21(到 场馆各个商区不同出行方式人流量 (第 种出行方式到第 个商区的

11、人数比例)，Cikxk加上出来用餐经过各个商区的人数比例 (用第 种餐饮的经过第 个商区的人数比例)iy之和乘以 ,即第 个商区人流量计算公式:204k204)(3161ikikkyxC)4,321(k通过问题一所得的出行,用餐统计数据表,求解可得各商区人流量分布表 3:(单位:%)表 3 问题 2 人流分布比例表商区 1A23A45A67A89A10人流量10.88533.27013.77574.42555.075317.03335.07534.42553.77573.2701商区 1B23B45B61C234C人流量2.6888 2.0367 5.6990 2.0367 2.6888 9.

12、6591 1.7721 3.0952 1.7721 7.53964.3 各个商区 MS 网点的设计方案4.3.1 消费额的分析与人流量的统计方法类似,也是根据进出场馆的最短路径来累加各个商区各个消费档次的人流量比例（即是每个消费档次每经过一个商区就加一次人流次） ，然后将各个商区各个消费档次的累加后，除以总的人流量比例.则可得每个商区中各个消费额的计算公式.A 区： 2041)(6361 ijijijmn cba6.1,0.,6.1nmjB 区： )(3161ijijnC 区： 204)(3161ijijmnba其中: 坐第 i 个交通工具消费额为 j 的人流量ij129 20121201 )

13、(maxi iiii CSyxaGi 到第 i 个餐饮消费额为 j 的人流量ijb 坐第 i 个交通工具消费额为 j 到 C 区时经过 A 区的人流量ijc将各个商区各个消费档次的累加后，除以总的人流量比例,求出消费额平均人流量表（见附录 3）.4.3.2 MS 网点设计各个商区的 MS 的个数要在地点、大小类型和总量满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利，其中购物需求就是能够满足顾客的需求，我们用商圈内的饱和指数 （在同一时间内每位顾客的购物空间）来描述顾客的购物需求.MS 网点的面积越大，顾h客的购物空间就越大. 分布基本均衡，就是要考虑各个 MS 网点的面积尽可能的相近，我们

14、用各个商区的 MS网点的面积与平均面积的偏差最小来衡量商区的平衡. 商业上的赢利就是经过各个商区的人流量与平均消费额的乘积再减去单位面积的总成本.结合问题二的人流量分布表，此问题的求解可归结为以下多目标规划问题： ii iiSyx/)(max201212201 2012 )(ini i iiii SyxSyxts. )(2 Caiii0,iiixxiiiyy2.1根据多目标规划中的主要目标法，将所有商区的 MS 日总利润设为主要目标，购物需求和分布基本均衡设为次要目标，将次要目标转化为约束条件，从面使得模型简化为单目标规划问题，将购物需求和分布基本均衡转化为次要目标后，可以求出最优解，于是化简

15、后的改进模型为 2012201 )(maxi iiii CSyxaGits.1)()(200122201 1i iii i iiii SyxSyx130 hSyxiii 21 0)(21 Caiii 0,iiixxiiiyy2.14.3.3 数据的仿真与求解从“7-11”便利店网搜索，可知北京旺区开店的平均单位面积成本为 5 千多元，MS 的一般占地面积为 ,因此我们可以令大型的 MS 占地面积为 ，小型的 MS2250m20m占地面积为 ，因为商区人流量数比较大，且 MS 快捷方便为特色的，单位面积利用率较高，不妨设商圈内的饱和指数 为 0.05 以上；同时，消费额均取消费档次的中间值，其h

16、中第 6 档次取 550 元.根据以上的数据，利用 Matlab 解目标规划的函数 finincon3310,通过变量的连续松弛取整改进，使逐渐逼近最优解，解得表 5，最大利润为 728.8087 万元，最大营业额为：4028.5000 万元.表 5 各个商区的 MS 网点个数商区 1A234A567A8910A大型MS 12 3 3 3 3 11 3 3 3 3小型MS 6 3 3 3 3 5 3 3 3 3商区 1B24B61C24C大型MS 3 3 3 3 3 10 3 3 3 9小型MS 3 3 3 3 3 5 3 3 3 144.4 模型的评价4.4.1 科学性对所建的规划模型，用不

17、同面积的大型 MS 和不同面积的小型 MS，就可求得不同的 MS设计方案，用问题一的统计方法，统计不同设计方案中各商区的大型 MS 个数和小型 MS 个数与总的 MS 个数比例，发现其比例偏差都在 之间，如 中大型 MS 个数占所有商%01.1A区总的 MS 个数的比例为： ，占所有商区的大型 MS 的比例为：.757.1429.由此以知，虽然用不同面积的大型 MS 和不同面积的小型 MS，各个商区0613.%会有不同的大小型 MS 个数，但是各商区的大小型 MS 个数与总的 MS 个数的比例是变化不大的.因此本问题所建的规划模型是理想的，具有很大的利用价值.4.4.2 合理性本模型中添加假设

18、 MS 的平均位面积成本 和大小型 MS 的面积的数据是与实际情况符C合的.通过计算可得此 MS 的纯利润为 18.09%,与一般超市的纯利润在 10%15%相比是合理的，（在奥运周边地区的超市比其他地方超市纯利润会偏大些）因此结果是比较贴近实际的.5 模型的推广本模型通过合理的假设，得到 MS 的设计方案，建立模型的方法和思想对其他类似的问题也很适用，例如：可以推广到城市规划等.参考文献:131 1.杨涌等.苏果筹开百家“迷你店”.http:/ 年 9 月 18 日 2.唐潇霖.（零售）7-11 便利店抢滩北京.http:/ 年 9 月 18 日3.王沫然.MATLAB6.0 与科学计算.北

19、京.电子工业出版社.2003 年4.姜启源等.数学模型.北京.高等教育出版社.2003 年附录 1：从不同出行方式人数比例分析可得图（1） （2）.（单位：%）出行方式 公车东西 公车南北 出租车 私人车 地铁东 地铁西人数比例 16.77 17.25 18.96 9.04 18.91 19.08图 1 图 2从不同用餐方式人数比例分析可得下图表：（单位：%）餐类 中餐 西餐 商场人数比例 22.48 52.50 25.02图 3年龄对餐饮的影响图：从不同档次的消费额分析可得下图表：（单位：%）消费额档次 1 2 3 4 5 6132 人数比例 19.45 24.81 44.05 9.21 1

20、.50 0.98从用餐与消费额关系分析，同样可得下图表：（单位：%）消费额 1 2 3 4 5 6中餐 4.87 6.64 9.30 1.48 0.12 0.06西餐 8.90 11.99 24.89 5.58 0.80 0.33商场 5.67 6.17 9.86 2.15 0.57 0.59图 6从出行与消费额关系分析，可得下图表(单位：%)消费额 1 2 3 4 5 6公交车 3.13 8.51 14.42 3.35 0.92 0.57出租车 3.54 4.57 8.30 2.19 0.22 0.14私人车 1.74 2.15 4.02 0.98 0.06 0.09地铁车 7.92 9.5

21、8 17.31 2.70 0.30 0.17附录 2：注: （其中”/”表示经过的路线有两种等距的选择）表 1 不同出行方式进入 A,B,C 三个场馆所经过商区交通工具 A B C公交(南北) 66 41098762345/A公交(东西) 132出租 ABC私车 13 42/133 地铁东 6A6B41098762345/CA地铁西 66表 2 观众从各场馆出来用不同的餐饮所经过其他商区商区 中餐 西餐 商场1A 6789105432/A21A543 65431/A32 64A135A655 24A6A6 1098735/7AA6A6A8 109 779 68 6810A1A79A791/AB

22、32B6B6B2 113 6542/B6542/B4B3B54 666 3215/B134 1C4C4C4C2 13/ 13/ 13/34444C附录 3：表 4 各个商区的消费额档次人数比例表消费额 0100 100200 200300 300400 400500 500 以上 平均消费额1A0.0212 0.0278 0.0467 0.0100 0.0015 0.0010 2.5020.0070 0.0091 0.0152 0.0029 0.0005 0.0003 2.4830.0082 0.0105 0.0183 0.0037 0.0006 0.0004 2.5040.0094 0.01

23、19 0.0213 0.0044 0.0008 0.0005 2.5250.0105 0.0133 0.0244 0.0052 0.0009 0.0006 2.546A0.0350 0.0438 0.0804 0.0163 0.0029 0.0018 2.5270.0105 0.0133 0.0244 0.0052 0.0009 0.0006 2.5480.0094 0.0119 0.0207 0.0044 0.0008 0.0005 2.5290.0082 0.0105 0.0183 0.0038 0.0006 0.0004 2.5010A0.0053 0.0069 0.0114 0.002

24、2 0.0003 0.0002 2.47B0.0049 0.0062 0.0115 0.0025 0.0004 0.0003 2.5420.0035 0.0045 0.0080 0.0017 0.0003 0.0002 2.5230.0013 0.0017 0.0287 0.0052 0.0008 0.0005 3.1040.0035 0.0045 0.0080 0.0017 0.0003 0.0002 2.5250.0049 0.0062 0.0115 0.0025 0.0004 0.0003 2.546B0.0173 0.0219 0.0405 0.0093 0.0015 0.0010 2.551C0.0035 0.0045 0.0080 0.0017 0.0003 0.0002 2.5120.0060 0.0078 0.0138 0.0032 0.0007 0.0004 2.5830.0035 0.0045 0.0062 0.0017 0.0003 0.002 2.4640.0152 0.0192 0.0341 0.0068 0.0011 0.0007 2.50