量子力学复习题--大题.docx

1、12 在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV，求其德布罗意波长。解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv，hP如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ ） ，那么2cEe动 ep2如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为 3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即 ，因此利用非相对论性的电子的能量动量关系eV6105.式，这样，便有 phnmEchee71.035.24296在这里，利用了 eVhc624.以及 e6105.最后，对 Eche2作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子

2、性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。13 氦原子的动能是 （k 为玻耳兹曼常数） ，求 T=1K 时，氦原子的德TE23布罗意波长。解 根据，eVK310知本题的氦原子的动能为 ,5.233kTE显然远远小于 这样，便有2c核Ech2核nmm37.01105.4936这里，利用了 eVec962 107.394核最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为 T 的体系，其中粒子的平均

3、动能的数量级为 kT，这样，其相应的德布罗意波长就为 TkchEc22据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布玻色分布或费米公布。p.522.1.证明在定态中，几率流密度与时间无关。证：对于定态，可令)()()(2 )( )(2 ) ( * *rri ereeeiiJertftr EtiEtiEtiEtiEti ）（）（，可见 无关。tJ与2.2 由下列两定态波函数计算几率流密度：ikrikr ee1

4、)2( 1)( 从所得结果说明 表示向外传播的球面波， 表示向内(即向原点) 传播的球1 2面波。解： 分 量只 有和 rJ21在球坐标中 sinr1er0rkr rikrii eerriiJ ikrikrikik302 022 01*11 )1()1( ( )(2 )(同向。表示向外传播的球面波。J1与rkrk rikriieereriiJ ikrikrikik 302 022 0*222 )1(1)1( ( )( )( 可见， 反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。rJ与2补充：设 ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ikxe)(d*波函数不能按 方式归一化。1)(2x其相

5、对位置几率分布函数为表示粒子在空间各处出现的几率相同。12#3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为 ，如果粒子的状态由波函a数 )()(xaA描写，A 为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。解：由波函数 的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能x量的本征函数和本征值为axanx ,0 ,0 ,si2)(2En) 321(，n能量的几率分布函数为 )nCan dxndxC0* )(si2(先把 归一化，由归一化条件，)(x aa dxxAdxAdx0222022 )()()(1aA0430)523(5252a 53aA an dxnC05)(si2sini10203

6、axaaaaxnxanxan032 22323 cossi cosico5)1(543n 262)(40)( nnCE ,6420 53196， ，adxpdxHE02)()()(a0 25 )()(3)3(0)(5052 adxa23.10 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为arrU ,0;)(求粒子的能级和定态波函数。解：据题意，在 的区域， ，所以粒子不可能运动到这一区)(rU域，即在这区域粒子的波函数( )0a由于在 的区域内， 。只求角动量为零的情况，即 ，这时在ar)(r 0各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度 无关，是各、向同性的，因此，粒子的波函数只与 有关，

7、而与 无关。设为 ，则粒、 )(r子的能量的本征方程为Edr)(122令 ，得2 ,)(krEU02udr其通解为krBrArsinco)(波函数的有限性条件知， 有限，则)0(A = 0 krrsin)(由波函数的连续性条件，有0si 0)(aBa B),21( nkan 2EnranBrsi)(其中 B 为归一化，由归一化条件得20202 sin4sin)(1aBrdaBda 归一化的波函数ranrsi 21)(4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。解：定态薛定谔方程为),(),(2),(212 tpECtptCd即 02p两边乘以 ，得20),(2(),122 tpCEtpCd

8、令 1 ,E20),(),22 tpCtpd跟课本 P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为tEinpnn neHeNtpE)(),(212式中 为归一化因子，即nN2/12/1)!(nNn#4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。解： 2222 11xxpH dppp)(*dxexepixi )21212 dxeepi pixpi )(22)(2 1)( pixpi)(222 )(1)( depxpi)(222 1)(1)(22p)()(2p5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级： ，现在受到微扰 的作021E与 H用，微扰矩阵元为 ； 都是实数。用微

9、扰公式bHaH2121与a、求能量至二级修正值。解：由微扰公式得nE)1(mmnnH)0()(2)2(得 bHEbE 2)1(01)(0 021012)2(01 EaEHmm01202)2(0mm 能量的二级修正值为02101EabE012025.7 计算氢原子由 2p 态跃迁到 1s 态时所发出的光谱线强度。解： 21212spspANJ246310782 sspec38142652NspeV2.1020431652acespWp9210.3若 ，则 #92pNJ.27.1.证明： izyx证：由对易关系 及zxyxi2反对易关系 ， 得0zyxi上式两边乘 ，得z 2zzyxi12z z7.5 设氢的状态是 ),(23)110YrR求轨道角动量 z 分量 和自旋角动量 z 分量 zS的平均值；zL求总磁矩 SeM2的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩子表示） 。解： 可改写成10),(2301),(21101 YrRYrRzz SS(),()(,)( 211022112 从 的表达式中可看出 的可能值为 0zL相应的几率为 4134zLzS的可能值为 2相应的几率 为 iC41322 ziizS)4(eeLMzzzBe412