1、第三章 导数的应用 第一节 微分中值定理 第三章 导数的应用 第一节 微分中值定理 第二节 函数的性质 第三节 洛必达法则 第三章 导数的应用 第一节 微分中值定理 第一节 微分中值定理 本节主要内容 :一.罗尔中值定理二.拉格朗日中值定理三.柯西中值定理第三章 导数的应用 第一节 微分中值定理 一、罗尔中值定理费马（Fermat ）引理函数 y=f(x) 在 N(x0, ) 有定义，y=f (x0) 存在， f(x) f(x0) (f(x) f(x0) 0( ) 0=f x定义3.1.1 导数等于零的点称为函数的驻点（或稳定点、临界点 )第三章 导数的应用 第一节 微分中值定理 引理的直观意
2、义: 可导函数极值点处的切线平行于 x 轴.第三章 导数的应用 第一节 微分中值定理 定理3.1.1 （罗尔中值定理）设函数 y= f(x)在区间a,b上有定义，如果 （1）函数 f (x)在闭区间a ， b上连续； （ 2）函数 f (x)在开区间（a，b）内可导； （3）函数 f (x)在区间两端点处的函数值相等，即f (a)= f (b) ；则在（ a ， b ）内至少存在一个点 a b ，使得 f ()=0 .例如, 32)( 2 xxxf ).1)(3( xx,3,1 上连续在 ,)3,1( 上可导在 ,0)3()1( ff且)3,1(1(,1 取 .0)( f),1(2)( xxf
3、第三章 导数的应用 第一节 微分中值定理 因为函数 f(x) 在区间 a,b 上连续，函数 f(x) 在闭区间 a,b 上必能取到最大值 M 和最小值 m , 考虑两种可能的情况：(1) 若 m=M, 则 f(x) 在 a,b 上恒等于常数 M( 或 m),因而在 (a,b) 内处处有 f (x)=0 ，因此可取 (a,b) 内任意一点作为而使得 f ()=0 成 定理的 第三章 导数的应用 第一节 微分中值定理 (2) 若 mM ，因为 f(a)=f(b) ，因此 m 、 M 可能两端点的函数值，即最小值 m 和最大值 M至少有一个在开区间 (a,b) 内 取得，设f ()=M ， ( a,
4、b).(2) 和费马定理 f ()=0.第三章 导数的应用 第一节 微分中值定理 罗尔定理的 意义：如果连续函数 两个端点 处处有 直于 x 轴的切线， 两端点处 相等， 在 线上至少存在一点 ，在点处的切线平行于 x 轴(如 ） 第三章 导数的应用 第一节 微分中值定理 1.罗尔定理中的 (a,b)内的 一点，定理 理上的存在性，而有currency1的“取值；2.罗尔定理的 分必要 ，要三个 fifl ，分 成 如果三个 fl ，则定理的可能成 可能 成 如例：两点 ：第三章 导数的应用 第一节 微分中值定理 ( ) 0 1 0 1 x xf x x= = 例 10 xy.0)(, f使 例 ;1,1,)( xxxf.0)(, f使 10 xy1).1()0()3( ff (1) ( ) 0,1f x 在上 连续(2) ( ) (0,1)f x 在 内可导(3) ( 1) (1).f f- =(1) ( ) 1,1f x -在上 连续(2) ( ) ( 1,1)f x -在 内可导
