1、专题 圆的仿射变换- 从2012年浙江省21题谈起2012年理科第21题如图，椭圆2 22 2: 1 ( 0)x yC a ba b 的离心率为12，其左焦点到点 P(2, 1)的距离为 10，不过原点O的直线l与C相交于A、B两点，且 线段AB被直线OP平分 （）求椭圆C的方程； （）求APB面积取最大值时直线l的方程 解题方法研究对于问题（）的解决，可分为两个步骤：先说明弦 AB的斜率为常数并确定出这个常数，然后给出APB的 面积表达式并确定何时取得最值 （一）先说明弦AB的斜率恒为常数 32 方法一：（直线参数） 依题意，直线l的斜率存在，可设l的方程y kx m （ 0m ），代入 椭
2、圆方程2 214 3x y 并整理得 2 2 2(3 4 ) 8 (4 12) 0k x kmx m ， 且 2 2 2 2 2(8 ) 4(3 4 )(4 12) 48(3 4 3 ) 0km k m k m 若设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，AB中点 3 3( , )M x y ，则 1 23 3 32 24 3,2 3 4 3 4x x km mx y kx mk k 由P、O、M三点共线可知， 3 312y x 又因为 0m ，所以 32k 解题方法研究MNPxyo1M N OPk k -MNPxyo?MN OPk k1.中规中举-点差法2.合情推理
3、-类比法方法二：（端点相减法 理弦中点问题） 一 ，若设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则2 21 12 2 1x ya b ，2 22 22 2 1x ya b ， 两式相减可得 1 2 1 2 1 2 1 22 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y ya b 知 21 2 1 221 2 1 2( )( )( )( )AB OMy y y y bk kx x x x a 在 题中 12OM OPk k ，2234ba ， 32ABk 解题方法研究点差法命题背景探源求得椭圆C的方程为2 214 3x y ， 面 过仿射变换 求 问题的
4、在仿射变换 ，点平分线段这一 不变， 由 定理知，在 变换 后的图 中ABOP 一方面，APB面积最大 且 变换 后对 的APB面积最大 过 的分 ， 原问题的 ： P为圆O一点，弦AB 直于直线OP，求APB面积的最大值 方法三：（仿射变换） 方法二中的一 22AB OMbk ka ， 仿射变换的 仿射变换：x xby ya 圆：2 22 2 1x ya a 椭圆：2 22 2 1x ya b 仿射变换：x xby ya 1AB OMk k 22AB OMbk ka 解题方法研究2 2( 1)19 4x y lx- + =过点(-1,1)不过椭圆中心的直线交椭圆于M,N两点,弦MN的中点为P
5、,问在currency1 存在定点Q,“直线MN直线PQ的斜率 积为定值?若存在,求出定值相的定点;若不存在说明理由.( 为fi设fl题 77)22, ( ,0),8 4 .9( 1) 9 4(1 )PQ MNl k Q mk kk km k k m+- + - + -分 :设直线的斜率为点的为则为定值41, .9PQ MNm k k= -则时 MNPxyoQ（二） 面 ”APB的面积，并确定何时取得最值 2 23214 3y x mx y 可得， 2 23 3 ( 3) 0x mx m 由于 0m ， 且 2 2 2( 3 ) 12( 3) 3(12 ) 0m m m 所以 20 12m 设点P到AB的距离为d，则 2 2 2 22 1 2 1 2 1223| | ( ) ( ) 1 ( ) ( )23(12 )31 ( )2 3AB x x y y x xm 2|4 |31 ( )2md ， 2 21 3| | (12 )(4 )2 6APBS AB d m m 解题方法研究
