1、 力与位移的复势表达1. 复势应力函数04 U平面弹性平衡，体力为常量，应力函数U，满足可化为面力引入 z x iy= + z x iy= -1, ; 1, z z z zi ix y x y抖 抖= = = = -抖 抖 (1) 可得,U U z U z Ux z x z x z zU U z U z i Uy z y z y z z抖 抖 抖 骣= + = +琪抖 抖 抖 桫抖 抖 抖 骣= + = -琪抖 抖 抖 桫(3-1) 积分两次22 4 .UUz z 抖 (3-4) 0224 zz U (3-5) 由(3-1)式，得：2 , 2 .U U U U U Ui ix y z x y
2、z抖 抖 抖+ = - =抖 抖 抖 (3-2) 2 22 22 2, ,U UU Ux z z y z z抖 抖 抖骣 骣= + = - -琪 琪抖 抖 抖桫 桫 (3-3) 相容方程 04 U 为 故 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )U f z zf z f z z f z= + + +其中f1、f2、f3、f4均表示任意函数。左边U是实函数，右边四项一定两两共轭，即3 1 4 2( ) ( ), ( ) ( )f z f z f z f z= =令 1 1 2 11 1( ) ( ), ( ) ( )2 2f z z f z zq j= = ，得古萨公式1 1( ), ( )
3、z zj q 称之为复势应力函数。 2应力和位移的复势1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )U f z zf z f z zf z= + + + (2) 1 1Re ( ) ( )U z z zj q= + (3-6) 应力复势不计体力注意到式(3-4)得2 2 22 2 4y xU U Ux y z zs s抖+ = + =抖 抖将式(3-6)代入得由式(3-7) 22 2 22 22 2y x xyU U Ui i i Ux y x y x ys s t骣抖 抖- + = - - = -琪抖 抖 抖桫2 2 22 2, ,x y xyU U Uy x x ys s t抖= = = -
4、抖 抖 (3-7) 1 1 12 ( ) ( ) 4Re ( )y x z z zs s j j j+ = + = (3-8) 注意到式(3-2)得1 1( ) ( )z zy q=设 式(3-8)和(3-9)平面应力分量的复势形式。位移复势平面应力，由几何方程与广义虎克定律 1 12 2 ( ) ( )y x xyi z z zs s t j q - + = + (1) 1 12 2 ( ) ( )y x xyi z z zs s t j y- + = + (3-9) ( ) (1 )x y x y yuE x s ns s s n s= - = + - + (2) ( ) (1 )y x
5、x y xvE y s ns s s n s= - = + - + (3) 将式(1-8)和(1-7)分别代入(2)和(3)式，积分得：式中f1及f2为任意函数。将式(5)代入式(4)，用式(1-7)中的第三式及式(1-1)，得1 2d ( ) d ( )d df y f xy x w- = = (常数) 积分得刚体位移： 1 0 2 0( ) , ( )f y u y f x v xw w= - = +1 1 11 1 22 ( ) ( ) (1 ) ( ),2 ( ) ( ) (1 ) ( ),UEu z z f yxUEv i z z f xyj j nj j n轾= + - + +臌轾
6、= - - - + +臌(5) 2(1 ) xyE v ux y tn骣抖+ =琪+ 抖桫 (4) G xy若不计刚体位移，由式(5)组合得 （注：强度问题与刚体位移无关）将式(1-2)中的第一式及式(1-6)代入式(6)右边，两边除以(1+) 这就是位移复势。对平面应变， 21 EE n- 1nn n-( ) ( ) ( )14 1 U UE u iv z ix yj n 骣抖+ = - + +琪抖桫(6) ( ) 1 1 13 ( ) ( ) ( )1 1E u iv z z z zn j j yn n-+ = - -+ + (3-10) 复应力函数的确定程度(数学上完全确定，力学上看哪些
7、部分不影响应力和位移)1 应力确定时，由式(3-8)和(3-9)可知， 设2( )zj 1( )zj与 可见 具有相同的实部，只可 相 一 任意常数( )14Re ,y xzj s s= + (1) 1 12 ( ) ( ) 2y x xyz z z ij y s s t + = - + (2) ( )24Re ,y xzj s s= + (1) 2 22 ( ) ( ) 2y x xyz z z ij y s s t + = - + (2) ( )2 1( ) ,z z iCj j = + (3) C为任意实常数。积分得A iBg = +由式(3)有 2 1( ) ( )z zj j = ，
8、 式(2)与(2)可见积分得A iBg= +故2 1( ) ( )z z iCzj j g= + + (4) 2 1( ) ( )z zy y = (5) ( )2 1( )z zy y g= + (6) 1 11 1( ) ) ,( ) ( ) ,z z iCzz z 代以代以 (A) 30, 01C 且 (8) (A) 代 不 变应力。（常设其为 1(0) 0j = ） 2：位移确定时， 应力完全确定，不容 有(A) 以 代 。 (A) 代 何 不 变位移。将式(1-10)(A) 代 位移确定， 不 变位移只 将1 1 13 4 3( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1E iCzu iv z z z zn nj j y g gn n n n- -骣+ = - - + + -琪+ + + +桫 (7) 和 中只有一个为任意常数,设为 , 由 确定
