高等数学常用导数和积分公式.doc

1、常常 用用 导导 数数 和和 积积 分分 公公 式式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(lo gln)(c s c)(c s cs ec)(s ecc s c)(s ec)(22222211)(11)(11)(a rc c o s11)(a rc s inxa rcctg xxa rctg xxxxx CaxxaxdxCs h xc h x d xCc h xs h x d xCaadxaCxc tg x d xxCxdxtg xxCc tg xx d xxdxCtg xx d xxdxxx)ln (lncsc

2、cscs e cs e ccscs ins e cc o s22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxa rc tgaxadxCc tg xxx d xCtg xxx d xCxc tg x d xCxtg x d xa r c s inln21ln211c s clnc s cs e clns e cs inlnc o sln22222222 CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnx d xx d xI nnnna r c s i n22ln22)l n (221c o ss i n2222222222222222222

3、22020常常 用用 导导 数数 和和 积积 分分 公公 式式 2222 1 2211c o s1 2s i n ududxxtguuuxuux ， ， ， （一）含有 ax b 的积分 ( 0a ) 1 dxax b 1 ln ax b Ca 2 ( ) dax b x 11 ()( 1) ax b Ca （ 1 ） 3 dx xax b 21 ( ln )a x b b a x b Ca 4 2 dx xax b 22311 ( ) 2 ( ) l n2 a x b b a x b b a x b Ca 5 d()xx ax b 1 ln ax b Cbx62 d()xx ax b21 l

4、na ax b Cbx b x 72d()x xax b21 ( ln )ba x b Ca a x b 8 22d()x xax b 231 ( 2 l n )ba x b b a x b Ca a x b 92d()xx ax b211 ln() a x b Cb a x b b x（二）含有 ax b 的积分 10 dax b x 32 ()3 ax b Ca 11 dx ax b x 322 ( 3 2 ) ( )15 a x b a x b Ca 12 2 dx ax b x 2 2 2 332 ( 1 5 1 2 8 ) ( )105 a x a b x b a x b Ca 13

5、 dx xax b22 ( 2 )3 a x b a x b Ca 常常 用用 导导 数数 和和 积积 分分 公公 式式 14 2 dx xax b 2 2 232 ( 3 4 8 )15 a x a b x b a x b Ca 15 dxx ax b1 l n ( 0)2 a r c t a n ( 0)a x b b Cbb a x b ba x b Cbbb 162 dxx ax b d2ax b a xbx b x ax b 17 dax b xx d2 xax b bx ax b 182 dax b xx d2ax b a xx x ax b （三）含有 22xa 的积分 1922

6、dxxa= 1 arctan x Caa 2022d()nxxa=2 2 2 1 2 2 2 12 3 d2 ( 1 ) ( ) 2 ( 1 ) ( )nnx n xn a x a n a x a 2122dxxa= 1 ln2 xa Ca x a （四）含有 2 ( 0)ax b a的积分 222dxax b1 a r c t a n ( 0)1 l n ( 0)2a x C bbaba x b Cba b a x b 232 dx xax b 21 ln2 ax b Ca 常常 用用 导导 数数 和和 积积 分分 公公 式式 24 22 dx xax b2dx b xa a ax b 25

7、2d()xx ax b 221 ln2 x Cb ax b 2622d()xx ax b21daxbx b ax b 2732d()xx ax b 22 2 21ln22a x ba Cb x b x 2822d()xax b221d2 ( ) 2xxb a x b b a x b（五）含有 2ax bx c( 0)a 的积分 292 dxax bx c222222222a r c tan ( 4 )441 2 4ln ( 4 )4 2 4ax b C b acac b ac bax b b ac C b acb ac ax b b ac 302 dx xax bx c 221dln22 bx

8、a x b x ca a a x b x c （六）含有 22xa ( 0)a 的积分 3122dxxa 1arshx Ca 22ln ( )x x a C 322 2 3d()xxa 2 2 2x Ca x a 3322dx xxa 22x a C 342 2 3 d()x xxa 221 Cxa 常常 用用 导导 数数 和和 积积 分分 公公 式式 35 222dx xxa 22 2 2 2l n ( )22xax a x x a C 36 22 2 3 d()x xxa 2222 l n ( )x x x a Cxa 3722dxx x a 221 ln x a a Cax 382 2

9、2dxx x a 222xa Cax 39 22dx a x 22 2 2 2l n ( )22xax a x x a C 40 2 2 3( ) dx a x 2 2 2 2 4 2 23( 2 5 ) l n ( )88x x a x a a x x a C 41 22dx x a x 2 2 31 ()3 x a C 42 2 2 2 dx x a x 42 2 2 2 2 2( 2 ) l n ( )88xax a x a x x a C 43 22dxaxx 2222 ln x a ax a a Cx 44 222 dxaxx 22 22l n ( )xa x x a Cx （七）含

10、有 22xa ( 0)a 的积分 4522dxxa 1arch xx Cxa = 22ln x x a C 462 2 3d()xxa 2 2 2x Ca x a 4722dx xxa 22x a C 常常 用用 导导 数数 和和 积积 分分 公公 式式 482 2 3 d()x xxa 221 Cxa 49 222dx xxa 22 2 2 2ln22xax a x x a C 50 22 2 3 d()x xxa 2222 lnx x x a Cxa 5122dxx x a 1 arccos a Cax 522 2 2dxx x a 222xaCax 53 22dx a x 22 2 2

11、2ln22xax a x x a C 54 2 2 3( ) dx a x 2 2 2 2 4 2 23( 2 5 ) l n88x x a x a a x x a C 55 22dx x a x 2 2 31 ()3 x a C 56 2 2 2 dx x a x 42 2 2 2 2 2( 2 ) l n88xax a x a x x a C 57 22dxaxx 22 a r c c o s ax a a Cx 58 222 dxaxx 22 22lnxa x x a Cx （八）含有 22ax ( 0)a 的积分 5922dxax arcsin x Ca 602 2 3d()xax 2

12、 2 2x Ca a x 常常 用用 导导 数数 和和 积积 分分 公公 式式 6122dx xax 22a x C 622 2 3 d()x xax 221 Cax 63 222dx xax 222 a r c s i n22x a xa x Ca 64 22 2 3 d()x xax 22 ar cs inxx Caax 6522dxx a x 221 ln a a x Cax 662 2 2dxx a x 222ax Cax 67 22da x x 222 a r c s i n22x a xa x Ca 68 2 2 3( ) da x x 2 2 2 2 43( 5 2 ) a r

13、c s i n88xxa x a x a Ca 69 22dx a x x 2 2 31 ()3 a x C 70 2 2 2 dx a x x 42 2 2 2( 2 ) a r c s i n88x a xx a a x Ca 71 22daxxx 2222 ln a a xa x a Cx 72 222 daxxx 22 ar cs ina x x Cxa （九）含有 2ax bx c ( 0)a 的积分 732dxax bx c 21 l n 2 2a x b a a x b x c Ca 常常 用用 导导 数数 和和 积积 分分 公公 式式 74 2 dax bx c x 22 4a

14、x b ax bx ca 2 234 l n 2 28a c b a x b a a x b x c Ca 752 dx xax bx c 21 ax bx ca 23 l n 2 22b a x b a a x b x c Ca 762dxc bx ax 212ar cs in 4a x b Ca b a c 77 2 dc bx ax x 22322 4 2a r c s i n4 84a x b b a c a x bc b x a x Ca a b a c 782 dx xc bx ax 23212 ar csi n24b a x bc b x a x Ca a b a c （十）含有

15、 xaxb 或 ( )( )x a b x的积分 79 dxaxxb ( ) ( ) l n ( )xax b b a x a x b Cxb 80 dxaxbx ( ) ( ) a r c s i nx a x ax b b a Cb x b x 81 d( )( )xx a b x 2 arcs in xa Cbx ()ab 82 ( )( )dx a b x x 22 ( )( ) ( ) a r c s i n44x a b b a x ax a b x Cbx ()ab （十一）含有三角函数的积分 83 sin dxx cosxC 常常 用用 导导 数数 和和 积积 分分 公公 式式

16、 84 cos dxx sinxC 85 tan dxx ln cos xC 86 cot dxx ln sinxC 87 sec dxx ln tan( )42x C ln sec tanx x C 88 csc dxx ln tan2x C ln cs c co tx x C 89 2sec dxx tanxC 90 2csc dxx cotxC 91 sec tan dx x x secxC 92 csc cot dx x x cscxC 93 2sin dxx 1 sin 224x xC 94 2cos dxx 1 sin 224x xC 95 sin dnxx 1211s i n c

17、 o s s i n dnnnx x x xnn 96 cos dnxx c o s s i n c o s dnx x x xnn 97 dsinnxx121 c o s 2 d1 s i n 1 s i nnnx n xn x n x 98 dcosnxx121 s i n 2 d1 c o s 1 c o snnx n xn x n x 99 cos sin dmnx x x 1 1 211c o s s i n c o s s i n dm n m nmx x x x xm n m n 1 1 2c o s s i n c o s s i n dm n m nnx x x x xm n

18、 m n 100 sin cos dax bx x 11c o s ( ) c o s ( )2 ( ) 2 ( )a b x a b x Ca b a b 常常 用用 导导 数数 和和 积积 分分 公公 式式 101 sin sin dax bx x 11s i n ( ) s i n ( )2 ( ) 2 ( )a b x a b x Ca b a b 102 cos cos dax bx x 11s i n ( ) s i n ( )2 ( ) 2 ( )a b x a b x Ca b a b 103 dsinxa b x 2 2 2 2t a n2 2a r c t a n xab

19、Ca b a b 22()104 dsinxa b x 2222 22t an1 2lnt an 2xa b b aCxbaa b b a 22()ab 105 dcosxa b x 2 a r c t a n ( t a n )2a b a b x Ca b a b a b 22()ab 106 dcosxa b x ta n1 2lnta n 2x a bab ba Ca b b a x a bba 22()ab 1072 2 2 2dc os sinxa x b x 1 a rc ta n ( ta n )b xCab a 1082 2 2 2dc os sinxa x b x 1 ta

20、 nln2 ta nb x a Cab b x a 109 sin dx ax x 211s in c o sax x ax Caa110 2 sin dx ax x 2231 2 2c o s s i n c o sx a x x a x a x Ca a a 111 cos dx ax x 211c o s s inax x ax Caa112 2 cos dx ax x 2231 2 2s i n c o s s i nx a x x a x a x Ca a a （十二）含有反三角函数的积分（其中 0a ） 113 arcsin dx xa 22a r c s in xx a x Ca