1、 考研高等数学公式集锦 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2222 1 2211c o s1 2s i n ududxxtguuuxuux , , , axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(lo gln)(c s c)(c s cs ec)(s ecc s c)(s ec)(22222211)(11)(11)(a rc c o s11)(a rc s inxarcctgxxarctgxxxxx CaxxaxdxCsh xc h x d xCc h xsh x d xCaadxaCxc tg x d xxCxdxtg xxCc tg xx d xxd
2、xCtg xx d xxdxxx)ln (lncsccscs e cs e ccscs ins e cc o s22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxa rctgaxadxCctg xxxd xCtg xxxd xCxctg xd xCxtg xd xa r c s inln21ln211c s clnc s cs e clns e cs inlnc o sln22222222 CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnx d xx d xI nnnna r c s i n22ln22)l n (221c o ss i n
3、222222222222222222222020一些初等函数: 两个重要极限: 三角函数公式: 诱导公式: 函数 角 A sin cos tg ctg - -sin cos -tg -ctg 90- cos sin ctg tg 90+ cos -sin -ctg -tg 180- sin -cos -tg -ctg 180+ -sin -cos tg ctg 270- -cos -sin ctg tg 270+ -cos sin -ctg -tg 360- -sin cos -tg -ctg 360+ sin cos tg ctg 和差角公式: 和差化积公式: 2s in2s in2cosc
4、os2cos2cos2coscos2s in2cos2s ins in2cos2s in2s ins inc tgc tgc tgc tgc tgtgtgtgtgtg1)(1)(s ins inc o sc o s)c o s (s inc o sc o ss in)s in (xxa rth xxxa rc h xxxa rsh xeeeec h xsh xth xeec h xeesh xxxxxxxxx11ln21)1ln (1ln (:2:2:22)双曲正切双曲余弦双曲正弦. . .5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 4.2)11(lim1s inlim 0exxxx
5、xx倍角公式: 半角公式: c o s1s i ns i nc o s1c o s1c o s12c o s1s i ns i nc o s1c o s1c o s122c o s12c o s2c o s12s i nc t gtg 正弦定理 : RCcBbAa 2s ins ins in 余弦定理: Cabbac c o s2222 反三角函数性质: a r c c tg xa r c tg xxx 2a r c c o s2a r c s in 高阶导数公式 莱布尼兹( Leibniz)公式: )()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(nkknnnnnkkkn
6、knnuvvuk knnnvunnvnuvuvuCuv中值定理与导数应用: 拉格朗日中值定理。时,柯西中值定理就是当柯西中值定理:拉格朗日中值定理:xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(曲率: .1;0.)1(limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss的圆:半径为直线:点的曲率:弧长。:化量;点,切线斜率的倾角变点到从平均曲率:其中弧微分公式:23333133c o s3c o s43c o ss in4s in33s intgtgtgtg222222122212s i nc o ss i n211c o s22c
7、o sc o ss i n22s i ntgtgtgc tgc tgc tg定积分的近似计算: bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法:梯形法:矩形法:定积分应用相关公式: babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根:函数的平均值:为引力系数引力:水压力:功:空间解析几何和向量代数: 。代表平行六面体的体积为锐角时,向量的混合积:例:线速度:两向量之间的夹角:是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影:点的距离:空间,c o s)(
8、.s i n,c o s,c o sPrPr)(Pr,c o sPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu(马鞍面)双叶双曲面:单叶双曲面:、双曲面:同号)(、抛物面:、椭球面:二次曲面:参数方程:其中空间直线的方程:面的距离:平面外任意一点到该平、截距世方程:、一般方程:,其中、点法式:平面的方程:113,22211;,1302),(,0)()
9、()(1222222222222222222220000002220000000000czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA多元函数微分法及应用 zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz, , 隐函数,
10、 , 隐函数隐函数的求导公式:时,当:多元复合函数的求导法全微分的近似计算:全微分:0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组:微分法在几何上的应用: ),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(00000000000000000000000000000
11、0000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程:、过此点的切平面方程、过此点的法向量:,则:上一点曲面则切向量若空间曲线方程为:处的法平面方程:在点处的切线方程:在点空间曲线方向导数与梯度: 上的投影。在是单位向量。方向上的,为,其中:它与方向导数的关系是的梯度:在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为:沿任一方向在一点函
12、数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(g r a ds i nc o s),(g r a d),(g r a d),(),(s i nc o s),(),(多元函数的极值及其求法: 不确定时值时, 无极为极小值为极大值时,则:,令:设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx重积分及其应用: DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFF
13、FFFaaMzx o ydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxd x d yyzxzAyxfzr d r drrfd x d yyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(),0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()s i n,c o s(),(, , ,其中:的引力:轴上质点平面)对平面薄片(位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量:平面薄片的重心:的面积曲面柱面坐标和球面坐标: dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFdddd r drrFd x d y d zzyxfdd
14、 r drdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzr d r dzrFd x d y d zzyxfzzryrxzyxr )()()(1,1,1s i n),(s i n),(),(s i ns i nc o ss i ns i nc o ss i n),s i n,c o s(),(,),(),(,s i nc o s22222220 0),(0222, , 转动惯量:, 其中 重心:, 球面坐标:其中:柱面坐标:曲线积分: )()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL 特殊情况: 则: 的参数方程为:上连续,在设长的
15、曲线积分):第一类曲线积分(对弧。,通常设的全微分,其中:才是二元函数时,在:二元函数的全微分求积注意方向相反!减去对此奇点的积分,应。注意奇点,如,且内具有一阶连续偏导数在,、是一个单连通区域;、无关的条件:平面上曲线积分与路径的面积:时,得到,即:当格林公式:格林公式:的方向角。上积分起止点处切向量分别为和,其中系:两类曲线积分之间的关,则:的参数方程为设标的曲线积分):第二类曲线积分(对坐0),(),(),(),()0,0(),(),(21212,)()()c o sc o s()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00 yxdyyxQdxyxPyxuyxuQ
16、d yP d xyPxQyPxQGyxQyxPGy d xx d yd x d yADyPxQxQyPQ d yP d xd x d yyPxQQ d yP d xd x d yyPxQLdsQPQ d yP d xdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxD LD LD LL LL曲面积分: dsRQPR d x d yQ d z d xP d y d zd z d xzxzyxQd z d xzyxQd y d zzyzyxPd y d zzyxPd x d yyxzyxRd x d yzyxRd x d yzyxRd z d xzyxQd y d zzyxPd x d y
17、yxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyx)c o sc o sc o s(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系:两类曲面积分之间的关号。,取曲面的右侧时取正号;,取曲面的前侧时取正号;,取曲面的上侧时取正,其中:对坐标的曲面积分:对面积的曲面积分:高斯公式: dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPR d x d yQ d z d xP d y d zdvzRyQxPnnd i v)c o sc o sc o s(. . .,0d i v,d i v)c o sc o sc o s()(成:因此
18、,高斯公式又可写,通量:则为消失的流体质量,若即:单位体积内所产生散度:通量与散度:高斯公式的物理意义斯托克斯公式 曲线积分与曲面积分的关系: dstAR d zQ d yP d xARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxd x d yd z d xd y d zR d zQ d yP d xd x d yyPxQd z d xxRzPd y d zzQyR的环流量:沿有向闭曲线向量场旋度:, , 关的条件:空间曲线积分与路径无上式左端又可写成:kjir o tc o sc o sc o s)()()(常数项级数: 是发散的调和级数:等差数列:等比数列:nnnnqqqq
19、q nn1312112)1(321111 12 级数审敛法: 散。存在,则收敛;否则发、定义法:时,不确定时,级数发散时,级数收敛,则设:、比值审敛法:时,不确定时,级数发散时,级数收敛,则设:别法):根植审敛法(柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211。的绝对值其余项,那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理:的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,( nnnnnnnnurrusu uuuuuuuuuu 绝对收敛与条件收敛: 时收敛时发散级数: 收敛; 级数:收敛;发散,而调和级数:为条件收敛级数。收敛,则称发散,而如果收敛级数;肯定收敛,且称为绝对收敛,则如果为任意实数;,其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn幂级数:
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