丰台区20172018学第一学期期末练习.DOC

1、 专业 K12教研共享平台 丰台区高三数学第一学期期末试题（理科） 第 1 页 共 11 页 丰台区 2017 2018 学年度第一学期期末练习 高三数学（理科） 2018.01 第一部分 （选择题 共 40 分 ） 一、选择题 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 。 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 。 （ 1） 已知集合 1 0 1A， ， ， 2 | 1B x x，则 ABU (A) 11， (B) 101， ， (C) | 1 1xx (D) | 1xx （ 2） “ 1x ”是“ 21x ”的 (A) 充分 而 不必要条件 (B) 必要 而 不充分条件 (C)

2、 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 （ 3）在 极坐标系 Ox 中，方程 sin 表示的曲线是 (A) 直线 (B) 圆 (C) 椭圆 (D)双曲线 （ 4） 若 x ， y 满足 110xyxyx，则 2z x y 的最大值是 (A) 2 (B) 1 (C) 1 (D) 2 （ 5） 执行如图所示的程序框图， 如果输入的 x 的值在区间 2 1.5)， 内 ， 那么输出 的 y 属于 (A) 00.5)， (B) (00.5， (C) (0.51， (D) 0.51)， （ 6） 某 三棱锥 的三视图如图所示，则该 三棱锥最长的棱的棱长为 (A) 2 (B) 5 (C) 22 (D

3、) 3 否 是 开始 结束 输入 x x= x+ 1b y = x x 0? 输出 y 专业 K12教研共享平台 丰台区高三数学第一学期期末试题（理科） 第 2 页 共 11 页 （ 7） 过双曲线 2222 1 ( 0xy aab ， 0)b 的一个焦点 F 作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为 A ， O 为坐标原点，若 OFOA 21 ，则此双曲线的离心率为 (A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 5 （ 8） 全集 = ( ) | U x y x yZZ， ，非空集合 SU ，且 S 中的点在平面直角坐标系 xOy 内形成的图形关于 x 轴、 y 轴和直线 yx 均对称 下列命题：

4、若 (13) S， ，则 ( 1 3) S ， ； 若 (0 4) S， ，则 S 中至少有 8 个元素； 若 (0 0) S， ，则 S 中元素的个数一定为偶数； 若 ( ) | 4 x y x y x y S ZZ， ， ，则 ( ) | | | | | 4 x y x y x y S ZZ， ， ， 其中正确命题的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 第二部分 （非选择题 共 110 分） 二 、填空题 共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 。 （ 9）已知单位 向 量 a ， b 的 夹角 为 120 ，则 ()a+b a （ 10） 若复数 (1 i)(1 i

5、)za 在复平面内 所对应的点在 虚轴上， 则 实数 a （ 11）在 5(2 )x 的展开式中， 3x 项的系数是 （用数字作答） （ 12） 等差数列 na 的公差为 2，且 2a ， 4a ， 8a 成等比数列，那么 1a ， 数列 na 的前 9 项和 9S （ 13）能够说明“ 方程 22( 1 ) ( 3 ) ( 1 )( 3 )m x m y m m 的曲线是椭圆”为假命题的一个 m 的值是 （ 14） 已知函数 s in 0 () x x xfxxx ， ， ，( ) ( )g x f x kx(kR) 当 1k 时 ，函数 ()gx 有 个零点 ； 若函数 ()gx 有 三

6、个零点 ，则 k 的取值范围是 专业 K12教研共享平台 丰台区高三数学第一学期期末试题（理科） 第 3 页 共 11 页 三 、解答题 共 6 小题，共 80 分 。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 。 （ 15） （本小题共 13 分） 在 ABC 中， 23 sin 2 2 sinBB （ ） 求角 B ； （ ） 若 4a ， 63ABCS ， 求 b 的 值 （ 16） （本小题共 13 分） 某校 为了 鼓励学生热心公益 ， 服务社会 ， 成 立 了 “ 慈善义工社 ” 2017 年 12 月，该 校 “ 慈善义工社 ”为 学生提供了 4 次 参加 公益 活动 的机会，学生

7、可通过网络平台报名参 加 活动 为了解学生 实 际 参 加 这 4 次活动 的情况，该校随机抽取 100 名学生进行调查，数据统计如下表， 其中 “” 表示参 加 ， “” 表示未参 加 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 30 20 15 12 10 a b 根据 表中 数据估计 ， 该校 4000 名学生中约有 120 名 这 4 次活动均未参加 （ ） 求 a ， b 的值； （ ） 从该校 4000 名 学生中任取一人，试估计其 2017 年 12 月恰参加了 2 次学校组织的公益活动的概率； （ ） 已知学生每次参 加 公益活动可获得 10 个公益积分，任取该校一名学生，

8、记 该生 2017 年 12 月 获得的公益积分为 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望 ()EX （ 17） （本小 题共 14 分） 在四棱锥 ABCDP 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PA 底面 ABCD ， E ， F 分别是 AB ， PC 的中点 ， 2 ADPA ， 2CD （ ） 求证： EF /平面 PAD ； （ ）求 PC 与平面 EFD 所成角的 正 弦值； （ ）在 棱 BC 上 是否存在一点 M ，使得平面 PAM 平面EFD ？ 若存在， 求出 BMBC 的值；若不存在， 请 说明理由 FEPDCBA公益 活动 学生 人数 专业 K12教研共享平台 丰台区

9、高三数学第一学期期末试题（理科） 第 4 页 共 11 页 （ 18） （本小题共 13 分） 已知函数 22( ) = l n ( )f x x a x a x a R （ ） 求函数 ()fx的单调区间； （ ） 若 ( ) 0fx 恒成立，求实数 a 的 取值范围 （ 19） （本小题共 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 动 点 P 到点 (10)F， 的距离和它到直线 1x 的距离相等，记点 P 的轨迹为 C （ ）求 C 的方程； （ ）设点 A 在 曲线 C 上， x 轴上一点 B （ 在点 F 右侧 ）满足 AF FB 平行于 AB 的直线与曲线 C相切于点 D ，试判

10、断直线 AD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明 理由 （ 20） （本小题共 13 分） 在数列 na 中，若 1a ， 2a 是整数，且 1 2 1 21 2 1 253 ,n n n nn n n n na a a aa a a a a 为 偶 数为 奇 数(nN* ，且 3) （）若 1=1a ， 2=2a ， 写出 3a ， 4a ， 5a 的值 ； （）若在数列 na 的前 2018 项中 ， 奇数 的个数为 t ，求 t 的最大值 ； （）若数列 na 中 ， 1a 是 奇数 ， 213aa ，证明：对任意 nN* ， na 不是 4 的 倍数 （考生务必将答

11、案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 专业 K12教研共享平台 丰台区高三数学第一学期期末试题（理科） 第 5 页 共 11 页 丰台区 2017 2018 学年度第一学期期末练习 2018.01 高三 数学（理科） 答案及评分参考 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D A D C C 二、填空题共 6 小题，每 小题 5 分，共 30 分 9 12 10 1 11 40 12 2 ， 90 13 ( ,1 2 3 , )m 中任取一值即为正确答案 14 1 ， (0, 注 ： 第 12， 14 题第一个空 2 分；第二

12、 个空 3 分 。 三 、解答题 共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （ 15） （本小题共 13 分） 解： （ ） 因为 23 sin 2 2 sinBB ， 所以 22 3 s in c o s 2 s inB B B 因为 0 B ， 所以 sin 0B ， 所以 tan 3B ， 所以 3B 6 分 （ ） 由 63ABCS ， 4a ， 3B ， 得 1 4 sin 6 323c 解得 6c 由余弦定理可得 2 2 24 6 2 4 6 c o s = 2 83b ， 解得 27b 13 分 （ 16） （本小题共 13 分） 解：（ ） 依题意 20

13、0100 4000b ， 所以 3b 因为 1 0 0 ( 1 2 2 0 1 5 3 0 1 0 3 ) 1 0a ， 所以 10a ， 3b 4 分 （ ）设“ 从该校所有学生中任取一人， 其 2017 年 12 月恰参加了 2 次学校组织的公益活动 ” 为 事件 A ， 专业 K12教研共享平台 丰台区高三数学第一学期期末试题（理科） 第 6 页 共 11 页 则 20 30 1() 100 2PA 所以 从该校所有学生中任取一人，其 2017 年 12 月恰参加了 2 次学校组织的公益活动的概率 约为 12 8 分 （ ） X 可取 0 ， 10 ， 20 ， 30 ， 40 9 分

14、3( 0 ) 0 .0 3100PX ； 20( 1 0 ) 0 .2100PX ； 50( 2 0 ) 0 .5100PX ； 12( 3 0 ) 0 .1 2100PX ； 15( 4 0 ) 0 .1 5100PX 所以 随机变量 X 的分布列 为： X 0 10 20 30 40 P 0.03 0.2 0.5 0.12 0.15 12 分 所以 ( ) 0 0 . 0 3 1 0 0 . 2 2 0 0 . 5 3 0 0 . 1 2 4 0 0 . 1 5 2 1 . 6EX 13 分 （ 17） （本小题共 14 分） （ ）证明 ： 取 PD 中点 G ， 连 接 AG ， FG

15、 因为 F ， G 分别是 PC ， PD 的中点 ， 所以 FG CD ，且 12FG CD 因为 ABCD 是矩形 ， E 是 AB 中点， 所以 AE FG ， AE FG 所以 AEFG 为平行四边形 所以 AGEF/ 又因为 AG 平面 PAD ， EF 平面 PAD ， 所以 EF 平面 PAD 5 分 （ ） 解： 因为 PA 平面 ABCD ， 所以 PA AB ， PA AD ， 因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB AD 如图 建立直角坐标系 Axyz ， 所以 2( ,0,0)2E ， 2( ,1,1)2F ， (0,2,0)D ， 所以 (011)EF , ， 2(

16、 2 )2DE , ,0 设平面 EFD 的法向量为 ( , , )n x y z ， 因为 00n EFn DE ，所以 02202yzxy GABCDPEFzyxABCDPEF专业 K12教研共享平台 丰台区高三数学第一学期期末试题（理科） 第 7 页 共 11 页 令 1y ，所以 122zx， 所以 (2 2,1, 1)n 8 分 又因为 ( 2,2, 2)PC ， 设 PC 与 平面 EFD 所成角为 ， 所以 4 2 2 4s i n co s ,51 0 1 0P C nP C nP C n 所以 PC 与平面 EFD 所成角的 正 弦值为54 10 分 （ ） 解：因为 侧棱

17、PA 底面 ABCD ， 所以只要在 BC 上 找到一 点 M ， 使得 AMDE ，即可证明 平面 PAM 平面 EFD 设 BC 上存在一点 M ，则 ( 2 , , 0 ) ( 0, 2 )M t t ， 所以 ( 2, ,0)AM t 因为 2( , 2, 0)2ED ， 所以令 0AM ED，即 1 2 0t ， 所以 21t 所以 在 BC 存在一点 M ，使得平面 PAM 平面 EFD ， 且 14BMBC 14 分 （ 18） （本小题共 13 分） 解： （ ） 函数 ()fx的定义域为 (0, ) ， 222 ( ) ( 2 )() x ax a x a x afx xx

18、由 ( ) 0fx ，可 得 xa 或 2ax 4 分 当 0a 时， ( ) 0fx 在 (0, ) 上恒成立， 所以 ()fx的单调 递增 区间是 (0, ) ，没有单调 递 减区间； 5 分 当 0a 时， x ， ()fx ， ()fx的变化情况如下表： x (0, )a a ( , )a ()fx + 0 - ()fx 所以 ()fx的单调 递 减区间是 (0, )a ，单调 递 增区间是 ( , )a 6 分 MzyxABCDPEF专业 K12教研共享平台 丰台区高三数学第一学期期末试题（理科） 第 8 页 共 11 页 当 0a 时， x ， ()fx ， ()fx的变化情况如下

19、表： x (0, )2a 2a ( , )2a ()fx + 0 - ()fx 所以 ()fx的单调 递 减区间是 (0, )2a ，单调 递 增区间是 ( , )2a 7 分 （ ）由（ ）知， 当 0a 时， 2( ) 0f x x，符合题意 当 0a 时， ()fx的单调 递 减区间是 (0, )a ，单调 递 增区间是 ( , )a ， 所以 ( ) 0fx 恒成立等价于 min( ) 0fx ，即 ( ) 0fa ， 所以 222ln 0a a a a ，所以 01a 10 分 当 0a 时， ()fx的单调 递 减区间是 (0, )2a ，单调 递 增区间是 ( , )2a ， 所

20、以 ( ) 0fx 恒成立等价于 min( ) 0fx ，即 ( ) 02af 所以 22 2 ln( ) 04 2 2a a aa ，所以 342e 0a 12 分 综上所述， 实数 a 的 取值范围 是 34 2e,1 13 分 （ 19） （本小题共 14 分） 解：（ ）因为 动点 P 到点 (1,0)F 的距离 和它 到直线 1x 的距离 相等， 所以 动点 P 的轨迹 是以点 (1,0)F 为焦点， 直线 1x 为准线的抛物线 设 C 的方程为 2 2y px ， 则 12p ，即 2p 所以 C 的轨迹方程为 2 4yx 5 分 （ ）设 2( , )4mAm，则 2( 2,0)

21、4mB ， 所以直线 AB 的斜率为 22mmk 设与 AB 平行，且与抛物线 C 相切的直线 为 2my x b ， DBO FAxy专业 K12教研共享平台 丰台区高三数学第一学期期末试题（理科） 第 9 页 共 11 页 由 2 42yxmy x b 得 2 8 8 0my y b ， 由 6 4 4 8 0mb 得 2b m 所以 4y m ， 所以点 244( , )D mm 当 2244m m， 即 2m 时，直线 AD 的方程为 2224()4 44m mmy m xmm ， 整理得24 ( 1)4myxm， 所以直线 AD 过点 (1,0) 12 分 当 224=4m m， 即

22、 2m 时，直线 AD 的方程为 1x ，过点 (1,0) 综上所述，直线 AD 过定点 (1,0) 14 分 （ 20） （本小题共 13 分） （ ）解： 735 123 aaa ， 2935 234 aaa ， 22345 aaa 所以 3 7a ， 4 29a ， 5 22a 3 分 （ ）解： （）当 1a ， 2a 都是偶数 时， 12aa 是偶数，代入 1253nnaa 得到 3a 是偶数； 因为 23aa 是偶数， 代入 1253nnaa 得到 4a 是偶数； 如此下去，可得到数列 na 中项 的奇偶情况是 偶 ， 偶，偶，偶， 所以 前 2018 项中共有 0 个奇数 （）当

23、 1a ， 2a 都是奇数 时， 12aa 是奇数，代入 12nnaa 得到 3a 是偶数； 因为 23aa 是偶数， 代入 1253nnaa 得到 4a 是奇数； 因为 34aa 是 偶数， 代入 1253nnaa 得到 5a 是奇数； 如此下去，可得到数列 na 中项 的奇偶情况是奇，奇， 偶，奇， 奇， 偶，奇， 奇， 偶， 专业 K12教研共享平台 丰台区高三数学第一学期期末试题（理科） 第 10 页 共 11 页 所以 前 2018 项中共有 1346 个奇数 （）当 1a 是奇 数、 2a 是偶 数时， 理由 同 （） ， 可得 数列 na 中项 的奇偶情况是 奇，偶 ， 奇，奇，

24、偶，奇 ，奇，偶，奇， 所以 前 2018 项中共有 1345 个奇数 （）当 1a 是偶 数、 2a 是奇 数时， 理由 同 （） ， 可得数列 na 中项 的奇偶情况是 偶 ， 奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇， 所以 前 2018 项中共有 1345 个奇数 综上所述， 前 2018 项中奇数的个数 t 的最大值 是 1346 8 分 （ ）证明： 因为 1a 是 奇数 ， 所以 由（ ）知 ， na 不可能都是偶数 ，只能是 偶奇奇 ， 奇偶奇 ， 奇奇偶 三种 情况 因为 1a 是 奇数 ， 且 213aa ，所以 2a 也 是奇 数 所以 3 2 1 12a a a a 为 偶数 ，

25、 且不是 4 的 倍数 因为 4 3 2 153a a a a ， 所以 前 4 项 没有 4 的 倍数 假设存在最小正整数 ( 3)tt ， 使得 ta 是 4 的 倍数， 则 1ta ， 2ta 均 为奇数 ， 所以 3ta 一定 是偶数 由于 1 2 353t t ta a a ，且 ta 12ttaa， 将这两个式子作和，可得 3234t t ta a a 因为 ta 是 4 的 倍数 ，所以 3ta 也是 4 的 倍数 ， 与 t 是 最小正整数 使得 ta 是 4 的 倍数 矛盾 所以假设不成立，即 对任意 nN* ， na 不是 4 的 倍数 13 分 （若用其他方法 解题 ，请酌情给分）