第五章勒让德函数及其应用1勒让德方程及其本征值问题亥姆霍兹方程：在球系分离变量的结果连带勒让德方程从数学上看，当u=u (r, )=R (r) ( )时 m2=0，勒让德方程从物理上看，u (r, )代表的是一种对z轴具有旋转对称性的场。例：一导体球放入均匀电场中，求球外电位分布。当z轴选任意方向时，u=u (r , ,)Ezzo当z轴选为电场方向时，u=u (r, )勒让德方程欧拉型方程设代入方程得：一、勒让德方程的本征值问题为了求解方便，作变量变换：二、勒让德方程的级数解若P (x)、Q (x)在|x-x0|R内解析，则方程在|x-x0|R内的解一定是解析的。理论依据：将中方程标准化：在|x|1内解析 |x|1内解y(x)一定是解析的由泰勒定理：y(x)一定可展为：将级数解代入:为一个递推公式，其功能为偶次幂系数奇次幂系数推导C2j的一般表达式：中令k=0令k=2令k=4令k=2j-2同理得： C0 ,C1为两个任意常数，y0 ,y1为两个线性无关的特解解的收敛性：i） |x|1 ，y0(x)、y1(x)均收敛（定理）是方程的通解ii) x=1当l(l+1)时，y0, y1 均为发
