有理数知识点及经典题型总结讲义全.doc

1、一对一个性辅导 1 第 1 讲 有 理 数 教学目标 1、掌握有理数的分类 ,学会把有理数对应的点画在数轴上； 2、掌握相反数、绝对值、倒数的求法 ,会比较有理数的大小； 3、掌握有理数的大小比较； 4、掌握有理数的加减乘除幂的运算法则，并会灵活解题。 正数和负数 正数和负数的概念 负数：比 0 小的数 正数：比 0 大的数 0 既不是正数，也不是负数 注意 ： 字母 a可以表示任意数 ，当 a表示正数时， -a是负数；当 a表示负数时， -a是正数；当 a表示 0时， -a 仍是 0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号 的数是负数，这种说法 是错误的 ，例如 +a,-a就不能做出简单

2、判断） 正数有时也可以在前面加“ +”，有时“ +”省略不写。所以 省略“ +”的正数的符号是正号 。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量 ，比如： 零上 8表示为： +8；零下 8表示为： -8 3.0 表示的意义 0表示“ 没有”，如教室里有 0 个人，就是说教室里没有人； 0是正数和负数的分界线， 0既不是正数，也不是负数 。 有理数 1.有理数的概念 正整数、 0、负整数统称为整数（ 0 和正整数统称为自然数 ） 正分数 和负分数统称为分数 正整数， 0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解 ：只有能化

3、成分数的数才是有理数。是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意 ： 引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像 -2,-4,-6,-8也是偶数， -1,-3,-5也是奇数。 2.有理数的分类 按有理数的意义分类 按正、负来分 一对一个性辅导 2 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 （ 0 不能忽视 ） 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 总结： 正整数、 0统称为非负整数（也叫自然数） 负整数、 0统称为非正整数 正有理数、 0 统称为非负有理数 负有理数、 0 统称为非正有理数 数轴

4、 数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意 ：数轴是一条向两端无限延伸的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示， 0 用原点表示。 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但 数轴上的点不都表示有理数 ，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（ 如，数轴上的点不是有理数 ） 3.利用数轴表示两数大小 在数轴上数的大小比较，右边的 数总比左边的数大； 正数都

5、大于 0，负数都小于 0，正数大于负数； 两个负数比较， 距离原点远的数比距离原点近的数小 。 4.数轴上特殊的最大（小）数 最小的自然数是 0，无最大的自然数； 最小的正整数是 1，无最大的正整数； 最大的负整数是 -1，无最小的负整数 一对一个性辅导 3 5.a 可以表示什么数 a0 表示 a是正数；反之， a是正数，则 a0； a0 时， -a0（ 负数的相反数是正数 ） 当 a=0 时， -a=0，（ 0 的相反数是 0） 考试常考：已知 a,b 互为相反数，立马要想到 a+b=0. 6.多重符号的化简 多重符号的化简规律 :“ +”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“ -”号的

6、个数决定最后化简结果；即： “ -”的个数是奇数时，结果为负，“ -”的个数是偶数时，结果为正 。 练习 1. )213( )514( )5( )2( 绝对值 绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的 距离 叫做 a的绝对值，记作 |a|。 2.绝对值的代数定义 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是 0. 可用字母表示为： 如果 a0，那么 |a|=a； 如果 a |a|=a （ 非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。 ） a 0， |a|=-a （ 非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。 ） 3.绝对值的

7、性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有 非负性 。所以， a 取任何有理数，都有 |a| 0。即 ： 0的绝对值是 0；绝对值是 0的数是 0.即： a=0 |a|=0； 一个数的绝对值是非负数， 绝对值最小的数是 0.即： |a| 0； 任何数的绝 对值都不小于原数。即： |a| a； 绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若 |x|=a（ a0），则 x= a； 互为相反数的两数的绝对值相等。即： |-a|=|a|或若 a+b=0，则 |a|=|b|； 绝对值相等的两数相等或互为相反数。即： |a|=|b|，则 a=b 或 a=-b； 若几个数的绝对值的和等于

8、 0，则这几个数就同时为 0。即 |a|+|b|=0，则 a=0 且 b=0。 （ 非负数的常用性质：若几个非负数的和为 0，则有且只有这几个非负数同时为 0） 一对一个性辅导 5 4.有理数大小的比较 利用数轴比较两个数的大小：数 轴上的两个数相比较， 左边的总比右边的小 ； 利用绝对值比较两个负数的大小： 两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。 5.绝对值的化简 当 a 0 时， |a|=a ； 当 a 0 时， |a|=-a 6.已知一个数的绝对值，求这个数 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个

9、，它们互为相反数，绝对值为 0的数是 0， 没有绝对值为负数的数 。 例 1.已知 a =5, b =8,且 a+b = -(a+b),试求 a+b 的值。 练 习 2.已知 a =5, b =8,且 ab = -ab,试求 a+b 的值。 有理数的加减法 1.有理数的 加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 互为相反数的两数相加，和为零； 一个数与零相加，仍得这个数。 2.有理数加法的运算律 加法交换律： a+b=b+a 加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时，一定

10、要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： 互为相反数 的两个数先相加 “ 相反数结合法 ”； 符号相同的两个数先相加 “ 同号结合法 ”； 分母相同的数先相加 “ 同分母结合法 ”； 一对一个性辅导 6 几个数相加得到整数，先相加 “ 凑整法 ”； 整数与整数、小数与小数相加 “ 同形结合法 ”。 3.加法性质 一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加 0后的和等于原数 。即： 当 b0 时， a+ba 当 b0 时， a+ba 当 b=0 时， a+b=a 4.有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为： a-b=a+(-b)。 5.有理数加减

11、法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如： (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法：按这个式子表示的意义读作“负 8、负 7、负 6、正 5的和” 按运算意义读作“负 8减 7 减 6 加 5” 6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧： .把符号相同的加数相结合（同号结合法） (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 原式 =-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减

12、法转换成加法） =-33+18-15-1+23 （省略加号和括号） =(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合） =-49+41 （运用加法法则一进行运算） =-8 （运用加法法则二进行运算） .把和为整数的加数相结合 （凑整法） (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 原式 =(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法） =6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号） =(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合） =4-10+3.8 （运用加法法则

13、进行运算） =7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算） =-2.2 （得出结论） .把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法） 一对一个性辅导 7 -53 -21 +43 -52 +21 -87 原式 =(-53 -52 )+(-21 +21 )+(+43 -87 ) =-1+0-81 =-181 .既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合） (+0.125)-(-343 )+(-381 )-(-1032 )-(+1.25) 原式 =(+81 )+(+343 )+(-381 )+(+1032 )+(-141 ) =81 +343 -381 +1032 -141 =(

14、343 -141 )+(81 -381 )+1032 =221 -3+1032 =-3+13 =1061 .把带分数拆分后再结合（先拆分后结合） -351 +10116 -12221 +4157 原式 =(-3+10-12+4)+(-51 +157 )+(116 -221 ) =-1+154 +2211 =-1+308 +3015 = -307 .分组结合 2-3-4+5+6-7-8+9 +66-67-68+69 原式 =(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+ +(66-67-68+69) =0 .先拆项后结合 （ 1+3+5+7 +99） -（ 2+4+6+8 +100） 一对一个性辅导

15、8 有理数的乘除法 1.有理数的乘法法则 法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三） 法则二：任何数同 0相乘，都得 0； 法则三：几个不是 0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因 数的个数是奇数时，积是负数； 法则四：几个数相乘，如果其中有因数为 0,则积等于 0. 2.倒数 乘积是 1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为 a a1 =1（ a0），就是说 a 和 a1 互为倒数，即 a是 a1 的倒数， a1 是 a 的倒数 。 注意 ： 0 没有倒数； 求假分

16、数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）； 倒数等于它本身的数是 1或 -1,不包括 0。 考试经常考：已知 a,b 互为倒数，立马要想到 ab=1. 例 2.已知 a， b互为相反数， c， d互为倒数， x 的绝对值为 5试求下式的值： 199919982 )()()( cdbacdbax 3.有理数的乘法运算律 乘法交换律： 一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 即 ab=ba 乘法结合律 ：三个数相乘，先把

17、前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc). 乘法分配律 ：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即 a(b+c)=ab+ac 4.有理数的除法法则 一对一个性辅导 9 （ 1）除以一个不等 0 的数，等于乘以这个数的倒数。 （ 2）两数相除，同号得正，异号得负，并 把绝对值相除。 0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0 5.有理数的乘除混合运算 （ 1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 （ 2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照先乘除，后加减的顺序进行。 练习 3.快

18、速计算 （ 1) 61533 -减法没有结合律 ! （ 2） )41()52()3( -除法没有结合律 ! （ 3） )4(860 -除法没有分配律 ! （ 4） )31()2(6 -同一级运算时一定要从左向右 ! 有理数的乘方 1.乘方的概念 一对一个性辅导 10 求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 na 中， a 叫做底数， n 叫做指数。 2.乘方的性质 （ 1）负数的奇次 幂是负数，负数的偶次幂的正数。 （ 2）正数的任何次幂都是正数， 0 的任何正整数次幂都是 0。 练习 4： 计算： 2)2( 23 2)32( 22 32 322 2008)1( 练习 5

19、 n 为正整数时， n)1( + 1)1( n 的值是（ ） A 2 B -2 C 0 D不能确定 练习 6： 1.计算： 81441 22 2.已知 042 2 yx ，求 yx 的值。 练习 7： 观察下列算式发现规律： 771 ， 4972 ， 34373 ， 24017 4 ， 1680775 ，11764976 ，用你所发现的规律写出： 20117 的末位数字是 _。 练习 8： 某校初一年级共有 8 个班，以每班 65 人为标准，超过的人数记为正数，不足的人数记为负数，统计情况记录如下： -1， -6， +2， -3， +4， 0， -7， +3，求该校初一年级总人数。 有理数的混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行；