2017年全国二卷数学试卷理科全国新课标.doc

1、 第 1 页（共 58 页） 2017 年重庆市高考数学试卷（理科）（全国新课标 ） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1（ 5 分） =（ ） A 1+2i B 1 2i C 2+i D 2 i 2（ 5 分）设集合 A=1， 2， 4， B=x|x2 4x+m=0若 A B=1，则 B=（ ） A 1， 3 B 1， 0 C 1， 3 D 1， 5 3（ 5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一 ，请问尖头几盏灯？ ”意思是：一座 7 层塔共挂了 381

2、 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ） A 1 盏 B 3 盏 C 5 盏 D 9 盏 4（ 5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A 90 B 63 C 42 D 36 5（ 5 分）设 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是（ ） 第 2 页（共 58 页） A 15 B 9 C 1 D 9 6（ 5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作 ，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ） A 12 种

3、B 18 种 C 24 种 D 36 种 7（ 5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ） A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩 8（ 5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a= 1，则 输出的 S=（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 9（ 5 分）若双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的一条渐近线被圆（ x 2） 2+y2=4第 3 页（共

4、 58 页） 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（ ） A 2 B C D 10（ 5 分）已知直三棱柱 ABC A1B1C1 中， ABC=120， AB=2， BC=CC1=1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为（ ） A B C D 11（ 5 分）若 x= 2 是函数 f（ x） =（ x2+ax 1） ex 1 的极值点，则 f（ x）的极小值为（ ） A 1 B 2e 3 C 5e 3 D 1 12（ 5 分）已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 （ + ）的最小值是（ ） A 2 B C D 1 二、填空题：本题共 4 小题

5、，每小题 5 分，共 20 分。 13（ 5 分）一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次 X 表示抽到的二等品件数，则 DX= 14（ 5 分）函数 f（ x） =sin2x+ cosx （ x 0， ）的最大值是 15（ 5 分）等差数列 an的 前 n 项和为 Sn， a3=3， S4=10，则 = 16（ 5 分）已知 F 是抛物线 C： y2=8x 的焦点， M 是 C 上一点， FM的延长线交 y轴于点 N若 M 为 FN 的中点，则 |FN|= 三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 21题为必考题，每个

6、试题考生都必须作答第 22、 23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分。 17（ 12 分） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 sin（ A+C） =8sin2 （ 1）求 cosB； （ 2）若 a+c=6， ABC 的面积为 2，求 b 第 4 页（共 58 页） 18（ 12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位： kg），其频率分布直方图如图： （ 1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件 “旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不

7、低于 50kg”，估计 A 的概率； （ 2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量 50kg 箱产量 50kg 旧养殖法 新养殖法 （ 3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01） 附： P（ K2 k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2= 19（ 12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD， AB=BC= AD， BAD= ABC=90， E 是 PD 的中点 （ 1） 证明：直线 CE 平面 PAB； （

8、2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，求二面角 MAB D 的余弦值 第 5 页（共 58 页） 20（ 12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： +y2=1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 = （ 1）求点 P 的轨迹方程； （ 2）设点 Q 在直线 x= 3 上，且 =1证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l过 C 的左焦点 F 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =ax2 ax xlnx，且 f（ x） 0 （ 1）求 a； （ 2）证明： f（ x）存在唯一的极大值点 x0，且 e 2 f（ x0） 2

9、2 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 选修 4-4：坐标系与参数方程 （ 10 分） 22（ 10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos=4 （ 1） M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 |OM|OP|=16，求点P 的轨迹 C2 的直角坐标方程； （ 2）设点 A 的极坐标为（ 2， ），点 B 在曲线 C2 上，求 OAB 面积的最大值 选修 4-5：不等式选讲 （ 10 分） 23已知 a 0， b 0， a3

10、+b3=2证明： （ 1）（ a+b）（ a5+b5） 4； （ 2） a+b 2 第 6 页（共 58 页） 2017 年重庆市高考数学试卷（理科）（全国新课标 ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1（ 5 分） =（ ） A 1+2i B 1 2i C 2+i D 2 i 【分析】 分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位 i 的幂运算性质，求出结果 【解答】 解： = = =2 i， 故选 D 【点评】 本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，两个复数相除

11、，分子和分母同时乘以分母的共轭复数 2（ 5 分）设集合 A=1， 2， 4， B=x|x2 4x+m=0若 A B=1，则 B=（ ） A 1， 3 B 1， 0 C 1， 3 D 1， 5 【分析】 由交集的定义可得 1 A 且 1 B，代入二次方程，求得 m，再解二次方程可得集合 B 【解答】 解：集合 A=1， 2， 4， B=x|x2 4x+m=0 若 A B=1，则 1 A 且 1 B， 可得 1 4+m=0，解得 m=3， 即有 B=x|x2 4x+3=0=1， 3 故选： C 【点评】 本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基

12、础题 3（ 5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题： “远望巍巍塔七层，第 7 页（共 58 页） 红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ） A 1 盏 B 3 盏 C 5 盏 D 9 盏 【分析】 设这个塔顶层有 a 盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔 顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前 n 项公式列出方程，求出 a的值 【解答】 解：设这个塔顶层有 a 盏灯， 宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍， 从塔顶层依次向下每层灯

13、数是以 2 为公比、 a 为首项的等比数列， 又总共有灯 381 盏， 381= =127a，解得 a=3， 则这个塔顶层有 3 盏灯， 故选 B 【点评】 本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前 n 项和公式的实际应用，属于基础题 4（ 5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平 面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） 第 8 页（共 58 页） A 90 B 63 C 42 D 36 【分析】 由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半，即可求出几何体的体积 【解答】 解：由三视图可得，直观图为一个完

14、整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半， V=32 10 32 6=63， 故选： B 【点评】 本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 5（ 5 分）设 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是（ ） A 15 B 9 C 1 D 9 【分析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可 【解答】 解： x、 y 满足约束条件 的可行域如图： z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值， 由 解得 A（ 6， 3）， 则 z=2x+y 的最小值是： 15 故选： A 第 9 页（共 58 页） 【点评】 本题考查线性规划

15、的简单应用，考查数形结合以及计算能力 6（ 5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ） A 12 种 B 18 种 C 24 种 D 36 种 【分析】 把工作分成 3 组，然后安排工作方式即可 【解答】 解： 4 项工作分成 3 组，可得： =6， 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 可得： 6 =36 种 故选： D 【点评】 本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力 7（ 5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师

16、说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ） A乙 可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩 【分析】 根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案 【解答】 解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩 乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知第 10 页（共 58 页） 道自己的成绩） 乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩， 给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙 丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了 故选： D 【点评】 本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题 8（ 5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a= 1，则输出的 S=（ ） A 2 B 3 C 4 D 5