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1、物理光学作业参考答案 -光的 衍射 部分 赵琦 2007-8-1 第 1 页 共 12 页 物理光学作业参考答案 13-4 波长 nm3.563 的平行光垂直射向直径 mmD 6.2 的圆孔，与圆孔相距0 1rm 处放一屏幕，问 ： (1)屏幕上正对圆孔中心的 0P 点是亮点还是暗点 ?(2)要使0P 点变成和 (1)相反的情况，至少要把屏幕向前 或 向后移动多少距离 ? 解：（ 1）圆孔对 P 点暴露出的菲涅尔半波带数为： 2 3270 (1 .3 1 0 ) 35 .6 3 3 1 0 1NN r ， 所以， P 点是亮点。 （ 2）使 P 点变为暗点，则圆孔对 P 点暴露出的菲涅尔半波带

2、数应为偶数，即为 2 或 4： N=2 时， 3232 3 1 1 .52Nr r mN 即屏幕至少向后移 0.5m N=4 时， 3434 3 1 0 .7 54Nr r mN 即屏幕至少向前移 0.25m 13-5单位振幅的单色平面波垂直照明半径为 1 的圆孔，试利用（ 13-11）式证明，圆孔后通过圆孔中心光轴 上的点的光强分布为： zI 2sin4 2 式中， z 是考察点到圆孔中心的距离。 证明： 根据菲涅尔衍射公式，圆孔后通过圆孔中心光轴上的点的光场复振幅为： zieezkieeeeeeeerzkideikzziedrrezieddrreziedydxeziezEzkiik zzk

3、iik zzkizkizkiik zzkiik zrzkiik zrzkiik zrzkiik zyxzkiik z2s i n24s i n2)()1()2(221)(44444221102110121120101211)(22121212121 所以，圆孔后通过圆孔中心光轴上的点的光场强度为： zzEzEI 2s in4)()( 2* 物理光学作业参考答案 -光的 衍射 部分 赵琦 2007-8-1 第 2 页 共 12 页 13-8 波长 nm500 的单色光垂直入射到边长 3cm 的方孔，在光轴（ 它通过孔中心并垂直孔平面）附近离孔 z 处观察衍射，试求出夫琅和费衍射区的大致范围。 解

4、：夫琅和费衍射条件为： zyxk 2 )( m ax2121 即： mnmyxz 9 0 0109.05 0 0 )1015()1015()( 122626m a x2121 13-10平行光斜入射到单缝上，证明：（ 1）单缝夫琅和费衍射强度公式为 20)s in( s in)s in( s ins in iaiaII式中， 0I 是中央亮纹中心强度； a 是缝宽； 是衍射角， i 是入射角（见图）。 证明： （ 1） 建立如图所示坐标系，则 入射光的波矢： )co s,0,(sin iikk 缝上任意点 Q 的位矢： )0,( 11 yxr 单逢上光场的复振幅为： 1s i n1 )( xi

5、ikrki AeAexE 因此，观察面上的夫琅和费衍射场为： （其中： sin1 zx ） )s i n( s i n)s i n( s i ns i n )(1)()2(1122)s i n( s i n)2(11s i n22s i n)2(11221)2(11211211112111121iaiaaezAdxeeziAdxeeeziAdxexEezixEzxzikaaxiikzxzikxikaaxiikzxzikxzxikaazxzik所以，观察面上的光强分布为： 20* )s in( s in)s in( s ins in )()(iaiaIxExEI 式中： 210 )( azAI

6、i Q P X X 1 物理光学作业参考答案 -光的 衍射 部分 赵琦 2007-8-1 第 3 页 共 12 页 （ 2）第一暗点位置： )s in(s in ia ai sinsin aii 2s in2c o s2 iai c o s 13-11在不透明细丝的 夫琅和费衍射 图样中，测得暗条纹的间距为 1.5mm，所用透镜的焦距为 30mm，光波波长为 632.8nm。问细丝直径是多少？ 解： 根据互补屏衍射原理，不透明细丝的 夫琅和费衍射 图样与相同宽度单缝的 夫琅和费衍射 图样除中心点之外是相同的， 而 衍射 图样中暗条纹的间距等于中央亮纹宽度的一半，因此，有： mmmmfxafaf

7、x013.0102 6 5 6.1305.1 108.632 26即细丝直径是 0.013mm. 13-13导出外径和内 径分别 为 a 和 b 的圆环（见图）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当b=a/2 时，（ 1）圆环衍射与半径为 a 的圆孔衍射图样的中心强度之比；（ 2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。（注： 144.31 Z ） 解： 半径为 a 的圆孔在衍射场 P 点产生的振幅为： ka kaJcaka kaJEEa )(2)(2 1210 其中 c 为比例系数，因为场中心振幅 0E 正比于圆孔的面积 2a 。圆孔中的圆屏使 P 点的振幅减小： kbkbJcbEb )(2 12因此，圆

8、环在 P 点产生的振幅为： )()(2 1212 kb kbJbka kaJacEEEbah 圆环在 P 点产生的强度为： 物理光学作业参考答案 -光的 衍射 部分 赵琦 2007-8-1 第 4 页 共 12 页 22111122222142111422 )()(2)()(4 Z ZJZ ZJbaZ ZJbZ ZJacEI hh 式中， kbZkaZ 21 , 。对于衍射场中心， 021 ZZ ，相应的强度为： 2222224420 )(2444)( bacbabacI h 当 b=a/2 时， （ 1） 4222220 1692)( acaacIh 所以，圆环衍射与半径为 a 的圆孔衍射图

9、样的中心强度之比： 169169424200 acacIIah （ 2） 圆环衍射强度的第一个零值满足 : 0)()( 1212 kb kbJbka kaJa 即 )21(2)()(111 kaJakbbJkaaJ 利用贝塞耳函数表解上方程，得到： 144.31 kaZ 因此，圆环衍射强度的第一个零点的角半径为： aa 51.02144.3 13-14 不透明屏幕上有一孔径 ，用一个向 P 点会聚的球面波照明， P 点位于孔径后面与孔径相距 z 的平行平面上，如图所示。 (1)求出孔径平面上入射球面波的傍轴近似，设 P 点分别位于 Z 轴上和轴外 (0， y1)点两种情形。 (2)假设孔径面到

10、观察面之间为菲涅耳衍射区，证明在上述两种情形下，观察到的强度分布是孔径 的夫琅和费衍射，且分布中心在 P 点。 物理光学作业参考答案 -光的 衍射 部分 赵琦 2007-8-1 第 5 页 共 12 页 解： （ 1）孔径 平面上任意考察点 (0,y0,z) 处光场的复振幅分布为： ikrikr ezAerAyE )( 0 k 为波数。对相位因子中的 r 取傍轴近似： 2 )(1)(22012201 z yyzzyyr 则复振幅分布： )(2e x p )( 2010 yyzkiezAyE ik z 当 P 点位于 z 轴上时， 01y ，则有： )2e x p ()( 200 yzkiezA

11、yE ik z （ 2）入射球面波被孔径 衍射后，在观察面上复振幅分布为： 0)()(220)(2)(2020001212202011)(2e x p )(1)(dyeeziAdyeeezAezidyyyzikyEeziyEyyyzkiyyzkiyyzkiyyzkiik zik zik z此 结果表明，观察面上复振幅分布 )(yE 就是平行光垂直照射孔径 的夫琅和费衍射场分布，只不过分布的中心在 (0,y1)点处，即 P 点处。 当 P 点位于 z 轴上时， 01y ， 此时只是上述情况的特例 ： 0220)(2202000220201)(2e x p )(1)(dyeeziAdyeeezAe

12、zidyyyzikyEeziyEyyzkiyzkiyyzkiyzkiik zik zik z13-18 一台显微镜的数值孔径为 0.85，问 (1)它用于波长为 400nm 时的最小分辨距离是多少 ?(2)若利用油浸物 镜使数值孔径增大到 1.45，分辨率提高了多少倍 ?(3)显微镜的放大率应设计成多大 ?(设人眼的最小分辨角为 1 )。 解： （ 1） 显微镜的分辨率为： nmNA 2 8 785.0 4 0 061.061.0 物理光学作业参考答案 -光的 衍射 部分 赵琦 2007-8-1 第 6 页 共 12 页 （ 2） 数值孔径增大后显微镜的分辨率为： nmNA 16845.1 4

13、0061.061.0 所以，分辨率提高了： 7.1168287 倍 （ 3） 人眼的明视距离为 250mm，所以人眼的最小分辨距离为： nm7270018060110250 60 所以显微镜的放大率应设计成： 430168727000 倍 13-21 光栅的宽度为 l0cm，每毫米内有 500 条缝，光栅后面放置的透镜焦距为 500mm。问 (1)它产生的波长 632.8nm 的单色光的 1 级和 2 级谱线的半宽度是多少 ?(2)若入射光是波长为 632.8nm 和波长之相差 0.5nm 的两种单色光，它们的 1 级和 2 级谱线之间的距离是多少 ? 解： （ 1） 光栅常数 mmd 210

14、2.05001 光栅总缝数 42 105102.0 1 0 0 dwN光栅的角半宽度：mm wNd c o sc o s 光栅产生的 m 级谱线的峰值强度位置由光栅方程确定： md m sin 所以， 波长 632.8nm 的单色光的 1 级和 2 级谱线的方向： 4 3 3.18102.0 108.6 3 2s ins in 26111 d2.39102.0 108.6322s i n2s i n 26112 d因此，波长 632.8nm 的单色光的 1 级和 2 级谱线的半宽度是 ： mmfx 36161 1034.35 0 01067.65 0 0c o s1 0 0 108.6 3 2

15、 mmfx 36262 1009.45 0 01017.85 0 0c o s1 0 0 108.6 3 2 （ 2） 光栅的线色散为： fd mddl m cos波长 632.8nm 的单色光的 1 级和 2 级谱线相应的线色散为： 物理光学作业参考答案 -光的 衍射 部分 赵琦 2007-8-1 第 7 页 共 12 页 nmmmnm mmd mfddlnmmmnm mmd mfddl/64.02.39c o s10102.0 5002c o s/26.0433.18c o s10102.0 5001c o s62226211 而波长差 nm5.0 的两种单色光的 1 级和 2 级谱线之间

16、的距离为： mmddllmmddll32.05.064.013.05.026.0221113-22设计一块光栅，要求 (1)使波长 =600nm 的第 2 级谱线的衍射角 30 ， (2)色散尽可能大， (3)第 3 级谱线缺级， (4)在波长 =600nm 的 2 级谱线处能分辨 0.02nm 的波长差。在 选定光栅的参数后，问在透镜的 焦面上只可能 看到波长 600nm 的几条谱线 ? 解： 为达到条件（ 1），光栅必须满足： mmmmmd 36 104.230s in 106 0 02s in 根据条件（ 2），应选择 d 尽可能小，故 mmd 3104.2 根据条件（ 3），光栅缝宽

17、a 应为： mmda 3108.03 再根据条件（ 4），光栅的缝数 N 至少应有： 1 5 0 0 002.02 6 0 0 mN 所以，光栅的总宽度 W 至少为： mmmmNdW 36104.21 5 0 0 0 3 光栅产生的谱线应在 90 的范围内，当 90 时： 4106 0 0 104.2s in63 mmmmdm 第 4 级谱线对应于 90 方向，实际上不可能看到，此外第 3 级缺级，所以，只能看见 2,1,0 共 5 条谱线。 13-25有一多缝衍射屏如图所示，缝数为 N2 ，缝宽为 a ，缝间不透明部分的宽物理光学作业参考答案 -光的 衍射 部分 赵琦 2007-8-1 第

18、8 页 共 12 页 度依次为 a 和 a3 。求正入射情况下，这一衍射屏的 夫琅和费衍射 强度分布公式。 解： 方法一：把每两条缝宽为 a，间隔 ad 2 的双缝看作一个衍射单元，整个衍射屏由间距 ad 6 的 N 个这样的衍射单元组成。则单元衍射因子为 : 2s ins ins in)(01 EE 其中： sina 4s in22s in2 ad 所以， 2c o ss in22s in 4s ins in)(001 EEEN 个衍射单元的干涉因子为： 2sin2sin)(2 NE 其中： 12s in62s in2 ad 所以， 6sin6sin)(2 NE 最终，得到整个衍射屏产生的夫

19、琅和费衍射场的复振幅为： 6s in 6s in2c o ss in2)()()(021 NEEEE 故，整个衍射屏产生的夫琅和费衍射场的强度分布为： 220* 6s i n 6s i n2c o ss i n4)()( NIEEI其中， 000 EEI 为单缝衍射零级主强度。 方法二：分别把 N 条奇数缝与 N 条偶数缝看作二个相同的衍射单元。于是，整个衍射屏就只是由间距 ad 2 的两个衍射单元组成。而衍射 单元 因子为 间隔ad 6 的 N 条 缝的夫琅和费衍射 : 物理光学作业参考答案 -光的 衍射 部分 赵琦 2007-8-1 第 9 页 共 12 页 )1(6e x p 6s in

20、6s ins in2)1(e x p 2s in2s ins in)(001NiNENiNEE式中： sina 12s in62s in2 ad 元间干涉因子为 ; 2cos2)(2 E 所以，得到整个衍射屏产生的夫琅和费衍射场的复振幅为： 2c o s6s in 6s ins in2)()()(021 NEEEE故，整个衍射屏产生的夫琅和费衍射场的强度分布为： 2c o s6s i n 6s i ns i n4)()( 2220* NIEEI其中， 000 EEI 为单缝衍射零级主强度。 13-26一块闪耀光栅宽 260mm， 每毫米有 300 个刻槽， 闪耀角为 7712 ， （ 1） 求

21、：在利特罗自准直系统（光束垂直于槽面入射）中，对 于 波长 500nm 的光的分辨本领；（ 2） 光栅的 自由光谱范围 有多大？（ 3）试同空气间隔为 1cm、精细度为 25 的法布里 珀罗标准具的 分辨本领 和自由光谱范围作一比较。 解：（ 1）由题设条件，知 光栅 常数： 1300d mm 光栅周期数： 260 2 6 0 3 0 0 7 8 0 0 0N d 由闪耀方程： 2 sindm 得： 612 sin 7 7 .22 sin 300135 0 0 1 0dm 所以，分辨本领： 61 3 7 8 0 0 0 1 . 0 1 4 1 0A m N 物理光学作业参考答案 -光的 衍射

22、部分 赵琦 2007-8-1 第 10 页 共 12 页 （ 2）光栅的 自由光谱范围 ： 500 3 8 .4 613 nmm （ 3）对于 F-P 标准具： 分辨本领： 562 2 1 00 . 9 7 0 . 9 7 0 . 9 7 2 5 9 . 7 1 05 0 0 1 0hA m S S 自由光谱范围 ： 22 27500( ) 1 . 2 5 1 02 2 1 0SR nmh 因此， F-P 标准具的 分 辨本领与光栅差不多 ， 但 其 自由光谱范围比光栅小得多 。 13-29 在宽度为 b 的狭缝上放一折射率为 n、折射棱角为 的小光楔，由平面单色波垂直照射，求夫琅和费衍射图样

23、的光强分布以及中央零级极大和极小的方向。 zx1x解 : (1)先求衍射屏的透射系数 衍射屏的透射系数表示了 光楔的相位变换作用 : 忽略棱镜表面对光的反射，把棱镜近似看成相位型衍射屏。 111)1(11)1(2)1()1(2)1(1111111),(),()1(2)1()2)(1()2)(1()2()2(xnikxnikbnikxnkbnkiieyxteeeeyxtxnkbnkxbnkxbnxbxbn简写成：射屏的振幅透射系数可忽略常数相位因子，衍数）：数（即衍射屏的透射系所以棱镜的相位变换函播所附加的相位差：如此经过棱镜比自由传差：中自由传播时的光程相光经过棱镜比光在真空所以，衍射屏上的光场分布为： 其它20)( 1)1(11 bxAexExnik