宜宾一中2016级高三上期第数学十九周教学设计.DOC

1、宜宾市一中 2016 级高三上期第数学十九周教学设计 编辑 ：肖昌龙 审核 ；冯 平 8 6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算 考点梳理 1 空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间 ， 我们把具有 _和 _的量叫做空间向量 (2)零向量：规定 _的向量叫做零向量 (3)单位向量： _的向量称为单位向量 (4)相反向量：与向量 a_的向量 ， 称为 a 的相反向量 ， 记为 a. (5)相等向量： _的向量称为相等向量 (6)空间向量的加法运算满足交换律及结合律： a b _； (a b) c _ 2 空间向量的数乘运算 (1)向量的数乘：实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然 是一个向量

2、，称为向量的数乘 当 _0 时 ， a 与向量 a 方向相同； 当 _0 时 ， a 与向量 a 方向相反 a 的长度是向量 a 的长度的 _倍 (2)空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： 分配律： (a b) _ 结合律： (a) _ (3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线 _， 则这些向量叫做共线向量或平行向量 (4)共线向量定理：对空间任意两个向量 a， b( )b 0 ， a b 的充要条件是 _ (5)空间直线 l 的方向向量：和直线 l_的非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量 (6)空间直线的向量表示： l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线 ，

3、对空间任意一点 O， 点 P 在直线 l 上的充要条件是 _， 特别地 ， 如果 a AB ， 则上式可以化为 OP OA tAB ， 或_， 这也是空间三点 A， B， P 共线的充要条件 (7)共面向量： _的向量叫做共面向量 (8)空间共面向量定理：如果两个向量 a， b 不共线 ， 那么向量 p 与向量 a， b 共面的充要条件是_ 推论：对空间任 意一点 O 和不共线的三点 A， B， C， 满足向量关系式 _， 其中_， 则点 P 与点 A， B， C 共面 3 空间向量的数量积运算 (1)空间向量的数量积：已知两个非零向量 a， b， 则 _叫做 a， b 的数量积 ， 记作 a

4、b， 通常规定 ， 0 a， b .对于两个非零向量 a， b， a b _ (2)空间零向量与任何向量的数量积为 _ (3)aa | |a | |a cos a， a _ (4)空间向量的数量积满足如下的运算律： ( )a b _； ab _(交换律 )； a( )b c _(分配 律 ) 自查自纠 1 (1)大小 方向 (2)长度为 0 (3)模为 1 (4)长度相等而方向相反 (5)方向相同且模相等 (6)b a a (b c) 2 (1) | | (2) a b ( ) a (3)互相平行或重合 (4)存在实数 ， 使 a b (5)平行 (6)存在实数 t， 使 OP OA ta O

5、P ( )1 t OA tOB (7)平行于同一个平面 (8)存在惟一的有序实数对 (x， y)， 使 p xa yb OP xOA yOB zOC x y z 1 3 (1)| |a | |b cos a， b ab 0 (2)0 (3)| |a 2 (4) ( )ab ba ab ac 基础自测 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中 ， BA BC DD1 ( ) A.D1B1 B. D1B C.DB1 D.BD1 解： BA BC DD1 CD BC DD1 BD DD1 BD1 ， 故选 D. 平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中 ， M 为 AC和 BD 的交点 ， 若 A

6、B a， AD b， AA1 c，则下列式子中与 B1M相等的是 ( ) A 12a 12b c B 12a 12b c C 12a 12b c D 12a 12b c 解： B1M B1B BM c 12BD c 12(b a) 12a 12b c， 故选 C. 如图所示 ， 已知空间四边形 OABC， OB OC， 且 AOB AOC 3，则 cos OA ， BC 的值为 ( ) A 0 B. 12 C. 32 D. 22 解： 设 OA a， OB b， OC c， 由已知条件 a， b a， c 3， 且 |b| |c|， OA BC a( c b) ac ab 12|a|c| 12

7、|a|b| 0， 所以 cos OA ， BC 0.故选 A. 已知空间四边形 OABC， 点 M， N 分别是 OA， BC 的中点 ， 且 OA a， OB b， OC c， 用 a， b， c 表示向量 MN _. 解： 如图所示 ， MN 12(MB MC ) 12(OB OM ) (OC OM ) 12(OB OC 2OM ) 12(OB OC OA ) 12(b c a) 故填 12(b c a) (2017 鞍山市育英中学月考 )已知在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 ， 侧面 CC1D1D 的中心是 F， 若 AF AD mAB nAA1 ， 则 m _， n _. 解：

8、 因为 AF AD DF AD 12(DC DD1 ) AD 12(AB AA1 ) AD 12AB 12AA1 ， 所以 m n 12.故填 12； 12. 类型一 空间向量的运算 (2017 枣阳市鹿头中学月考 )如图所示 ， 在空间几何体 ABCD A1B1C1D1 中 ， 各面为平行四边形 ， 设 AA1 a， AB b， AD c， M， N， P 分别是 AA1， BC， C1D1 的中 点，试用 a， b， c 表示以下各向量： (1)AP ； (2)MP NC1 . 解： (1)因为 P 是 C1D1 的中点 ， 所以 AP AA1 A1D1 D1P a AD 12D1C1 a

9、 c 12AB a c 12b. (2)因为 M 是 AA1 的中点 ， 所以 MP MA AP 12A1A AP 12a a c 12b 12a 12b c. 又 NC1 NC CC1 12BC AA1 12AD AA1 12c a， 所以 MP NC1 12a 12b c a 12c 32a 12b 32c. 【点拨】 把平面向量的运算推广到空间后 ， 许多基本的运算规则没有变 ， 在解题过程中 ， 要明确目标 ， 把所求向量向三个基底向量转化 ， 并注意向量拆分和重组的技巧若表示的向量涉及线段的中点 ， 可利用平行四边形法则来表示此向量 ， 也可利用包含要表示的向量的封闭图形 ， 根据封

10、闭图形各边依次构成的向量之和为零向量得到相关式子；求空间若干向量之和时 ， 可通过平移 ， 将它们转化为首尾相接的向量 如图 ， 平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中 ， AB a， AD b， AA1 c， E 为 A1D1 的中点 ， F 为 BC1与B1C 的交点 (1)用基底 a， b， c表 示下列向量： DB1 ， BE ， AF ； (2)在图中画出 DD1 DB CD 化简后的向量 解： (1)DB1 DC CB1 DC BB1 BC a b c， BE BA AA1 A1E a 12b c， AF AB BF a 12(b c) a 12b 12c. (2)DD1 DB

11、CD DD1 (CD DB ) DD1 CB DD1 D1A1 DA1 . 连接 DA1， 则 DA1 即为所求 类型二 空间向量共线与共面问题 (1)如图 ， 在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中 ， G 为 BC1D 的重心 试证 A1， G， C 三点共线； 试证 A1C 平面 BC1D； 求点 C 到平面 BC1D 的距离 解： 证明：由于正方体 ABCD A1B1C1D1 是平行六面体 ， 所以 CA1 CA AA1 CB CD CC1 . 又因为点 G 为 BC1D 的重心 ， 所以 CG 13( )CB CD CC1 13CA1 . 故 CG CA1 ， 即 A

12、1， G， C 三点共线 证明：设 CB b， CD c， CC1 d， 则 | |b | |c | |d ， 且 bc bd cd 0. 因为 CA1 CB CD CC1 b c d， BC1 BC CC1 d b， 所以 CA1 BC1 (b c d)(d b) a2 a2 0. 所以 CA1 BC1 ， 即 CA1 BC1. 同理可证 CA1 BD. 又 BC1 BD B， 所以 CA1 面 BC1D. 由上面的证明知点 C 到平面 BC1D 的距离为 CG. 因为 CA1 b c d， 所以 | |CA1 3a. 所以 | |CG 13| |CA1 33 a. (2)正方体 ABCD

13、A1B1C1D1 中 ， E， F 分别为 BB1 和 A1D1 的中点求证：向量 A1B ， B1C ， EF 是共 面向量 证明： 因为 EF EB BA1 A1F 12B1B A1B 12A1D1 12(B1B BC ) A1B 12B1C A1B ， 所以向量 A1B ， B1C ， EF 是共面向量 【点拨】 (1)利用平行向量的充要条件 可解决三点共线和线线平行等问题 ，要注意空间向量基底的选取，同时要重视空间向量基本定理的使用，用基底表示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程 通过向量的数量积运算 ， 可证明垂直问题 ， 亦可计算直线与平面所成角、异面直线

14、所成角以及距离等问题 (2)要证向量 A1B ， B1C ， EF 是共面向量 ， 只需证得 EF A1B B1C ， 解题的关键是寻找有序实数对 (， )满足上述关系式 (1)(2017 沈阳市外国语学校月考 )在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中 ， 向量 AB1 ， AD1 ， BD 是 ( ) A 有相同起点的向量 B等长的向量 C 共面向量 D不共面向量 解： 因为 AD1 AB1 B1D1 BD ， 所以 AB1 ， AD1 ， BD 共 面 故选 C. (2)(2017 大连市旅顺中学月考 )设空间四点 O， A， B， P 满足 OP mOA nOB ， 其中 m n

15、1， 则 ( ) A 点 P 一定在直线 AB 上 B 点 P 一定不在直线 AB 上 C 点 P 不一定在直线 AB 上 D 以上都不对 解： 由题意 知 m n 1， 则 m 1 n.所以 OP (1 n)OA nOB ， 即 OP OA n(OB OA )所以 AP nAB ，即 AP AB .又因为 AP 与 AB 有公共点 A， 所以 A， B， P 三点共线 ， 即点 P 在直线 AB 上 故选 A. 类型三 利用数量积求长度问题 (2017 保康县第一中学月考 )正四面体 ABCD 的棱长为 2， E， F 分别为 BC， AD中点 ， 求 EF 的长 解： |EF |2 (EC

16、 CD DF )2 EC 2 CD 2 DF 2 2(EC CD EC DF CD DF ) 12 22 12 2(1 2 cos120 0 2 1 cos120) 2， 所以 |EF | 2， 所以 EF 的长为 2. 【点拨】 要求一个向量的模 ， 就需要把向量分解成几个已知向量的和 ， 利用向量的平方等于向量的模的平方可求出 模的平方 ，进一步求出模 这里要注意向量和向量的夹角对数量积的影响 如图所示 ， 已知在一个 60的二面角的棱上 ， 有两个点 A， B， AC， BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于 AB 的线段 ， 且 AB 4cm， AC 6cm， BD 8cm， 求 C

17、D 的长 解： 因为 CD CA AB BD AB AC BD ， 所以 CD 2 (AB AC BD )2 (AB AC )2 BD 2 2(AB AC )BD AB 2 AC 2 2AB AC BD 2 2AB BD 2AC BD 16 36 64 2 6 8 cos60 68. 所以 | |CD 2 17cm. 类型四 异面直线所成角问题 (2017 辽中县第二高级中学月考 )如图所示 ， 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1， 点E， F， G 分别是 AB， AD， CD 的中点 ， 计算： (1)EF BA ； (2)EG 的长； (3)异面直线 AG 与 CE

18、所成角的余弦值 解： 设 AB a， AC b， AD c. 则 |a| |b| |c| 1， a， b b， c c， a 60， (1)EF 12BD 12c 12a， BA a， EF BA 12c 12a ( a) 12a2 12ac 14， (2)EG EB BC CG 12a b a 12c 12b 12a 12b 12c， |EG |2 14a2 14b2 14c2 12ab 12bc 12ca 12， 则 |EG | 22 . (3)AG 12b 12c， CE CA AE b 12a， cos AG ， CE AG CE|AG |CE | 23， 由于异面直线所成角的范围是

19、0， 2 ， 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为 23. 【点拨】 要求异面直线 AG与 CE 所成角的余弦值 ， 可利用向量的数量积 ， 求出 AG CE 及 |AG |和 |CE |的值 ，再套用公式 cos AG ， CE AG CE|AG |CE |求得 AG 与 CE 所成角的余弦值 ， 但上述结果并不一定是异面直线所成的角 ，由于异面直线所成角的取值范围为 0， 2 ， 所以 ， 若求得的余弦值为负值 ， 则取其绝对值 (2017 沈阳市雨田实验中学月考 )正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1， E 为 CC1 的中点 ， 求异面直线AB1， BE 所成角的

20、余弦值 解： AB1 BE (AB BB1 )(BC CE ) AB BC AB CE BB1 BC BB1 CE 0 0 0 12 12. 依题意易知 |AB1 | 2， |BE | 52 ， 所以 cos AB1 ， BE AB1 BE|AB1 |BE | 1010 . 点拨 1 空间向量的线性运算 用已知向量表示未知向量 ， 一定要结合图形 ， 可从以下角度入手： (1)要有基向量意识 ， 把有关向量尽量统一到基向量上来 (2)把被表示向量用其他向量线性表示 ， 进而寻找这些向量与基向量的关系 (3)用基向量表示一个向量时 ， 如果此向量的起点是从基底的公共点出发的 ， 一般考虑用加法

21、， 否则考虑用减法 ， 如果此向量与一个易求的向量共线 ， 可用数乘 (4)注意应用 以下结论 A 为 BC 的中点 ， O 为空间任一点 ， 则 OA OB OC2 ； A， B， C 三点共线 ， O 为空间任一点 ， 则 OA ( )1 t OB tOC (t R) 2 共线向量定理、 共面向量定理的应用 应用共线向量定理、共面向量定理 ， 可以证明点共线、点共面、线共面 (1)证明空间任意三点共线的方法 对空间三点 P， A， B， 可通过证明下列结论成立来证明三点共线： PA PB ； 对空间任一点 O， 存在实数 t， 使 OP OA tAB ； 对空间任一点 O， OP ( )1

22、 t OA tOB 或 OP xOA yOB ， 这里 x y 1. (2)证明空间四点共面的方法 对空间四点 P， M， A， B， 可通过证明下列结论成立来证明四点共面： MP xMA yMB ； 对空间任一点 O， OP OM xMA yMB ； 对空间任一点 O， OP xOA yOB zOM ， 其中 x y z 1； PM AB . 注： 在 中 ， 若 x y z 13， 则点 P 即为 MAB 的重心 设 M( )x1， y1， z1 ， A( )x2， y2， z2 ， B( )x3， y3， z3 ， P( )x， y， z ， 若 P 为 MAB 的重心 ， 则x x1

23、x2 x33 ，y y1 y2 y33 ，z z1 z2 z33 ，此即为三角形重心坐标公式 3 利用向量解决立体几何问题的一般方法 (1)利用向量解决立体几何问题的一 般方法是：把线段或者角度转化为向量表示，用已知向量 (基底或者是建立空间直角坐标系 )表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决平行、垂直、夹角、距离等问题； (2)通常选取两两垂直的向量作为基底 ， 其余的向量都利用这些基底向量来表示 ， 为进一步利用向量进行计算做铺垫； (3)求两个向量的夹角一般是利用夹角公式 cos a， b ab|a|b|；证明两个非零向量垂直可利用 ab 0. 课时作业 1 在空间四边形 ABCD

24、 中 ， AB a， BC b， AD c， 则 CD 等于 ( ) A a b c B c a b C a b c D b a c 解： 如图所示 ， CD CB BD CB (AD AB ) b c a c a b.故选 B. 2 边长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中 ， AB1 (DD1 DC ) ( ) A 1 B 0 C.12 D.14 解： AB1 (DD1 DC ) AB1 CD1 0.故选 B. 3 已知空间四边形 OABC， 其对角线为 OB， AC， M， N 分别是边 OA， CB 的中点 ， 点 G 在线段 MN 上 ，且使 MG 2GN， 则用向量 O

25、A ， OB ， OC 表示向量 OG 正确的是 ( ) A.OG OA 23OB 23OC B. OG 12OA 23OB 23OC C.OG 16OA 13OB 13OC D.OG 16OA 13OB 23OC 解： OG OM MG 12OA 23MN 12OA 23(ON OM ) 12OA 23 OB OC2 OA2 16OA 13OB 13OC .故选 C. 4 (2015西安质检 )已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a， 点 E， F 分别是 BC， AD 的中点，则 AE AF 的值为 ( ) A a2 B. 12a2 C.14a2 D. 34 a2 解：

26、AE AF 12(AB AC )12AD 14(AB AD AC AD ) 14(a2cos60 a2cos60) 14a2.故选 C. 5 (2015晋江一模 )设 OABC 是四面体 ， G1 是 ABC 的重心 ， G 是 OG1 上的一点 ， 且 OG 3GG1， 若 OG xOA yOB zOC ， 则 (x， y， z)为 ( ) A. 14， 14， 14 B. 34， 34， 34 C. 13， 13， 13 D. 23， 23， 23 解： 如图所示 ，取 BC 的中点 E， 连接 AE. OG 34OG 1 34(OA AG1 ) 34OA 12AE 34OA 14(AB

27、AC ) 34OA 14(OB OA OC OA ) 14(OA OB OC ) 故选 A. 6 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2， O 是底面 ABCD 的中心 ， E， F 分别是 CC1， AD 的中点 ， 则异面直线 OE 与 FD1 所成角的余弦值为 ( ) A. 105 B. 155 C.45 D.23 解： 因为 OE 12AC1 12(AB AD AA1 )， FD1 12AD AA1 ， 所以 OE FD1 12(AB AD AA1 ) 12AD AA1 12 12AB AD AB AA1 12AD 2 AD AA1 12AA1 AD AA1 2 12(2 4

28、) 3. 而 | |OE 12 22 22 22 3， | |FD1 5， 所以 cos OE ， FD1 315 155 .故选 B. 7 (2017 十堰市竹山县第一中学月考 )O 为空间中任意一点 ， A， B， C 三点不共线 ， 且 OP 34OA 18OB tOC ，若 P， A， B， C 四点共面 ， 则实数 t _. 解： 因为 P， A， B， C 四点共面 ， 所以 34 18 t 1， 所以 t 18.故填 18. 8 (2017 竹溪县第二高级中学月考 )如图 ， 空间四边形 OABC 中 ， OA a， OB b， OC c， 点 M 在 OA 上 ，且 OM 2M

29、A， N 为 BC 中 点 ， 则 MN 等于 _ (用 a， b， c 表示 ) 解： 因为 MN ON OM 12(OB OC ) 23OA 12(b c) 23a 23a 12b 12c. 故填 23a 12b 12c. 9 三棱锥 O ABC 中 ， M， N 分别是 OA， BC 的中点 ， G 是 ABC 的重心 ，用基向量 OA ， OB ， OC 表示 MG ，OG . 解： MG MA AG 12OA 23AN 12OA 23(ON OA ) 12OA 23 12（ OB OC ） OA 16OA 13OB 13OC . OG OM MG 12OA 16OA 13OB 13O

30、C 13OA 13OB 13OC . 10 如图 ， 在空间四边形 OABC 中 ， 若 OA 8， AB 6， AC 4， BC 5， OAC 45， OAB 60， 求OA 与 BC 所成角的余弦值 解： 因为 BC AC AB ， 所以 OA BC OA (AC AB ) OA AC OA AB |OA |AC |cos OA ， AC |OA|AB |cos OA ， AB 8 4 cos135 8 6 cos120 24 16 2.所以 cos OA ， BC OA BC|OA | |BC | 24 16 28 5 3 2 25 ， 故 OA 与 BC 夹角的余弦值为 3 2 25 ， 即直线 OA 与 BC 所成角的余弦值为3 2 25 . 11 如图所示 ， 四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中 ， 底面为平行四边形 ， 以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1， 且两