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1、 基于 EOQ 下多周期库存问题研究 目录 1 引言 . 1 2 多周期库存问题的确定 . 2 2.1 单周期库存模型 . 2 2.2 多周期库存模型 . 2 3 多周期库存控制模型 . 3 3.1 多周期库存控制系统 . 3 3.2 多周期库存控制模型概述 . 4 3.3 经济订货批量 . 4 3.3.1 经济订货批量概述 . 4 3.3.2 EOQ 模型的假设条件 . 4 3.3.3 EOQ 模型的库存变化图 . 5 3.3.4 EOQ 模型 建立 . 5 4 经济订货批量模型的调整 . 7 4.1 逐渐补充库存 . 7 4.2 订货提前期 . 8 4.3 EOQ 在其他方面的调整 .10

2、 4.4 EOQ 模型公式整合 . 11 5 实例验证 .12 5.1 实例描述 .12 5.2 运用 EOQ 求解 .13 结束语 .14 参考文献 .14 英文摘要 .15 致谢 .15 附录 .16 1 基于 EOQ 下多周期库存问题研究 学生：张佩英 指导教师：张友华 (安徽农业大学经济技术学院 合肥 230036) 摘要： 多周期库存管理问 题中，最重要的是对订货量及订货周期的管理。合理的安排订货量、订货周期有助于节约物流成本。对于计算多周期库存订货量问题，最经典的模型就是经济订货批量模型 (EOQ)。 EOQ 模型适用于不允许缺货、整批间隔订货的存储问题。即某种物资单位时间的需求量

3、为常数 R，存储量以单位时间消耗数量 R 的速度逐渐下降，经过时间 T 后，存储量下降到零，与此同时开始订货并瞬时补充库存，库存量由零上升为最高库存量 Q，然后开始下 个存储周期。本文主要论证 EOQ 及几种调整模型，并对公式推导整合。对订货量问题标准化处理后，运用所得公式进行计算。 关 键词： EOQ， 订货量 ,库存，最小费用 1 引言 近几年来，我国的经济日益融入世界经济体系，因而现代物流 学 受到越来越多的广泛关注。由于实行物流的 合理化 、 信息化 、 系统化，为企业创造了巨大的经济效益。 是继由原材料和活化劳动的节省而创造经济效益的又一重要途径，因此物流被称为“第三利润源泉”。对于

4、我国的物流企业来说，面临着前所未有的发展机遇与挑战 1。 仓储是现代物流系统中的一个重要环节，但传统意 义上的仓储业，已经远远不能满足社会主义市场经济发展对仓储的需求。 现代的仓储业务必须以现代物流管理的理念为基础，对仓储过程 中各环节活动进行重新整合和拓展，增加现代化设施和信息技术的投资，其涉及物流管理和技术等多学科领域，对于促进国民经济的发展和物流整体系统布局越来越不可或缺。 库存量控制策略是仓储中不可或缺的环节。对于库存量的控制直接影响了仓储成本，如何确定最佳的订货周期及订货批量，把库存量控制到最理想的数量。以尽可能少的财力、物力、人力把库存管理好，同时获取最大的供给保障，这是很多企业和

5、很多经济学家致力于实现的目标，甚至是企业与企业之间竞争、生存的重要一个环节。 本文所讨论的多周期库存订货量问题，就依据经济订货批量存储模型而 进行求解的。而经济订货批量模型，就是在一定的假设条件下，通过合理的安排订货费、存储费和缺货损失费等费用，以此来实现在总库存最低的情况下的最佳订货量，从而提高企业的经济效2 益，致使企业的效益最大化。 2 多周期库存问题的确定 在求多周期库存问题时，首先我们要区分什么是多周期库存。只有确定了问题的分类，才能更好地求解问题，因此下面对什么是多周期库存进行了简明扼要的区分说明。 2.1 单周期库存模型 单周期需求也称一次性订货，单周期是指一次性消费品，如水果、

6、食品、报纸等等。这种需求的特点是，具有偶然发生的或者该物品 的生命周期极其短暂，它受到某些不确定的因素（如天气）的影响，而呈现一种随机性的现象，因而很少重复订货，在这种需求状态下的库存属于单周期库存。单周期库存的典型例证是库存管理领域较为经典的“报童问题”。此问题人们无法通过常规的方法来确定其准确值，通常应用系统仿真的方法来加以解决。就是通过长期的观察统计人们可以得到有一定代表性的解决方法。在许多实际的库存问题都是一次性需求产品，这种产品过期就无法销售了，为了满足此类需求就只能订购一次产品。销售出去的产品就能够获得利润，销售不出去的产品则会带来损失。因此，需要知道这 种一次性订单到底应该有多大

7、，才能知道其损益情况。 单位收益为 : 利润 =单位价格 单位成本 单位损失为： 损失 =单位成本 单位残值 对于单周期库存控制的关键是订货量，在此种模型中订货费是一次性投入，与决策无关。只需分析仓储成本和机会成本。其主要求解的方法通常用，期望损失最小法、期望利润最大法及边际分析法 2。在此就不对此问题多做介绍。 2.2 多周期库存模型 多周期是相对单周期来说，多周期需求是在长时间内需求反复发生，是人们根据一定的数据分析及概率统计得出的规律，多周期库存模型条件下的库存需求是不断 补充。这是生产企业中最为常见的状态。 对于多周期库存模型做如下假设： 1 需求是随机的，服从一定的随机分布。 3 2

8、 每次订货，需要支付一个固定的成本 C。，再加上与订购数成比例的费用。 3 如果发出一个订单，提前期可能是固定的也可能是随机的。 4 规定一个必须的服务水平，服务水平是提前期中不出现缺货的概率。 5 如果顾客订单到达时，手头无存货满足顾客需求，这笔订单就会失去。 如果一个库存模型满足以上的假设，那么就称为多周期库存，对于如何计算多周期库存的订货量及最小费用，将在下文做系统的论述。 3 多周期库存控制模型 多周期库存控制 模型是对现实中问题的一种抽象，对现实中问题做大量的统计分析，得出一种最接近现实的一种数学模型。 3.1 多周期库存控制系统 多周期 库存控制系统包括输入、输出、约束条件和运作机

9、制四个方面，如 图 3-1 所示。与其他系统有差异的地方在于 多周期 库存控制系统中输入和输出的物品和资源都是相同的， 与生产系统不同，在库存补给系统中没有资源形态的转化。输入是为了保证系统的输出（对用户的供给）。约束条件包括库存资金的约束、空间约束等。运行机制包括控制哪些参数以及如何控制。在一般情况下，在输出端，独立需求不可控制；在输入端，库存 系统向外发出订货的提前期也不可控，它们都是随机变量。可以控制的一般是何时发出订货（订货点）和一次订多少（订货量）两个参 数 3。库存控制系统正是通过控制订货点和订货量来满足外界需求并使总库存费用最低。 图 3-1 库存控制系统图 任何库存控制系统都必

10、须解决如下问题：（ 1）隔多长时间检查一次库存量？（ 2）何时提出补充订货？（ 3）每次订多少？ 库存控制系统 运作机制 约束条件 输出 输入 4 3.2 多周期库存控制模型概述 在对单周期库存模型分析时，人们是假定决策者在一个计划期内只有一次订货，但在许多实际情况 中，决策者会重复多次订货。例如一个洗衣机分销商，分销商面对随机产品需求并向制造商多次重复订货。像这种需求是周期性的，对于这种模型称之为多周期库存模型，对于多周期库存模型，计算订货量最经典的模型就是经济订货批量模型。下面对经济订货批量模型做具体阐述。 3.3 经济订货批量 3.3.1 经济订货批量概述 经典的经济订货批量 （ EOQ

11、） 模型 最早是由福特 .哈里斯（ W.Harris）于 1915 年提出的 。 尽管 它 只是一个简单的模型，但说明了订货成本和存储成本之间的 平衡问题 。 可 以用来确定企业一次订货（外购或自制）的数量。 EOQ 模型的运用虽可帮助企业控 制其存货成本，加强资金的规划，当企业按照经济订货批量来订货时，可以基本 实现订货成本和储存成本之和最小化。在库存管理中必须作出的基本决定之一就是对照发出重新补充库存 所产生 的订单成本平衡库存 管理 投资的成本。要 解决 的问题是，应该订多少货 ,何时订货 。正确的订货数量要使 ,同发出订单的次数有关的成本与同所发订单的订货量有关的成本达到最好的平衡。当

12、这两种成本 刚好平衡时，总成本最小， 这时所得的订货量就叫做经济批量或经济订货量。 3.3.2 EOQ 模型的假设条件 模型是对现实的抽象，是在一定的条件下 建立的，所以需要一定的假设条件，只有在约束范围内模型才成立。因此对 EOQ 做如下假设。 （ 1）企业对库存的需求是已知的，且对于库存的消耗是均匀的（即需求率为常量）。年需求率以 R表示，单位时间需求率以 -r 表示； （ 2）订货批量固定 为 每次订货 量为 Q，也就是说，每次仓库向供应商订购 Q件产品，且 是瞬时完成 入库 ； （ 3）产品放在仓库中保管时会发生库存持有成本， h表示 每单位产品存放单位时间 的库存持有成本； （ 4）

13、提前期， 企业 发出订单到收到 订购的 货物的时间为零 ； （ 5） 计算周期前仓库的初始库存量为零； 5 （ 6） 企业的这种周期 订货计划期无限长； （ 7） 企业 每次订货都会发生一个固定的订货成本 C0； 3.3.3 EOQ 模型的 库存变化 图 在以上假设条件下，库存量的变化如 图 3-2 所示（由于需求率是固定的且为常数，因而库存的消耗趋势是一条斜率为 -R的直线）。从 图 3-2 可以看出，系统的最大库存量为 Q0，最小库存量为 0，不存在缺货。库存量按数值为 R 的固定需求率减少。当库存量降到订货点 RP（ reorder point）时，就按固定订货量 Q 发出订货通知。经过

14、固定的订货提前期 LT（订货提前这这里 LT=0），新的一批订货 Q 到达（订货刚好在库存变为 0 时 到达），库存量立即达到 Q。由图我们可以知道平均库存量为 Q 2。 图 3-2 EOQ 模型存储状态图 3.3.4 EOQ 模型 建立 由 图 2 可知在 t时间内补充一次库存，订货量 Q 必须满足 t 时间内的需求，故由此可知： RtQ （ 3-1） 仓库每次订货都会产生一个固定的订货成本 C0 ，货物单价为常数 K，所以一次订货费为： C0+KQ=C0+KRt （ 3-2） 单位时间内的订货费为： （ C0+KRt） /t=C0/t+KR （ 3-3） 已知需求速度 R为常数，存储量由

15、0时刻的 Q 点，按斜率为 -R的直线降至 t 时刻的零，故求在 t时间内的存储量等于此三角形的面积： Q/2t=Rt2/2 （ 3-4） 0 Q0 Q0/2 t0 -R 6 由此可知： 单位时间内的存储量为： Rt/2； （ 3-5） 单位时间内的存储费用为： hRt/2； （ 3-6） 故由此可知 t 时间内单位时间总的平均费用为： C（ t） =hRt/2+C0/t+KR ； （ 3-7） 在 这里的 t 为所求的存储策略变量。根据微积分求最小值的方法，使其一阶导数等于零，因此对时间 t 求导并令导数等于 0 ： C（ t） t R 2 C0/2t （ 3-8） 解得： t0= hRC

16、/02 （ 3-9） 所以当 t0=t= RhC /02 时，即每隔 t0时间订货一次，可使 C（ t）达到最小。其订货量为： Q0=Rt= hRC /02 （ 3-10） 由于货物单价 K 与 Q、 t0无关，故货物成本是固定的，因此在费用函数中可以略去KR这项费用。故由此可得： C（ t） = hRC02 （ 3-11） 如果将上述费用函数 C（ t）用曲线表示，同样可以得到与上述一致的结果， 如图 6 所示。 图 3-3 年费用曲线图 如 图 3-3 中， C（ t）曲线的最低点 C（ t 0）对应的 横坐标 t0 正好与订货费用曲线和存储费用曲线的交点对应的横坐标一致。既有： C0/t

17、0=hRt0/2； （ 3-12） 费用 0 Q0 C0/t hRt/2 C（ t） 订货批量Q 7 解得： 最佳订货周期： t0= hRC /02 ； （ 3-13） 最佳订货量： Q0= hRC /02 ； （ 3-14） 平均最小费用： C（ t） = hRC02 ； （ 3-15） 通过上述的论证，可以得出经济订货批量基本模型的求解公式 1-4。在处理实际问题中，将实际问题按 EOQ 模型进行标准化处理，然后依据公式可以快速方便的求解问题。 4 经济订货批量模型的调整 经济订 货量的基本模型是在上述假设条件下建立的，模型的使用比较局限，在现实生活中能够满足所有假设条件的情况十分罕见，有

18、些问题可能很难进行标准化。所以为了使模型更接近于实际情况，具有较高的可用性，需逐一放宽假设，同时改进模型，从而方便实际中的求解。下面对此进行一定逐一进行论述。 4.1 逐渐补充库存 在建立 EOQ 基本模型时，是假设订货是一次全部入库，存货增加时存量变化为一条垂直的直线。事实上，各批次存货可能陆续入库，使存量陆续增加，订货就无法一次性入库。尤其是产成品入库和在产品转移时，几乎总是陆续供应和陆续耗用的。因 此对 EOQ 标准模型的进行一定的改变，假定库存的补充是逐渐进行的，订货不是瞬时完成的，其他的假设条件同 EOQ 的基本模型相同。在这种情况下，需要对 图 3-2 基本模型做一些修改。 其在一

19、定时间 Tp内生产量为 Q，单位时间内的产量即生产速率用 P 表示，需求速度为R，由于不允许缺货 所以生产速率要大于需求速率（ P R）。存储状态变化如 图 4-1所示 1。 8 图 4-1 存储状态图 在上述假设条件下， Tp时间段内每单位时间生产了 P件产品，提取了 R 件产品，因此单位时间内净增存储 量为 P-R。在 Tp 时间内，存储量为 （ P R） Tp6。由此可知： Q PTp Rt； （ 4-1） 因此： Tp=Rt/P； （ 4-2） 所以在 t时间段内平均库存量为： (P-R)Tp/2=Rt(P-R)/2P； （ 4-3） 与之对应的单位时间的存储费为： hRt(P-R)/

20、2P； （ 4-4） 而单位时间的平均总费用为： C(t)=hRt(P-R)/2P+C0/t； （ 4-5） 对其求导，令： dC(t)=0,因此有： 最佳生产循环时间： t0= )(/02 RPRhPC ； （ 4-6） 最佳生产批量： Q0=Rt0= hRPPRC )/(02 ； （ 4-7） 最佳生产时间： Tp=Rt0/2= hRPPRC )(2/0 ； ； （ 4-8） 最小平均费用： c（ t0） =(P-R)/2PhRt0+C0/t0= PhRPRC /)(02 ； （ 4-9） 具体实例求解参见附录例 1 4.2 订货提前期 在现实情况中，企业的存货不能做到随用随时补充，订货这

21、一环节的完成不是瞬时的，Q0 Q T 0 Tp t P-R 9 因此不能等存货用光了再去订货，而是需要在没有用完时提前订货。在提前订货的情 况下，企业再次发出订货单时，尚有一定的存货的库存量，而此时的库存量称为再订货点（ RP0），此调整模型的其他假设条件与 EOQ 原型相同。 图 5-2 库存量变化图 在上述假设条件下，库存量的变化如图 4-2 所示（由于需求率是固定的且为常量，因此库存消耗趋势是一条斜率为 -R 的直线）。从图 4-2 可以看出，系统的最大库存量为 Q，最小库存量为 0，不允许缺货。库存量按固定数值为 R 的固定需求率减少。当库存量降到订货点 RP（ reorder poi

22、nt）时，就按固定 订货量 Q 发出订货单。经过固定的订货提前期LT（ LT 0），新的一批订货 Q 到达时恰好是库存变为 0时到达，同时库存量立即补充达到Q。显然平均库存量为 Q 2。 总费用 =每年维持仓库费 +订货费 +采购费 CT CH CR CP h（ Q 2） C0（ R Q） pR （ 4-10） 式中， C0为一次订货费； H 为单位维持库存费， h p H， p 为单价， H 为资金效果系数； R为年需求量 5。 每年维持库存费 CH随订货量 Q 增加而增加，是 Q 的线性函数；年订货费 CR与 Q 的变化呈反比，随 Q增加而下降。不计年采购费用 CP，总费用 CT曲线为 CH与 CR曲线的叠加。为了求出经济订货批量，按照求极值的要求，我们对式 4-11 对 时间 求导，并令一阶导数为零，可得： Q0=EOQ= hRC /02 ； （ 4-11） Q0为最佳订货批量。由于 CP与订货量大小无关（年需求量是固定的）， CT曲线最低点对应的订货批量就是最佳订货批量，如图 4-3所示。 LT Q/2/ 222 库存量 Q O 时间 Q RP