信号检测与分析答案.docx

1、1. 如图所示一个理想的低通滤波器其传递函数 H( )，输入一个零均值、方差为的白噪声（不相关随机变量）序列 w(n)。 1) 求解输出序列 X (n)的功率谱密度 并画出其图形； 2) 证明 X (n)的自相关 可以表达为： 并画出其图形，根据图形说明该滤波器的作用； 3) 用两种方式说明 ： A. B. 解： 1） 由 题意可知，零均值白噪声的功率谱为 ， 传递函数 为 ， 则，输出 序列 的 功率谱密度 为 ： 其 功率谱密度图形如下图所示： 2()xxP()xxRm2 s in ( )2( ) 22xxmRmm22(X ) 2E 2(X ) (0)xxEr2 1(X ) ( )2 xx

2、E P d 2()ww wP ()H()Xn ()xxP222 4,( ) | ( ) | 220,wjx x wP H e 其 它2） 因为 自相关和 功率谱 密度互为 傅里叶逆 变换， 则 ： 图为： 由 图形可知 ,该滤波器 的波形为： 3）根据题意可得： A. / 22 / 22222/ 2 /222221 1 1( ) ( ) |2 2 211( ) 2 sin 222sin 2444422j m j m j mx x x xj m j mwwwwwR m P e d e d ejmme e jjm jmmm ()xxRm2 2 22 00s in s in22( ) ( 0 ) 2

3、 2 2| l imwmx wx wmmX mmmEr B. 2.如图所示，滤波器由下式所述 ，其中输入是一个确定性信号(b是个已知常量 )和零均值随机白噪声序列 组成，其中噪声方差为 ，使用叠加原理计算： 1） 计算输出中信号的成分并绘图； 2） 计算噪声功率（即输出中噪声成分的方差）； 3）计算输出中噪声成分的功率谱密度函数并绘图； 4）描述该滤波器的作用并评价其效果。 解： 1）当 输入信号 时 ，由题 可知 ， 则 输出信号 图 为 ： 2） 对于均值为零的白噪声 ， 其功率谱为 ， 输入 白噪声后，输出功率谱为 对于 给滤波器 而言 ，对其 做 Z变换， 可得 则 22222411(

4、 ) ( ) 222x wx wE X P d d 1n n ny x x ns b n nd 2nS bn 1n n ny x x ( 1)ny b n b n b nd 2()ddP 22( ) | ( ) |jyyP H e 1n n ny x x 1( ) 1H z Z则输出中噪声 成分的 功率谱 密度函数为 ： 输出中噪声 成分的方差 为 : 3） 由 2） 可 得 ，输出函数的功率谱密度函数为 ： 功率谱密度 函数的图形为： 4）由上式可知 ，系统 的 频率响应为 ，则 是一个高通滤波器 。 3. 一个 AR模型描述的随机信号的功率谱密度函数定义如下 其中 表示输入序列的方差。 1

5、） 当用白噪声激励该 AR系统时，计算该系统的差分方程； 2）若在该系统后接一白化滤波器 H (z)，求 H (z)的系统函数； 解： 22( ) 1| ( ) | ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) 2 2 2 c o s| ( ) | ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) 2 2 2 c o sjjj j j j j j jj j j j j j jH e eH e H e H e e e e eH e H e H e e e e e 2 2 2( ) | ( ) | ( 2 2 c o s )jyyP H e 2211( 0 ) ( ) ( 2 2 c o s ) 222x x y

6、 yr P d d 2 2 2( ) | ( ) | ( 2 2 c o s )jyyP H e ( ) 1jjH e e22 2 225() | A ( ) | | 1 e 0 . 5 e |xx jjP 21） 当 用才噪声激励该 AR系统 时， 输出功率谱密度为 根据已知条件 得 则系统 的频率响应为 ： 传递函数为 ： 所以有 故系统 的差分 方程 为 ： 2）若在 系统后加 一 白化滤波器 H (z)， 则 白化 滤波器的系统函数为 ： 4. 已知一 ARMA模型描述的随机信号 ，其自相关为 ，且其 Z变换定义为： 1） 若输入为白噪声序列，请给出该 ARMA模型所描述系统的传递函数

7、 H(z) ,并回答：该系统是唯一的吗 ? 2） 对于序列 X(n)，求解其对应的稳定的白化滤波器。 解： 1）信号自相关的 z变换为 则当 时， 22( ) | ( ) |jxxP H e 2 25 2 221| ( ) | | 1 e 0 . 5 e |j jjHe 21() 1 e 0 .5 ej jjHe 121() 1 0 .5Hz zz 12( ) ( ) ( ) 0 . 5 ( )X z W z W z z W z z ( ) ( ) ( 1 ) 0 . 5 ( 2 )x n w n w n w n 1 1221 0 . 51111)0)5(.(H zzzHzzz nX (m)x

8、xR (z)xxS1( z ) ( z 3 ) 13( z ) 9 | z | 21 2( z ) ( z 2)2xxS ，2 2 1 2( z ) | ( ) | ( ) ( ) |1 1 1 1 1 1 1( z ) ( z 3 ) ( z ) ( ) ( z ) ( )3 273 3 3 3 3991 1 1 1 1 1 122( z ) ( z 2) ( z ) ( ) ( z ) ( )2 2 2 2 2jjx x w wzeS H e H z H zzz 2 272w 1 1 1 1( z ) ( )33( ) ( ) 1 1 1( z ) ( )22zH z H zz 则 传递函

9、数有： 因此， 该系统不是唯一的。 2）白化滤波器的传递函数 ，其 极点和零点都要在单位 圆 内， 对于 1） 中的 4种系统的传递 函数 ，其零极点在单位 圆只有 ， 所以白化滤波器为5. 已知一个由 ARMA模型描述的随机信号，其定义如下 其中 是一个方差为 的白噪声序列。 1） 确定该系统对应的白化滤波器及其零极点； 2）求 的功率谱密度函数； 解： 1）根据题意 ，对 做 Z域 变换 可得传递函数为： 则 该系统对应的白化滤波器为： 白化滤波器对应的零极点为： 零点 ： 极点 ： 123411( z ) ( z )33( ) , ( ) ,1 1 1( z ) ( )221 1 1 1

10、( ) ( )33( ) , ( )1 1 1( z ) ( )22H z H zzzzH z H zz 1() ()Hz Hz1()Hz 1(z1() () )21( z )3Hz Hz( ) 1 . 6 ( 1 ) 0 . 6 3 ( 2 ) ( ) 0 . 9 ( 1 )x n x n x n w n w n ()wn 2()xn()xn1 2 1( z ) 1 . 6 ( z ) 0 . 6 3 ( z ) ( ) 0 . 9 ( z )X z X z X W z z W 112( z ) 1 0 . 9() ( ) 1 1 . 6 0 . 6 3XzHz W z z z 1211 (

11、 ) 1 1 . 6 0 . 6 3() ( ) ( z ) 1 0 . 9W z z zHz H z X z 120.9, 0.7zz0.9z3） 由 1）知 则 ： 所以 的 功率谱密度函数为 ： 6. 已知一个由 AR 模型描述的随机信号，其定义如下 其中 w (n)是方差为 的白噪声，运用 Yule-Walker方程求解如下自相关的值 解 ： 由题意 通过移项可得 由 Yule-Walker方程可得 ： ， 其中 则 方程组 为 ： 上式解得 112( z ) 1 0 . 9() ( ) 1 1 . 6 0 . 6 3XzHz W z z z 211. 81 0. 9 0. 9( 1.

12、 81 0. 9 0. 9 ) ( 1. 49 0. 7 0. 7 )1. 81 1. 8 c os( 1. 81 1. 8 c| ( ) | ( ) ( ) ( ) ( )os ) ( 1. 49 1. 4 c os )jjjjw jw jwj j jeee e eH e H z H z H e H ee ()Xn2 221 . 8 1 1 . 8 c o s(1( ) | ( ) | . 8 1 1 . 8 c o s ) ( 1 . 4 9 1 . 4 c o s )jwxx wwP H e ( n ) ( 1 ) 0 . 6 ( 2 ) ( )x x n x n w n 2(0), (

13、1), (2)xx xx xxr r r( n ) ( 1 ) 0 . 6 ( 2 ) ( )x x n x n w n ( n ) ( 1 ) 0 . 6 ( 2 ) ( )x x n x n w n 0221( 0 ) ( 1 ) ( 2 )(1 ) ( 0 ) ( 1 ) 0( 2 ) (1 ) ( 0 ) 0x x x x x xx x x x x xx x x x x xwar r rr r r ar r r a 012110.6aaa2( 0 ) ( 1 ) 0 . 6 ( 2 )(1 ) ( 0 ) 0 . 6 ( 1 ) 0( 2 ) (1 ) 0 . 6 ( 0 ) 0x x

14、 x x x xx x x x x xx x xwx x xr r rr r rr r r 7.设期望响应 是一个 AR(1)过程，参数 ， 激励零均值白噪声 的方差 ， 由白噪声驱动的产生该过程的传递函数为 。 经过一个信道后，其中信道传输函数为 同样为 AR(1)模型，在信道输出端加入零均值白噪声 ，其方差 信道输出 ， 和 不相关，且。 1） 设计 N=2 的维纳滤波器以估计 ； 2） 求最小均方差误差。 解： 1） 由白噪声驱动的产生该过程的传递函数为 则 的自相关 则 ， 又因为 经过一个信道后，其中信道传输函数为 同样为 AR(1)模型则 的自相关 222(0)0.39(1)0.6

15、24(2)15.6xxxxxwxwwrrrnd 1 0.8458a n2 0.27 1 111 0.8458H z nd2()Hznv 2 0.1v n n nx s v n nv2 11() 1 0 .9 4 5 6Hz z nd1 111 0.8458H z 1n n ndd nd / 22() 1 mdd warm a /20.8458 0.271 0.8458m/0.8458m(0) 1ddr (1) 0.8458ddr nd 2()Hz10.9458n n ns s dns 22( ) ( ) ( )s s h h d dr m r m r m则 由 ， 得到维纳 霍夫方程 解得维纳滤波系数： 2） 最小均方差误差为 / /20 .9 4 5 8 0 .8 4 5 81 0 .9 4 5 8m m/ / / /9 0 .9 4 5 8 0 .8 4 5 8m m ll / / / /( 0 ) 9 0 .9 4 5 8 0 .8 4 5 8 1 0llsslr / / /1 /(1 ) 9 0 .9 4 5 8 0 .8 4 5 8 1 0llsslr (0) 0.1vvr (1) 0vvr 01012121hhhh 0113hh m i n 10( 0 ) 0 ( 0 ) 1 (1 ) 3s s s s s sJ r h r h r