傅立叶光学习题与答案.doc

1、 1 云南师范大学 2005-2006 学年上学期统一考试 学院 物理与电子学院 专业 光学工程 年级 2005 级 班级 学号 姓名 一、一个正复振幅光栅 ， 振幅透过率为 ： 000 2c o s22),( fxllyxt 放在一个直径为的圆形会聚透镜 (焦距为 f )之前 ,并且用平面单色波倾斜照射 ,平面波的传播方向在 zx0 平面内 ， 与轴夹角为 ， 如图 1 所示 。 (1) 求通过物投射的光振幅分布的频谱 。 (2) 假定 fdd i 20 ， 问像平面上会出现强度变化的角 是多少 ？ (3) 假定用的倾斜角就是这个最大值 ， 求像平面上的强度分布 。 它与 0 时相应的强度分

2、布比较 ,情况如何 ？ (4) 假定照明倾角 采用上述极大值 ， 问使得像平面上出现强度变化的最大光栅频率是多少 ？ 这个频率与 0 时的截止频率比较 ， 结论如何 ？ (40%) (1) 解 ： 倾斜单色平面波入射 ， 在物平面上产生的入射光为 )sinexp( 0 jRxA ， 则物平面的投射光场为 ： )s ine x p (),( 0000 jR xAyxU )2c o s1(21)s ine x p (,(00)00 fxjR xAyxt 2 )s i n(2e x p 21)s i n(2e x p 21)s i n2 e x p (2 000 fxjfxjxjA它的频谱 为 ：

3、),(),(),( 00000 yxUFyxUFffA yx ) ;s i n(21),s i n(21),s i n(2 fffffffA xyxxx (2) 解 : 在相干光照明下 ， 系统的截止频率为idlf 20 ， 为了取到尽可能大的 ， 即取最低的两个频率分量 )0,s in(),0,s in( f 于是要求 ;2sin idl 及 ii dlfdl 2s in2 将 fdi 2 代入上述两个不等式 , 得 到 满 足 两 个 频 率 分 量 通 过 系 统 的 条 件,4s in4 flflf 最大值为 )4(sin 1m ax fl ； （ 3）解：直径为的圆形透镜相干传递函数

4、为 )2(),(322dlffc ircffH yxyx ， 当 取最大值，fl4sin ；此时物场的三个频率分量中只有一个较高频率分量超出系统的截止频率，因而 yx ffH , 0,s i n00,s i n0,s i n1yxyxyxffffffff当以及当像的频谱为： ,s i n21,s i n2,s i n21,s i n21,s i n2, 03yxyxyxyxyxyxyxyxyxfffffAffHffffffffAffHffAffA像平面复振幅分布为： 3 2e x p21142e x p2s i n2e x p 21s i n2e x p2,33333133fxjflxjAfx

5、jxjAffAfyxu yxsi 光强分布为： 2c o s4542e x p2112e x p2114, 23322333333 fxAfxjfxjAyxuyxI 当 0 时；设 0ff ，则 3333 2c o s12, fxAyxu 相应光强分布 为： 33233 4c o s212c o s2234, fxfxAyxI i 通过 两式比较，可看出 max 时，条纹对比度较差，且没有倍频成分。 （ 4）解：照明倾角 为极大时德flfflfflflfflf xma 22;44;s i n4 或=0 时，光栅频率不大于系统截止频率，即flfflf 44 m ax 或 比较上式 ，可知 max

6、 倾角 的平面波照明，系统允许通过的物光栅的频率比垂直照明大。 二已知 f(x)=rect(x)， h(x)=rect( 21x )。求： f(x)*h(x)， 并作图，说明其性质和意义。（ 10） 解： 4 g(x)=f(x)*h(x)= dxhf )( ）（ 当 x-1/2 时， g(x)=0 当 1/2 x 1/2 时 ,g(x)= xd2/1 =x+21 当 1/2 x 3/2 时， g(x)= 2/32/1d =1 当 3/2 x 5/2 时， g(x)= 2/12xd = x25 当 x 25 时， g(x)=0 故：)2/5(,0)2/52/3(,2/5)2/32/1(,1)2/

7、12/1(,2/1)2/1(,0)(*)()(xxxxxxxxxfxg 图为： 5 三 、 在 4f 系统中， 输入物是一个无限大的矩形光栅，设光栅常数 d=4,线宽 a=1，最大透过 率为 1，如不考虑透镜有限尺寸的影响 ： （ 1）写出傅立叶平面 p2 上的频谱分布表达式； （ 2）写出输出平面复振幅和光强分布表达式； （ 3）在频谱面上作高通滤波，挡住零频分量，写出输出面复振幅和光强分布表达式； （ 4）若将一个 相位滤波器 其它）（ 0 ,)e x p (, 002222 yxyxjyxH 放在 p2 平面的圆点上，写出输出面复振幅和光强分布表达式，并用图形表示。（ 20） 解： (1

8、)因为是无限大的矩形光栅，即 B 不用考虑 所以 t(x1 )=(1/d).rect(x1 /a)*comb(x1 /d) 可以在频谱面上得到它的傅立叶变换 T(fx )=FSt(x1 ) =(a/d)sinc(fx )+sinc(a/d).sinc(fx -1/d)+sinc(a/d).sinc(fx 1/d)+ 把 a=1,d=4 代入上式 T（ fx ）（ 1/4） sinc(fx )+sinc(1/4).sinc(fx -(1/4)+sinc(1/4)sinc(fx +(1/4)+ . =（ 1/4） sinc(fx )+sinc(1/4) (f x -(1/4)+sinc(1/4)

9、(fx +(1/4)+ . (2)t(x3 )=(1/4)rect(x3 )*comb(x3 /4) I(x3 )=|t(x3 )|2 =(1/16)rect(x3 )*comb(x3 /4)2 (3)阻挡零频分量，可使像发生寸度反转 t(x3 )=(1/4)rect(x3 )*comb(x3 /4)-(1/4)rect(x3 /4) I(x3 )=|t(x3 )|2 (4)相位为 的滤波器相当于将寸度再次反转 t(x3 )=(1/4)rect(x3 )*comb(x3 /4)-(1/4)rect(x3 /4)-(1/4)rect(x3 /4) I(x3 )=|t(x3 )|2 6 四 . 以

10、傅里叶变换全息为例，推导并解释如下 概念：（ 10%） （ 1）全息再现像的分辩率 （ 2）线模糊 （ 3）色模糊 解：（ 1）傅立叶变换全息图记录物的傅立叶谱，记录过程中物 ,0(xO )0y 置于透镜前焦面上，用平行光照明，将全息干板置于后焦面上，用斜入射的平行光作为参考光，设物光为),(e x p )(),( 0000,0000 yxjyxOyxO ，参考光由位于前焦面上的点光源产生的，坐标（ -b,o ） , 表述为 ),(),( 00000 ybxRyxR ， 经变换干板处的光振动 RFOFUH ，其中 F 是傅氏变换，暴光光强为 ,),( 2Hyx UffI 其中)(),( fyf

11、fxf fyfx 为空间频率分量， ff yx, 为透镜后焦面上的空间坐标， f 为透镜焦距，经线性处理后，全息图的透过率 ItH ，再现中，用平行光1)e x p (),( 00 jCyxC 垂 直 入 射 到 全 息 图 上 ， 全 息 图 后 的 光 振 动 为 ：HHH ttCU ，再现像为 1 Hf UFU 。对记录介质分辨率的要求不受物体本身精细结构的影响，而取决于全息图中最精细的光栅结构因而应该满足04 xfR，其中 R 为记录介质分辨率，0xf表示全息图的频谱成分，即空间频率。再现像的分辨率取决于全息图的宽度，它所记录的空间频率越丰富，分辨率越高。 （ 2）线模糊：实际光 源上

12、每一点作为参考光源，会产生全息图上不同光栅结构，作为再现光源会产生不同的再现像，一个物点将对产生多个像点也就是说，用扩展光源作为参考光源和再现光源时会导致再现像的展宽，这个现象称做线模糊。 设参考光源和再现光源的现度分别为 R 和 C ，3llClRL cr 7 （ 3）色模糊：对于像全息，再现光源的光谱宽度对像清晰程度仍然是有影响，因为实际上光不能使物上所有点均能满足 0Z 为最小，这时一个物点不是对应一个像点，而是对应一个线段。这种由于波长的不同而产生的像的扩展叫做像的色模糊，即使 0Z 足够小，当 相当大时，仍然回形成不可忽视的色模糊；色模糊（弥散量）： 0221 ZZ j五、如图 2

13、所示，边长为 2a 的正方形孔内在放置一个边长为 a 的正方形掩模，其中心落在（ , ）点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与她相距 为 Z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的光场强度分布，画出 0 时，孔径频谱在 x 方向上的截面图。（ 20%） 解：（ 1）孔径的振幅透射率函数可表示为两个矩形函数之差 ayr e c taxr e c tayr e c taxr e c tyxt 111111 22, 采用单位振幅平面波垂直照明，孔径平面透射光场为 ayr e c taxr e c tayr e c taxr e c tyxtyxu 11111111 22),(,它的傅里叶变换式为 yx

14、yxs afcafcaafcafcayxuf s ins in2s in2s in4, 2211 把它代人 夫琅禾费衍射方程： 2e x p,2e x pe x p, 11101011202000 ydxyyxxzjyxuyxzkjzj j k zyxu 得到孔的夫琅禾费衍射分布： s i ns i n2s i n2s i n42e x p e x p1),(2e x p )e x p (,002002202011202000zayczaxcazayczaxcayxzkjj k zjyxufyxzkjj j k zyxuzsz 强度分布： s i ns i n2s i n2s i n41, 0

15、02002220000 zayczaxcazayczaxcazyxuyxI （ 2） 0 ，孔径频谱截面图 8 六、 波长为的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一足够大的摸板，其振幅透过率为 )3(2c o s1(5.0)( 00 xxt ，求紧靠孔径投射场的角谱。（ 20%）（五、六题选做一题） 解： 入 射 到 孔 径 的 场 分 布 为 1),( yxUi ， 模 板 的 透 过 率 为 ：)32c o s1(5.0)( 00 xxt ， 所以模板后的透射场分布为： ),(),(),( yxtyxUyxU it 设入射场的角谱和光场的角谱分别为 )cos,cos( iA和 (tA )cos,cos ， 由傅氏变换的卷积定理可得： (tA )cos,cos = )cos,cos( iA* )cos,cos( T ， 其中 )cos,cos( iA= )c o s,c o s(),( yxUFi)cos,cos( T = )( 0xtF = )c o s,3 1c o s(41)c o s,3 1c o s(41)c o s,c o s(21 所以紧靠孔径衍射场的角谱为： (tA )cos,cos = )cos,cos( iA * )cos,cos( T = )c o s,3 1c o s(41)3 1c o s(41)c o s,c o s21 （