全国卷理科数学理科综合试题及答案.docx

1、2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 1 绝密 启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 3 理科数学 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第 I卷（选择题） 请点击修改第 I 卷的文字说明 1设集合 S= | ( 2 ) ( 3 ) 0 , | 0S x x x T x x ，则 SI T= （ A） 2， 3 （ B）（ - ， 2U 3,+） （ C） 3,+） （ D）（ 0， 2U 3,+） 【答案】 D 【解析】 试题分析：由 ( 2)( 3) 0xx 解得 3x 或 2x ，所以 | 2 3S x x x 或

2、 ，所以 | 0 2 3 S T x x x 或，故选 D 考点： 1、不等式的解法； 2、集合的交集运算 2若 12zi ，则 4 1izz （ A） 1 （ B） -1 （ C） i （ D） -i 【答案】 C 【解析】 试题分析： 44(1 2 ) (1 2 ) 11ii iiizz ，故选 C 考点： 1、复数的运算； 2、共轭复数 3已知向量 13( , )22BAuuv , 31( , ),22BC uuuv 则 ABC= （ A） 300 （ B） 450 （ C） 600 （ D） 1200 【答案】 A 【解析】 试题分析：由题意，得1 3 3 1 32 2 2 2c o

3、s 1 1 2| | |B A B CABC B A B C ，所以30ABC ，故选 A 考点：向量夹角公式 2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 2 4某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中 A点表示十月的平均最高气温约为 150 C， B点表示四月的平均最低气温约为 50C。下面叙述不正确的是 （ A）各月的平均最低气温都在 00C以上 （ B）七月的平均温差比一月的平均温差大 （ C）三月和十一月的平均最高气温基本相同 （ D）平均气温高于 200C 的月份有 5 个 【答案】 D 【解析】 试题分析：由图可知 0C 均在虚

4、线框内，所以各月的平均最低气温都在 0 以上， A正确；由图可在七月的平均温差大于 7.5C ，而一月的平均温差小于 7.5C ，所以七月的平均温差比一月的平均温差 大， B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在 5C ，基本相同， C 正确；由图可知平均最高气温高于 20 的月份有 3 个或 2 个，所以不正确故选 D 考点： 1、平均数； 2、统计图 5若 3tan 4 ，则 2cos 2 sin 2 （ A） 6425 （ B） 4825 （ C） 1 （ D） 1625 【答案】 A 【解析】 试题分析：由 3tan 4 ，得 34sin , cos55或 34s in ,

5、 c o s55 ，所以2 1 6 1 2 6 4c o s 2 s i n 2 42 5 2 5 2 5 ，故选 A 考点： 1、同角三角函数间的基本关系； 2、倍角公式 6已知 432a ， 254b ， 1325c ，则 （ A） bac （ B） abc （ C） b c a （ D） c a b 【答案】 A 【解析】 2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 3 试题分析：因为 4223 3 5244ab， 1 2 23 3 32 5 5 4ca ，所以 bac，故选 A 考点：幂函数的图象与性质 7执行下图的程序框图，如果输入的 46ab， ，那么输出的 n （ A） 3 （

6、 B） 4 （ C） 5 （ D） 6 【答案】 B 【解析】 试题分析：第一次循环，得 2 , 4 , 6 , 6 , 1a b a s n ；第二次循环，得2 , 6 , 4 , 1 0a b a s ， 2n ；第三次循环，得 2 , 4 , 6 , 1 6 , 3a b a s n ；第四次循环，得 2 , 6 , 4 , 2 0 1 6 , 4a b a s n ，退出循环，输出 4n ，故选 B 考点：程序框图 8在 ABC 中， 4B=， BC 边上的高等于 13BC,则 cosA= （ A） 31010（ B） 1010（ C） 1010-（ D） 31010-【答案】 C 【

7、解析】 试题分析：设 BC 边上的高线为 AD ，则 3BC AD ，所以 22 5A C A D D C A D ，2AB AD 由 余 弦 定 理 ， 知2 2 2 2 2 22 5 9 1 0c o s2 1 02 2 5A B A C B C A D A D A DA A B A C A D A D ，故选 C 考点：余弦定理 2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 4 9如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 （ A） 18 36 5 （ B） 54 18 5 （ C） 90 （ D） 81 【答案】 B 【解析】 试题分析：由

8、三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积2 3 6 2 3 3 2 3 3 5 5 4 1 8 5S ，故选 B 考点：空间几何体的三视图及表面积 10在封闭的直三棱柱 1 1 1ABC A B C 内有一个体积为 V 的球，若 AB BC ， 6AB ，8BC ， 1 3AA ，则 V的最大值是 （ A） 4 （ B） 92 （ C） 6 （ D） 323 【答案】 B 【解析】 试题分析：要使球的体积 V 最大，必须球的半径 R 最大由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值 32 ，此时球的体积为 334 4 3 9()3 3 2 2R ，故选 B

9、 考点： 1、三棱柱的内切球； 2、球的体积 11已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C： 22 1( 0 )xy abab 的左焦点， A， B分别为 C的左，右顶点 .P 为 C上一点，且 PF x 轴 .过点 A的直线 l与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE的中点，则 C的离心率为 （ A） 13（ B） 12（ C） 23（ D） 34 【答案】 A 【解析】 试题分析：由题意设直线 l 的方程为 ()y k x a，分别令 xc 与 0x 得点2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 5 | | ( )FM k a c， |OE ka ，由 O

10、BE CBM，得1|2| | | |OE OBFM BC ，即2 ( c)ka ak a a c，整理，得 13ca ，所以椭圆离心率为 13e，故选 A 考点：椭圆方程与几何性质 12定义 规范 01数列 an如下： an共有 2m项，其中 m项为 0， m项为 1，且对任意 2km ，12, , , ka a a 中 0 的个数不少于 1 的个数 .若 m=4，则不同的 规范 01数列 共有 （ A） 18 个 （ B） 16 个 （ C） 14 个 （ D） 12 个 【答案】 C 【解析】 试题分析：由题意，得必有 1 0a ， 8 1a ，则具体的排法列表如下： 0 0 0 0 1

11、1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 考点：计数原理的应用 2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 6 第 II卷（非选择题） 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题（题型注释） 13若 ,xy满足约束条件 10202 2 0xyxyxy 则 z x y 的最大值为 _. 【答案】 32 【解析】 试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数 z x y 经过点 1(1, )2A 时取得最大值，即max 1

12、31 22z 考点：简单的线性规划问题 14函数 sin 3 cosy x x 的图像可由函数 sin 3 cosy x x 的图像至少向右平移_个单位长度得到 【答案】 3 【解析】 试题分析：因为 s i n 3 c o s 2 s i n ( )3y x x x ， s i n 3 c o s 2 s i n ( )3y x x x 2 sin( ) 33x ，所以函数 sin 3 cosy x x 的图像可由函数 的图像至少向右平移 3 个单位长度得到 考点： 1、三角函数图象的平移变换； 2、两角和与差的正弦函数 15已知 fx为偶函数，当 0x 时， ( ) ln( ) 3f x

13、x x ，则曲线 y f x 在点 (1, 3)处的切线方程是 _。 【答案】 21yx 【解析】 sin 3 cosy x x2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 7 试题分析：当 0x 时， 0x，则 ( ) ln 3f x x x 又因为 ()fx 为偶函数，所以( ) ( ) ln 3f x f x x x ，所以 1( ) 3fx x ，则切线斜率为 (1) 2f ，所以切线方程为 3 2( 1)yx ，即 21yx 考点： 1、函数的奇偶性与解析式； 2、导数的几何意义 16已知直线 l ： 3 3 0m x y m 与圆 2212xy交于 ,AB两点，过 ,AB分别做 l

14、 的垂线与 x 轴交于 ,CD两点，若 23AB ，则 |CD _. 【答案】 4 【解析】 试题分析：因为 | | 2 3AB ，且圆的半径为 23，所以圆心 (0,0) 到直线3 3 0m x y m 的距离为 22|( ) 32ABR ，则由2| 3 3 | 31mm ，解得 33m ，代入直线 l 的方程，得 3 233yx，所以直线 l 的倾斜角为 30 ，由平面几何知识知在梯形 ABDC 中， | | 4cos 30ABCD 考点：直线与圆的位置关系 评卷人 得分 三、解答题（题型注释） 17已知数列 na 的前 n 项和 1nnSa ， 其中 0 （ ）证明 na 是等比数列，并

15、求其通项公式； （ ）若5 3132S，求 【答案】（ ） 1)1(1 1 nna ；（ ） 1 【解析】 试题分析：（ ）首先利用公式 111 2n nnSna S S n ，得到数列 na 的递推公式，然后通过变换结合等比数列的定义可证；（ ）利用（ ）前 n 项和 nS 化为 的表达式，结合 5S 的值，建立方程可求得 的值 2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 8 试题解析：（ ）由题意得 111 1 aSa ，故 1 ， 111a， 01a . 由 nn aS 1 ， 11 1 nn aS 得 nnn aaa 11 ，即 nn aa )1(1 .由 01a ，0 得 0na

16、，所以 11 nnaa . 因此 na 是首项为 11 ，公比为 1 的等比数列，于是 1)1(1 1 nna （ ）由（ ）得 nnS )1(1 ，由 32315S得 3231)1(1 5 ，即 5)1( 321 ， 解得 1 考点： 1、数列通项 na 与前 n 项和为 nS 关系； 2、等比数列的定义与通项及前 n 项和为 nS 18下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 （ ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明； （ ）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活

17、垃圾无害化处理量。 参考数据： 71 9.32ii y ， 71 40.17iii ty ， 7 21 ( ) 0 .5 5ii yy ， 7 2.646. 参考公式：相关系数 12211( ) ( )( ) ( y y )niiinniiiit t y yrtt， 回归方程 y a bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 121( )( )()niiiniit t y ybtt，=.a y bt 【答案】（ ）理由见解析；（ ） 1.82 亿吨 2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 9 【解析】 试题分析：（ ）根据相关系数 r 公式求出相关数据后，然后代入公式即可求得 r 的

18、值，最后根据其值大小回答即可；（ ）利用最小二乘法的原理提供的回归方程，准确求得相关数据即可建立 y 关于 t 的回归方程，然后作预测 试题解析：（ ）由折线图这数据和附注中参考数据得 4t ， 28)(712 i i tt， 55.0)(712 i i yy， 89.232.9417.40)( 7 1 7 17 1 i i iiii ii ytytyytt ， 99.06 4 6.2255.0 89.2 r . 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与 t 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系 . （ ）由 331.1732.9 y 及（ ）得7

19、17 21( ) ( ) 2. 89 0. 10 328()iiiiit t y ybtt ， 92.04103.0331.1 tbya . 所以， y 关于 t 的回归方程为： ty 10.092.0 . 将 2016 年对应的 9t 代入回归方程得： 82.1910.092.0 y . 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨 . 考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用 19如图，四棱锥 P ABC 中， PA 地面 ABCD ， AD BC ， 3AB AD AC ，4PA BC， M 为线段 AD 上一点， 2AM MD ， N 为 PC 的中点 （ ）证明

20、 MN 平面 PAB ； （ ）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值 . 【答案】（ ）见解析；（ ） 8525 2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 10 【解析】 试题分析：（ ）取 PB 的中点 T ，然后结合条件中的数据证明四边形 AMNT 为平行四边形，从而得到 MN AT ，由此结合线面平行的判断定理可证；（ ）以 A 为坐标原点，以,ADAP 所在直线分别为 ,yz轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线 AN 的方向向量与平面 PMN 法向量的夹角来处理 AN 与平面 PMN 所成角 试题解析：（ ）由已知得 232 ADAM ，取 BP 的中点 T ，连接 TNA

21、T, ，由 N 为 PC中点知 BCTN/ ， 221 BCTN . 又 BCAD/ ，故 TN平行且等于 AM ，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 ATMN/ . 因为 AT 平面 PAB ， MN 平面 PAB ，所以 /MN 平面 PAB . （ ）取 BC 的中点 E ，连结 AE ，由 ACAB 得 BCAE ，从而 ADAE ，且5)2( 2222 BCABBEABAE . 以 A 为坐标原点， AE 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 xyzA ，由题意知， )4,0,0(P ， )0,2,0(M ， )0,2,5(C ， )2,1,25(N ， )4,2,0( PM ， )2,1,25( PN ， )2,1,25(AN . 设 ),( zyxn 为平面 PMN 的法向量，则00PNnPMn ，即0225042zyxzx ，可取)1,2,0(n ， 于是25 58| |,c o s| ANn ANnANn.