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全国卷理科数学理科综合试题及答案.docx

1、2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 1 绝密 启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 3 理科数学 注意事项: 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第 I卷(选择题) 请点击修改第 I 卷的文字说明 1设集合 S= | ( 2 ) ( 3 ) 0 , | 0S x x x T x x ,则 SI T= ( A) 2, 3 ( B)( - , 2U 3,+) ( C) 3,+) ( D)( 0, 2U 3,+) 【答案】 D 【解析】 试题分析:由 ( 2)( 3) 0xx 解得 3x 或 2x ,所以 | 2 3S x x x 或

2、 ,所以 | 0 2 3 S T x x x 或,故选 D 考点: 1、不等式的解法; 2、集合的交集运算 2若 12zi ,则 4 1izz ( A) 1 ( B) -1 ( C) i ( D) -i 【答案】 C 【解析】 试题分析: 44(1 2 ) (1 2 ) 11ii iiizz ,故选 C 考点: 1、复数的运算; 2、共轭复数 3已知向量 13( , )22BAuuv , 31( , ),22BC uuuv 则 ABC= ( A) 300 ( B) 450 ( C) 600 ( D) 1200 【答案】 A 【解析】 试题分析:由题意,得1 3 3 1 32 2 2 2c o

3、s 1 1 2| | |B A B CABC B A B C ,所以30ABC ,故选 A 考点:向量夹角公式 2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 2 4某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中 A点表示十月的平均最高气温约为 150 C, B点表示四月的平均最低气温约为 50C。下面叙述不正确的是 ( A)各月的平均最低气温都在 00C以上 ( B)七月的平均温差比一月的平均温差大 ( C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 ( D)平均气温高于 200C 的月份有 5 个 【答案】 D 【解析】 试题分析:由图可知 0C 均在虚

4、线框内,所以各月的平均最低气温都在 0 以上, A正确;由图可在七月的平均温差大于 7.5C ,而一月的平均温差小于 7.5C ,所以七月的平均温差比一月的平均温差 大, B 正确;由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在 5C ,基本相同, C 正确;由图可知平均最高气温高于 20 的月份有 3 个或 2 个,所以不正确故选 D 考点: 1、平均数; 2、统计图 5若 3tan 4 ,则 2cos 2 sin 2 ( A) 6425 ( B) 4825 ( C) 1 ( D) 1625 【答案】 A 【解析】 试题分析:由 3tan 4 ,得 34sin , cos55或 34s in ,

5、 c o s55 ,所以2 1 6 1 2 6 4c o s 2 s i n 2 42 5 2 5 2 5 ,故选 A 考点: 1、同角三角函数间的基本关系; 2、倍角公式 6已知 432a , 254b , 1325c ,则 ( A) bac ( B) abc ( C) b c a ( D) c a b 【答案】 A 【解析】 2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 3 试题分析:因为 4223 3 5244ab, 1 2 23 3 32 5 5 4ca ,所以 bac,故选 A 考点:幂函数的图象与性质 7执行下图的程序框图,如果输入的 46ab, ,那么输出的 n ( A) 3 (

6、 B) 4 ( C) 5 ( D) 6 【答案】 B 【解析】 试题分析:第一次循环,得 2 , 4 , 6 , 6 , 1a b a s n ;第二次循环,得2 , 6 , 4 , 1 0a b a s , 2n ;第三次循环,得 2 , 4 , 6 , 1 6 , 3a b a s n ;第四次循环,得 2 , 6 , 4 , 2 0 1 6 , 4a b a s n ,退出循环,输出 4n ,故选 B 考点:程序框图 8在 ABC 中, 4B=, BC 边上的高等于 13BC,则 cosA= ( A) 31010( B) 1010( C) 1010-( D) 31010-【答案】 C 【

7、解析】 试题分析:设 BC 边上的高线为 AD ,则 3BC AD ,所以 22 5A C A D D C A D ,2AB AD 由 余 弦 定 理 , 知2 2 2 2 2 22 5 9 1 0c o s2 1 02 2 5A B A C B C A D A D A DA A B A C A D A D ,故选 C 考点:余弦定理 2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 4 9如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 ( A) 18 36 5 ( B) 54 18 5 ( C) 90 ( D) 81 【答案】 B 【解析】 试题分析:由

8、三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱,所以该几何体的表面积2 3 6 2 3 3 2 3 3 5 5 4 1 8 5S ,故选 B 考点:空间几何体的三视图及表面积 10在封闭的直三棱柱 1 1 1ABC A B C 内有一个体积为 V 的球,若 AB BC , 6AB ,8BC , 1 3AA ,则 V的最大值是 ( A) 4 ( B) 92 ( C) 6 ( D) 323 【答案】 B 【解析】 试题分析:要使球的体积 V 最大,必须球的半径 R 最大由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时,球的半径取得最大值 32 ,此时球的体积为 334 4 3 9()3 3 2 2R ,故选 B

9、 考点: 1、三棱柱的内切球; 2、球的体积 11已知 O 为坐标原点, F 是椭圆 C: 22 1( 0 )xy abab 的左焦点, A, B分别为 C的左,右顶点 .P 为 C上一点,且 PF x 轴 .过点 A的直线 l与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE的中点,则 C的离心率为 ( A) 13( B) 12( C) 23( D) 34 【答案】 A 【解析】 试题分析:由题意设直线 l 的方程为 ()y k x a,分别令 xc 与 0x 得点2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 5 | | ( )FM k a c, |OE ka ,由 O

10、BE CBM,得1|2| | | |OE OBFM BC ,即2 ( c)ka ak a a c,整理,得 13ca ,所以椭圆离心率为 13e,故选 A 考点:椭圆方程与几何性质 12定义 规范 01数列 an如下: an共有 2m项,其中 m项为 0, m项为 1,且对任意 2km ,12, , , ka a a 中 0 的个数不少于 1 的个数 .若 m=4,则不同的 规范 01数列 共有 ( A) 18 个 ( B) 16 个 ( C) 14 个 ( D) 12 个 【答案】 C 【解析】 试题分析:由题意,得必有 1 0a , 8 1a ,则具体的排法列表如下: 0 0 0 0 1

11、1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 考点:计数原理的应用 2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 6 第 II卷(非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 13若 ,xy满足约束条件 10202 2 0xyxyxy 则 z x y 的最大值为 _. 【答案】 32 【解析】 试题分析:作出不等式组满足的平面区域,如图所示,由图知,当目标函数 z x y 经过点 1(1, )2A 时取得最大值,即max 1

12、31 22z 考点:简单的线性规划问题 14函数 sin 3 cosy x x 的图像可由函数 sin 3 cosy x x 的图像至少向右平移_个单位长度得到 【答案】 3 【解析】 试题分析:因为 s i n 3 c o s 2 s i n ( )3y x x x , s i n 3 c o s 2 s i n ( )3y x x x 2 sin( ) 33x ,所以函数 sin 3 cosy x x 的图像可由函数 的图像至少向右平移 3 个单位长度得到 考点: 1、三角函数图象的平移变换; 2、两角和与差的正弦函数 15已知 fx为偶函数,当 0x 时, ( ) ln( ) 3f x

13、x x ,则曲线 y f x 在点 (1, 3)处的切线方程是 _。 【答案】 21yx 【解析】 sin 3 cosy x x2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 7 试题分析:当 0x 时, 0x,则 ( ) ln 3f x x x 又因为 ()fx 为偶函数,所以( ) ( ) ln 3f x f x x x ,所以 1( ) 3fx x ,则切线斜率为 (1) 2f ,所以切线方程为 3 2( 1)yx ,即 21yx 考点: 1、函数的奇偶性与解析式; 2、导数的几何意义 16已知直线 l : 3 3 0m x y m 与圆 2212xy交于 ,AB两点,过 ,AB分别做 l

14、 的垂线与 x 轴交于 ,CD两点,若 23AB ,则 |CD _. 【答案】 4 【解析】 试题分析:因为 | | 2 3AB ,且圆的半径为 23,所以圆心 (0,0) 到直线3 3 0m x y m 的距离为 22|( ) 32ABR ,则由2| 3 3 | 31mm ,解得 33m ,代入直线 l 的方程,得 3 233yx,所以直线 l 的倾斜角为 30 ,由平面几何知识知在梯形 ABDC 中, | | 4cos 30ABCD 考点:直线与圆的位置关系 评卷人 得分 三、解答题(题型注释) 17已知数列 na 的前 n 项和 1nnSa , 其中 0 ( )证明 na 是等比数列,并

15、求其通项公式; ( )若5 3132S,求 【答案】( ) 1)1(1 1 nna ;( ) 1 【解析】 试题分析:( )首先利用公式 111 2n nnSna S S n ,得到数列 na 的递推公式,然后通过变换结合等比数列的定义可证;( )利用( )前 n 项和 nS 化为 的表达式,结合 5S 的值,建立方程可求得 的值 2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 8 试题解析:( )由题意得 111 1 aSa ,故 1 , 111a, 01a . 由 nn aS 1 , 11 1 nn aS 得 nnn aaa 11 ,即 nn aa )1(1 .由 01a ,0 得 0na

16、,所以 11 nnaa . 因此 na 是首项为 11 ,公比为 1 的等比数列,于是 1)1(1 1 nna ( )由( )得 nnS )1(1 ,由 32315S得 3231)1(1 5 ,即 5)1( 321 , 解得 1 考点: 1、数列通项 na 与前 n 项和为 nS 关系; 2、等比数列的定义与通项及前 n 项和为 nS 18下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图 ( )由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; ( )建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01),预测 2016 年我国生活

17、垃圾无害化处理量。 参考数据: 71 9.32ii y , 71 40.17iii ty , 7 21 ( ) 0 .5 5ii yy , 7 2.646. 参考公式:相关系数 12211( ) ( )( ) ( y y )niiinniiiit t y yrtt, 回归方程 y a bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 121( )( )()niiiniit t y ybtt,=.a y bt 【答案】( )理由见解析;( ) 1.82 亿吨 2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 9 【解析】 试题分析:( )根据相关系数 r 公式求出相关数据后,然后代入公式即可求得 r 的

18、值,最后根据其值大小回答即可;( )利用最小二乘法的原理提供的回归方程,准确求得相关数据即可建立 y 关于 t 的回归方程,然后作预测 试题解析:( )由折线图这数据和附注中参考数据得 4t , 28)(712 i i tt, 55.0)(712 i i yy, 89.232.9417.40)( 7 1 7 17 1 i i iiii ii ytytyytt , 99.06 4 6.2255.0 89.2 r . 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与 t 的线性相关相当高,从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系 . ( )由 331.1732.9 y 及( )得7

19、17 21( ) ( ) 2. 89 0. 10 328()iiiiit t y ybtt , 92.04103.0331.1 tbya . 所以, y 关于 t 的回归方程为: ty 10.092.0 . 将 2016 年对应的 9t 代入回归方程得: 82.1910.092.0 y . 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨 . 考点:线性相关与线性回归方程的求法与应用 19如图,四棱锥 P ABC 中, PA 地面 ABCD , AD BC , 3AB AD AC ,4PA BC, M 为线段 AD 上一点, 2AM MD , N 为 PC 的中点 ( )证明

20、 MN 平面 PAB ; ( )求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值 . 【答案】( )见解析;( ) 8525 2016年全国卷 3理科数学 试题及答案解析 10 【解析】 试题分析:( )取 PB 的中点 T ,然后结合条件中的数据证明四边形 AMNT 为平行四边形,从而得到 MN AT ,由此结合线面平行的判断定理可证;( )以 A 为坐标原点,以,ADAP 所在直线分别为 ,yz轴建立空间直角坐标系,然后通过求直线 AN 的方向向量与平面 PMN 法向量的夹角来处理 AN 与平面 PMN 所成角 试题解析:( )由已知得 232 ADAM ,取 BP 的中点 T ,连接 TNA

21、T, ,由 N 为 PC中点知 BCTN/ , 221 BCTN . 又 BCAD/ ,故 TN平行且等于 AM ,四边形 AMNT 为平行四边形,于是 ATMN/ . 因为 AT 平面 PAB , MN 平面 PAB ,所以 /MN 平面 PAB . ( )取 BC 的中点 E ,连结 AE ,由 ACAB 得 BCAE ,从而 ADAE ,且5)2( 2222 BCABBEABAE . 以 A 为坐标原点, AE 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 xyzA ,由题意知, )4,0,0(P , )0,2,0(M , )0,2,5(C , )2,1,25(N , )4,2,0( PM , )2,1,25( PN , )2,1,25(AN . 设 ),( zyxn 为平面 PMN 的法向量,则00PNnPMn ,即0225042zyxzx ,可取)1,2,0(n , 于是25 58| |,c o s| ANn ANnANn.

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