分式全章复习与巩固提高导学案习题含答案.doc

1、 分式全章复习与巩固（ 提高 ） 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为 0 的条件 . 2了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则 3掌握分式的四则运算 4结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的 知识体系 5结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想 【知识网络】 【要点梳理】 要 点一、分式的有关概念及性质 1分式 一般地，如果 A、 B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 AB 叫做分式 .其中 A叫做分子， B 叫做分母 . 要点诠释 ：

2、 分式中的分母表示除数，由于除数不能为 0，所以分式的分母不能为 0，即当 B 0 时，分式 AB 才有意义 . 2.分式的基本性质 （ M 为不等于 0 的整式） . 3最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式 .如果分子分母有公因式，要进行约分化简 . 要 点二、分式的运算 1约分 利用分式的基本性质， 把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分 . 2通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分 3基本运算法则 分式的运算法则 与分数的运算法则类似 ,具体运

3、算法则如下 : （ 1）加减运算 a b a bc c c ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减 . ； 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 . （ 2）乘法运算 a c acb d bd ，其中 a b c d、 、 、 是整式， 0bd . 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积 作为积的分母 . （ 3）除法运算 a c a d adb d b c bc ，其中 a b c d、 、 、 是整式， 0bcd . 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘 . （ 4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 4零指数 . 5.

4、负整数指数 6.分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的 . 要 点三、分式方程 1分式方 程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母 ,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程 3分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会出现不适合原方程的根 -增根 . 要点诠释 ： 因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根 验根的方法是将所得的根带入到最简公

5、分母中，看它是否为 0，如果为 0，即为 增根，不为 0，就是原方程的解 . 要 点四、分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解 . 【典型例题】 类型一、分式及其基本性质 1、 当 x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案 】 C； 【解析 】 一个分式有无意义，取决于它的分母是否等于 0.即若 是一个分式，则 有意义B 0.当 x 0 时， 2 0x ，所以选项 A 不是；当 12x

6、时， 2 1 0x ，所以选项 B不是；因为 2 0x ，所以 2 10x ，即不论 x 为何实数，都有 2 10x ，所以选项 C 是；当 x 1 时， x 1 0，所以选项 D 不是 . 【 总结升华 】 分式有意义的条件是分母不为零，无意义的条件是分母为零 . 2、 不改变分式的值，把下列各式分子与分母中各项的系数都化为最简整数 （ 1）14231134abab； （ 2） 0.3 0.20.05xyxy； （ 3）222230.41010.64xyxy 【答案 与解析 】 解：（ 1）1414 126 16232311 11 431234 34abab ababab ab （ 2） 0

7、.3 0.20.05xyxy (0 . 3 0 . 2 ) 1 0 0 3 0 2 0(0 . 0 5 ) 1 0 0 5 1 0 0x y x yx y x y 5 (6 4 ) 6 45 ( 2 0 ) 2 0x y x yx y x y； （ 3）原式 2 2 2 22 2 2 2(0 . 4 0 . 3 ) 1 0 0 4 0 3 0(0 . 2 5 0 . 6 ) 1 0 0 2 5 6 0x y x yx y x y 2 2 2 22 2 25 ( 8 6 ) 8 65 ( 5 1 2 ) 5 1 2x y x yx y x y； 【 总结升华 】 在确定分子和分母中所有分母的最小

8、公倍数时，要把小数先化成最简分数；相乘时分子、分母要加括号，注意不要漏乘 类型二、分式运算 3、 计算：241 1 2 41 1 1 1x x x x 【思路点拨】 本题如果直接通分计算太繁琐，观察比较发现，前两个分式分母之积为平方差公式，通分后与第三个分式的分母又符合平方差公式，以此类推可解此题 【答案 与解析 】 解：原式2 2 4 4 4 82 2 4 4 4 81 1 1 1 1 1x x x x x x 【 总结升华 】 此类题在进行计算时采用“分步 通分”的方法，逐步进行计算，达到化繁为简的目的在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑 举一反三： 【变式】 计算 1 1 1( 1 )

9、 ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 )a a a a a a 1( 2 0 0 5 ( 2 0 0 6 )aa 【答案】 解： 原式 1 1 1 1 1 11 1 2 2 3a a a a a a 112 0 0 5 2 0 0 6aa1 1 1 1 1 11 1 2 2 3a a a a a a 112 0 0 5 2 0 0 6aa 21 1 2 0 0 6 2 0 0 62 0 0 6 ( 2 0 0 6 ) ( 2 0 0 6 ) 2 0 0 6aaa a a a a a a a 类型三、分式条件求值的常用技巧 4、 已知 1 4x x，求 2421xxx的值 【思路点拨】

10、直接求值很困难，根据其特点和已知条件，能够求出其倒数的值，这样便可求出 2421xxx的值 【答案 与解析 】 解：方法一： 4 2 4 2 2 22 2 2 21 ( 1 ) 11x x x x x xx x x x 2221111xxxx ，而 1 4x x， 422 1 15xxx， 242 11 15xxx 方法二：原式 224 2 2 221 1( 1 ) 1xxx x x x x 2211 1xx 211151 1xx 【 总结升华 】 （ 1）本题运用转化思想将所求分式通过分式的基本性质转化为已知分式的代数式来求值（ 2）根据完全平方公式，熟练掌握 1x x 、 221x x、

11、422 1xxx之间的关系 ，利用它们之间的关系进行互相转化 举一反三： 【变式】 已知 a b c、 、 为实数，且 13abab ， 14bcbc ， 15acca ， 求 abcab bc ca 的值 【答案】 解： 13abab ， 14bcbc ， 15caca ， 3abab ， 4bcbc ， 5caca ， 则 113ba， 114cb， 115ac， 将这三个等式两边分别相加，得 1 1 12 12abc ， 1 1 1 6abc 1 1 11 1 1 6abc a b b c a ca b b c a c a b c a b c 5、 设 0abc ，且 3 2 7 0a

12、b c ， 7 4 15 0a b c ，求 2222 2 24 5 623a b ca b c的值 【答案 与解析 】 解：解关于 a 、 b 的方程组 3 2 7 07 4 15 0a b ca b c 得2acbc 把2acbc 代入原式中， 原式 2 2 2 22 2 2 24 5 ( 2 ) 6 2 2 1 12 ( 2 ) 3 1 2 6c c c cc c c c 【 总结升华 】 当所求分式的分子、公母无法约分，也无法通过解方程组后代入求值时，若将两个三元一次方程中的一个未知数当作已知数时，即可通过解方程组代入求值 举一反三： 【变式】 已知 222 3 0x xy y ，且

13、xy ，求2xxyxy 的值 【答案】 解： 因为 222 3 0x xy y ， 所以 ( )(2 3 ) 0x y x y ， 所以 0xy或 2 3 0xy， 又因为 xy ，所以 0xy， 所以 2 3 0xy，所以 23yx ， 所以222233xxyxxyxx327 7333xxx x x 类型 四 、分式方程的解法 6、 解方程2 6 3 52 5 ( 3 ) ( 5 ) ( 3 ) ( 5 )x x x x x 【答案 与 解析 】 解：原方程整理得： 6 3 5( 5 ) ( 5 ) ( 3 ) ( 5 ) ( 3 ) ( 5 )x x x x x x 方程两边同乘以 ( 3

14、)( 5)( 5)x x x 得： 6 ( 3 ) 3 ( 5 ) 5 ( 5 )x x x 去括号，移项合并同类项得： 28x ， 4x 检验：把 4x 代入 ( 3 )( 5 )( 5 ) 0x x x 4x 是原方程的根 【 总结升华 】 解分式方程的基本思想是：设法将分式方程“转化”为整式方程，去分母是解分式方程的一般方法，在方程两边同乘以各分式的最简公分母，使 分 式方程转化为整式方程但要注意可能会产生增根，所以必须验根 举一反三： 【变式】 学完分式方程后，张老师出了这样一道题：已知方程 434x x k的根为正数，试探索 k 的取值范围，并请大家讨论，下面是甲、乙两学生的对话 甲

15、： 43 4x x k，故 4k 乙： 根为正数， 3( 4) 4( )x x k 12 4 0xk 3k 请问：（ 1）甲的说法正确吗？若正确，请在 k 的范围内选取一个你喜欢的数值代入，求x 的值；若不正确，试举一反例说明（ 2）乙的说法正确吗？ 【答案】 解：（ 1）甲的说法不正确，举一反例说明： 若 3k 时，原方程转化为 43xx 3( 4) 4( 3)xx 解得： 0x ，不符合题意 （ 2）乙的说法是正确的 类型 五 、分式方程的应用 7、 某公司投资某个项目，现有甲、乙两个工程队有能力承包这个项目，公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的 2 倍；甲乙两队合作完成工程需要

16、20 天；甲队每天的工作费用 为 1000 元，乙队每天工作费用为 550 元，根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队，应付工程队费用多少元 ? 【思路点拨】 本题应先求他们完成工程所用的天数，再求出他们各自所需的费用，进行比较选择 【答案 与解析 】 解：设甲队单独完成需 x 天，则乙队单独完成需要 2x 天， 根据题意得： 1 1 12 20xx 解得： x 30 经检验 x 30 是原方程的解 当 x 30 时， 2x 60，都符合题意， 应付甲队 30 1000 30000(元 )；应付乙队 30 2 550 33000(元 ) 公司应选择甲工程队，应付工程队总费用为

17、 30000 元 【 总结升华 】 (1)工程问题类的应用题，常常选用工作效率或工作时间或工作量作 相等关系来列方程 (2)在工程问题中 ， 常用 1 表示工作总量，且工作总量工作效率工作天数依据这一基本关系式找相等关系列方程 举一反三： 【变式】 某项工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期 3 天现两队合做2 天后，余下的工程再由乙队独做，也正好在限期内完成，问该工程限期是多少天？ 【答案】 解：设该工作限期为 x 天，则甲队的工作效率为 1x ，乙队的工作效率为 13x 依题意列出方程： 1 1 12 ( 2 ) 133xx x x 整理，得 2 13xxx 两边都乘以 (

18、3)xx ，得 22 ( 3 ) ( 3 )x x x x 解这个整式方程，得 6x 经检验， 6x 是原方程的根 答：该工程限期是 6 天 【巩固练习】 一 .选择题 1下列关于 x 的方程，其中不是分式方程的是（ ） A. abaax 1 B. xabxba 11 C. bxaax 1 D. 1 nx mxmx nx 2 ba baba baba ba 22 )()( 的结果是（ ） AbabaBbabaC 2)(ba baD 1 3分式方程)2( 6223 xxxx的解是（ ） A 0 B 2 C 0 或 2 D无解 4某班学生军训打靶，有 m 人各中靶 a 环， n 人各中靶 b 环，

19、那么所有中靶学生的平均环数是（ ） A abmn B am bnmn C 1()2 abmn D 1()2 am bn 5某农场挖一条 480 米的渠道，开工后，每天比原计划多挖 20 米，结果提前 4 天完成任务，若设原计划每天挖 x 米，那么下列方程正确的是（ ） A 480 480 420xx B 480 480 204xx C 480 480 420xx D 480 480 204xx 6化简22)11( yx xyyx 的结果是 ( ) Ayx1Byx 1C xy D yx 7.若关于 x 的方程 2 4 03x x ax 有增根，则 a 的值为（ ） A 13 B -11 C 9

20、D 3 8. 甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过 ah 相遇；若同向而行，则经过 bh 甲追上乙那么甲的速度是乙的（ ） A abb 倍 B bab 倍 C abba 倍 D baba 倍 二 .填空题 9若分式1|2x xx的值为 0，则 x 的值为 _ 10若 2212x y xy，且 xy 0，则分式yx yx 2 3的值为 _ 11化简 22936aba b ab _；242 6 aaab _ 12 |3|)12()21( 01 _ 13计算 2232a ab 并把结果化成只含有正整数指数幂形式为 _ 14 2x 是否为方程 11322xxx的解？答： _ 15若分式方程

21、 12772 3 xax x 的解是 0x ，则 a _ 16 a 个人 b 天可做 c 个零件 (设每人速度一样 )，则 b 个人用同样速度做 a 个零件所需天数是 _ 三 .解答题 17.（ 1）已知 1 3a a，求 221a a， 441a a的值； （ 2）已知 221 7a a，求 1a a 的值 18.已知 3 4 5x y y z z x ，求( )( )( )xyzx y y z x z 的值 19.a 为何值时，关于 x 的方程2232 4 2axx x x 会产生增根？ 20. 某文化用品商店用 2000 元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包

22、，所购数量是第一批购进数量的 3 倍，但单价贵了 4 元，结果第二批用了 6300元 （ 1）求第一批购进书包的单价是多少元？ （ 2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是 120 元，全部售出后，商店共盈利多少元？ 【答案与解析】 一 .选择题 1. 【答案】 C； 【解析】分式方程是分母含有未知数的等式 . 2. 【答案】 B； 【解析】 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b . 3. 【答案】 D； 【解析】去分母得， 3 2 2 6xx ，解得 2x 是增根 . 4. 【

23、答案】 B； 5. 【答案】 A； 【解析】原计划所用时间为 480x，实际所用时间为 48020x ，选 A 6. 【答案】 B； 【解析】221 1 1() ( ) ( )x y y x x yx y x y x y x y x y x y . 7. 【答案】 D； 【解析】因为所给的关于 x 的方程有增根，即有 30x ，所以增根是 3x 而 3x 一定是整式方程 2 40x x a 的根，将其代入得 23 4 3 0a ，所以3a 8. 【答案】 C； 【解析】不妨设甲乙两人开始时相距 s 千米，甲的速度为 1v ，乙的速度为 2v ， 则根据题意有 1212( ),( ).s a v

24、 vs b v v 于是 1 2 1 2( ) ( )a v v b v v ， 所以 21( ) ( )a b v b a v ，即 12v abv b a 甲的速度是乙的 abba 倍 二 .填空题 9. 【答案】 0； 【解析】由题意 2 0xx 且 | | 1 0x ，解得 0x . 10.【答案】 1； 【解析】由 2212x y xy得 4 3 0x y x y ，因为 xy 0，所以 4xy ，代入原式得 3 12xyxy . 11.【答案】 32ab ； 312ba ； 【解析】 2 2 2 2229 9 33 6 3 ( 2 ) 2a b a b a ba b a b a b a b ab ；26 6 32 4 2 (1 2 ) 1 2a b a b ba a a a a . 12.【答案】 4； 【解析】 101( ) ( 2 1 ) | 3 | 2 1 3 42 . 13.【答案】841ab； 【解析】 223 2 6 2 4841a a b a a b ab .