计算方法作业参考答案不断更新.docx

1、 第一次作业 1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，指出他们有几位有效数字，并写出绝对误差限。 9 8 0 01074 8 0.566.3 8 50 3 1.01 0 2 1.1 *65*5*4*3*2*1 xxxxxx 解： 1*1 101 1 0 2 1.01 0 2 1.1 x ，有 5 位有效数字，绝对误差限为 4-5-1 105.0105.0 ； 1-*2 1031.0031.0 x ，有 2 位有效数字，绝对误差限为 3-2-1- 105.0105.0 ； 3*3 103856.06.385 x ；有 4 位有效数字，绝对误差限为 -14-3 105.0105.0 ； 2*4

2、105 6 4 8 0.04 8 0.56 x ；有 5位有效数字，绝对误差限为 3-5-2 105.0105.0 ； 65*5 107.0107 x ；有 1 位有效数字，绝对误差限为 51-6 105.0105.0 ； 4*6 109 8 0 0.09 8 0 0 x ；有 4 位有效数字，绝对误差限为 5.0105.0 4-4 。 2.要使 20 的近似值的相对误差限小于 %1.0 ，要取几位有效数字？ 解： 由于 1104 4 7 2 1 3 5 9 5.04 7 2 1 3 5 9 5.420 ，设要取 n 位有效数字，则根据定理 1.1.1，有 %1.01081102 1 111

3、nnr x，解得 4n ，即要取 4 位有效数字。 3.序列 ny 满足递推关系 ,2,1,110 1 nyy nn 若 41.10 y ，计算到 10y 时误差有多大？这个计算过程数值稳定吗？ 解： *00* 222* 11* 101010 yyyyyyyy nnnnnnn ，由于 *0y 有 3 位有效数字，且 1*0 10141.041.1 y ，所以 *0y 的绝对误差限为 2-105.0 ，因此 *10y 的绝对误差限为 72-10 105105.010 。很明显这个计算过程不是数值稳定的。 作业中出现的问题： 第一题：主要是第五个数 5*5 107x ，不知道它有几位有效数字，很多

4、同学认为有5 或者 6 位有效数字，这是不对的，进而算错绝对误差限。另外有个别同学分不清有效数字的概念，六个数的有效数字都弄错了。 第二题：主要是算错 n ，不知道该取 3 还是 4。 第三题：没有什么大的问题。有个别同学一个数一个数的算出来了，这是不可取的。直接迭代误差就行了。 附 ：地物 1301 班和 1302 班有几个同学花名册上没有名单，我添加上去了。 第 二 次作业 1. 利用二分法求方程 在 2,3内根的近似值，并指出误差。 解 ： ，当 时， ，则在 2,3上有且只有一个根。 取 ， ; 取 ， ; 取 ， ; 取 ， ; 故可取根的近似值为 ; 误差 | 。 2.证明方程 在

5、 0,1内有一个根，使用二分法求误差不大于 的根需要二分区间多少次？ 解 ：令 ， ，故 ，且，故 在 0,1内有唯一的根。 设需要二分区间 次，则有 ，故需要二分区间 14 次。 3.为求方程 在 附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式： (1) ，迭代公式 ; (2) ，迭代公式 ; (3) ，迭代公式 。 试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。 解 ：设 ，则 ， ，所以方程在 1.4， 1.5上有根。 (1) ， ， ，当 时， ，所以迭代格式收敛。 (2) ， ， ，当 时，所以迭代格式收敛。 (3) ， ， ，当 时，所以迭代格

6、式发散。 选择迭代格式 (2) ， .计算到 ，具有四位有效数字。 作业中出现的问题： 第一题： 有的同学没有讨论根的存在唯一性，再就是没有二分足够的次数或者分的次数太多，另外不会利用误差公式来计算误差。 第 二 题 ：没有什么大问题，有部分同学算的时候没有减一，导致结果是 15 次。 第三题：有的同学选取的区间不对（太大），导致分析收敛性的出错，其次是有的同学利用迭代公式 (1)计算，这样计算的很慢，很繁琐，推荐使用迭代公式 (2)计算比较好，另外计算的时候，没有分清什么是有效数字，导致计算结果不对。 第 三 次作业 1. 求方程 在 附近的一个根， 试分析三种 迭代公式 的收敛性 ： (1

7、) ，迭代公式 ; (2) ，迭代公式 ; (3) ，迭代公式 。 解 ：设 ，则 ， ，所以方程在 1.4， 1.5上有根。 (1) ， ， ，当 时， ，所以迭代格式收敛。 (2) ， ， ，当 时，所以迭代格式收敛。 (3) ， ， ，当 时，所以迭代格式发散。 选择迭代格式 (2) ， .计算到 ，具有四位有效数字。 2. 应用牛顿法解方程 03 ax ，导出求立方根 3a 的近似公式。 解： 令 axxf 3 ，则 3a 为方程 0xf 的根，且 2 3xxf ，则求 3a 的牛顿迭代公式为 2231 2313 kkkkkk xaxx axxx。 当 3a 时，取 5.10x ，通过

8、计算可得 4 4 2 2 4.1,4 4 2 2 5.1,4 4 4 4.1 321 xxx ，取四位有效数字所以 442.133 。 3. 利用割线法求 0133 xx 在 2x 附近的一个根，取 9.1,2 10 xx ，保留四位有效数字。 解： 令 133 xxxf ，初值 9.1,2 10 xx ，利用公式 1313 1313 13131 kkkkkkkkkk xxxx xxxxxx 进行迭代： 8794.18795.18796.18800.10389.09189.18813.17.79.1/1.07.69.19.16543332xxxxx综上， 0133 xx 在 2x 附近实根精确

9、到四位有效数字的近似值为 1.879。 作业中出现的问题： 第 一 题： 没有什么大问题。 第二题：没有什么大问题，有个别同学迭代公式写错了，导致结果出错。 第三题：主要要是四位有效数字，有很多同学都计算错了。迭代公式基本没错。 第 四 次作业 1. xy 在 144121100 、x 三处的值是容易求得的，试以这三点建立 xy 的抛物插值公式，并近似求 115 之值，且给出误差估计。 解： 先给出线性插值函数： 4421 )144)(121()144100)(121100( )144)(121()(0 xxxxxl2321 )1 4 4)(1 0 0()1 4 41 2 1)(1 0 01

10、2 1( )1 4 4)(1 0 0()(1 xxxxxl2344 )1 2 1)(1 0 0()1 2 11 4 4)(1 0 01 4 4( )1 2 1)(1 0 0()(2 xxxxxl接着利用这三个插值函数构造抛物插值公式 ： 2344 )1 2 1)(1 0 0(122321 )1 4 4)(1 0 0(114421 )1 4 4)(1 2 1(10)(2 xxxxxxxp 则我们可以得到 115 的近似值： 7 2 2 7.102344 )121115)(100115(122321)144115)(100115(114421)144115)(121115(10115)115(2

11、p下面给出误差估计： )1 4 4)(1 2 1)(1 0 0(161)1 4 4)(1 2 1)(1 0 0)(!31)(25)3( xxxxxxfxR 其中 144,100 0011502.0115 R 2.已知函数表 x 1.1275 1.1503 1.1735 1.1972 xfy 0.1191 0.13954 0.15932 0.17903 应用 Lagrange 插值多项式计算 1300.1f 的近似值。 解： 3231303210232120231013121013200302010321332211003yxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxx

12、xxyxxxxxxxxxxxxyxlyxlyxlyxlxp则有 1 2 1 4.01 3 0 0.11 3 0 0.1 3 pf 作业中出现的问题： 第 一 题： 没有什么大问题，只是有个别同学计算错误。另外计算误差的时候，有个别同学算的挺离谱的，还有就是不必计算到 4 阶导数值，误差公式得记得。 第二题：没有什么大问题，有个别同学只用了两个插值函数。少数同学计算错误。 第 五 次作业 1.若 137 xxxf ， 问 ： ？ 82107210 2,2,2,22,2,2,2 ff 解： 由差商性质 banfxxxf nn ,!, 10 可得 0!802,2,2,21!7 !72,2,2,2 8

13、2107210 ff 2.已知函数表： x 1.615 1.634 1.702 1.828 1.921 xf 2.41450 2.46459 2.65271 3.03035 3.34066 构造出差商表，并利用 Newton插值多项式计算 xf 在 813.1,682.1x 处的值。 解： 由给定的数据做差商表如下： kx kxf 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 1.615 2.41450 1.634 2.46459 2.63632 1.702 2.65271 2.76647 1.49598 1.828 3.03035 2.99714 1.18902 -1.44113 1.921 3.

14、34066 3.33667 1.55037 1.25906 8.82415 则 Newton插值多项式为 8 2 4 1 5.88 2 8.17 0 2.16 3 4.16 1 5.1 4 4 1 1 3.17 0 2.16 3 4.16 1 5.14 9 5 9 8.16 3 4.16 1 5.16 3 6 3 2.26 1 5.16 1 5.14xxxxxxxxxxxN 则， 98332.2813.1 f 5 9 6 1 2.26 8 2.1 f 3.给定函数表： x 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 xf 1.00 1.257625 1.531000 1.820875 2

15、.12800 试利用 Newton向前插值公式计算 xf 在 03.1x 处的值。 解： 由给定的数据做差分表如下： kx kxf ky ky2 ky3 ky4 1.00 1.00 1.05 1.257625 0.257625 1.10 1.531000 0.273375 0.01575 1.15 1.820875 0.289875 0.01650 0.00075 1.20 2.12800 0.307125 0.01725 0.00075 0 6.005.0 103.10 h xxt 则 Newton向前插值公式为 0 0 0 7 5.0!3 26.016.06.00 1 5 7 5.0!2

16、16.06.02 5 7 6 2 5.06.000.14 xN则 152727.103.1 f 4.设有某实验数据如下： x 1.36 1.49 1.73 1.81 1.95 2.16 2.28 2.48 y 14.094 15.069 16.844 17.378 18.435 19.949 20.963 22.495 试用最小二乘法分别求一次及二次多项式曲线拟合以上数据。 解： （ 1）假设 bxay ，利用数据计算以下和式： 26.1581 i ix ， 1556.3081 2 i ix ， 227.14581 i iy ， 83628.28481 ii i yx 则有 9 1 6.326

17、.151 5 5 6.3088 3 6 2 8.2 8 426.152 2 7.1 4 51 5 5 6.3082281812818181812 iiiiiiiiiiiiixxyxxyxa 4 6 4.726.151 5 5 6.3082 2 7.1 4 526.158 3 6 2 8.2 8 48882281812818181 iiiiiiiiiiixxyxyxb 则有近似一次多项式为 916.3464.7 xy （ 2） 假设 2210 xaxaay ，利用数据计算以下和式： 528778.6181 3 i ix ， 1 1 7 7 5 8 1.12981 4 i ix ， 3678718

18、.5778 1 2 i ii yx ，可得方程组： 3 6 7 8 7 1 8.5 7 78 3 6 2 8.2 8 42 2 7.1 4 51 1 7 7 5 8 1.1 2 95 2 8 7 7 8.611 5 5 6.305 2 8 7 7 8.611 5 5 6.3026.151 5 5 6.3026.158210aaa 求解可得： 30036.031451.697625.4 210 aaa 则有近似二次多项式为 230036.031451.697625.4 xxy 作业中出现的问题： 第 一 题： 没有什么大问题，会利用公式就行了。 第二题：没有什么大问题，差商表能构造出来就行，再套公式，还是有个别同学计算错误。 第三题：没有什么大问题，能构造出差分表会套公式就行，还有就是要记得算那个 t 。 第四题：主要是计算错误，公式套用倒都是对的，算错的基本上都是 812i ix算错，进而下面计算也会错。其实利用 excel或者 matlab 计算就行。