考研数学一真题及答案全.doc

1、数学（一）试题 第 1 页（共 4 页）2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上（1）若函数 在 连续，则1cos,0()xfxab(A) (B) (C) (D) 2ab120ab2ab【答案】A【详解】由 ,得 . 01coslimxxa（2）设函数 可导，且 则f()0f(A) (B) 11f(C) (D) .ff f【答案】C【详解】 ,从而 单调递增, .2()()0fxfx2()fx22(1)ff（3）函数 在点 处沿着向量 的方

2、向导数为2,fyzz(1, ,n(A) (B) (C) (D) 1642【答案】D【详解】方向余弦 ,偏导数 ,代入2cos,sco33,xyzffxf即可.cosxyzfff（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线 (单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线 (单位：m/s)，三块阴影部分面积1)vt 2)vt的数值一次为 10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s) ，则数学（一）试题 第 2 页（共 4 页）(A) (B) (C) (D) 01t0152t025t025t【答案】C【详解】在 时,乙比甲多跑 m,而最开始的时候甲在

3、乙前方 m 处.02t 1（5）设 为 维单位列向量， 为 阶单位矩阵，则nEn(A) 不可逆 (B) 不可逆TETE(C) 不可逆 (D) 不可逆22【答案】A【详解】可设 ,则 的特征值为 ,从而 的特征值为T 1,0 TE,因此 不可逆.01 E（6）设有矩阵 ， ，201A201B2C(A) 与 相似， 与 相似 (B) 与 相似， 与 不相似CAB(C) 与 不相似， 与 相似 (D) 与 不相似， 与 不相似【答案】B【详解】 的特征值为 ,但 有三个线性无关的特征向量,而 只有两个,所以,A21可对角化, 则不行.（7）设 为随机事件，若 ， ，则 的充分0()PA0()1B(|

4、)(|)PAB必要条件(A) (B) (|)(|)PBA(|)(|)(C) (D) | |【答案】A【详解】由 得 ,即(|)(|)PBA()()()1PBAPAB;()由 也可得 .|(|)A()()PB（8）设 为来自总体 的简单随机样本，记 ，则下12,nX ,1N1niiX列结论不正确的是数学（一）试题 第 3 页（共 4 页）(A) 服从 分布 (B) 服从 分布21()niiX221()nX(C) 服从 分布 (D) 服从 分布21()nii2 2()【答案】B【详解】 ;2211(0,)(),)(1)nni i ii iXNXXn. 21(,)();n 211(0,)()nnN二

5、、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上（9）已知函数 21(),fx(3)0f【答案】0【详解】 ,没有三次项.242()(1)f xx（10）微分方程 的通解为 03y【答案】 12e(cossin)xyCx【详解】特征方程 得 ,因此 .2r1ri12e(cossin)xyCx（11）若曲线积分 在区域 内与路径无关，则Lyxad2),(2xDa【答案】 1【详解】有题意可得 ,解得 .QPx1a（12）幂级数 在(-1,1)内的和函数 11)(nn ()Sx【答案】 2()x【详解】 .1 211()()nnnx数学（一）试题 第 4 页（共 4

6、 页）（13） ， 是 3 维线性无关的列向量，则 的102A2， 321,A秩为 【答案】2【详解】 123(,)(2rrA（14）设随即变量 的分布函数 ，其中 为标准正态X4)0.5().()2xFx)(x分布函数，则 E【答案】2【详解】 .0.()d,()()dxxfx 三、解答题：1523 小题，共 94 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将答案写在答题纸指定位置上（15） （本题满分 10 分） 设函数 具有 2 阶连续偏导数， 求 .(,)fuv(e,cos),xyf200,xxdy【答案】 e,cosxyf122 1212122 2in,0(,)sin(sin)cos

7、0(,),)xxxxdyfdeefefxfyf（16） （本题满分 10 分） 求 .2limn(1)k【答案】数学（一）试题 第 5 页（共 4 页）212211200222limln()ln().ln(1)lil()l.lnn()l()11lnnkkxdxdx A0102()1lnln()21l(l)4dxx（17） （本题满分 10 分） 已知函数 由方程 确定，求 的极值.)(xy320yx)(xy【答案】 ，3方程两边对 求导得： ，x2 33xy令 ，得 .0y2,1当 时 ，当 时 .1xx0y方程两边再对 求导： ，26()30y令 ， ，0y2(31)xy当 ， 时 ，当 ，

8、 时 .11xy6所以当 时函数有极大值，极大值为 1，当 时函数有极小值，极小值为 0.（18） （本题满分 10 分） 设函数 在区间 上具有 2 阶导数，且 ， .证明：()fx0,1()0f()lim0xf（I）方程 在区间 内至少存在一个实根;()数学（一）试题 第 6 页（共 4 页）（II）方程 在区间 内至少存在两个不同实根.2()()0fxfx(,1)【答案】(1) ，由极限的局部保号性， ，又 由0limxf(,)()0cfc使 得 (1)0,f零点存在定理知， ，使得， .(c,1)0f(2)构造 ， ， ，()Ffx0(F()()Ff由拉格朗日中值定理知 ，0li,()

9、,xf10,()ff所以由零点定理知 ，使得 ，()f1(,)01()f所以原方程至少有两个不同实根。11()0,Ff（19） （本题满分 10 分） 设薄片型物体 是圆锥面 被 割下的有限部分，其上任意一点处S2yxzxz的密度为 ，记圆锥面与柱面的交线为 C；29),(yx（I）求 C 在 平面上的投影曲线的方程；O（II）求 S 的质量 M。【答案】(1) 的方程为 ，投影到 平面的方程为：2zxyxoy2(1)0xyz2222(2)(,)9+9+uxyzdSzdSdS2cos2320 8181cosxy 32096cs96()4d（20）(本题满分 11 分)设 矩阵 有 3 个不同的

10、特征值，312(,A312（I）证明： ;)r（II）若 ，求方程组 的解.123Ax数学（一）试题 第 7 页（共 4 页）【答案】 .012,131213 的 特 征 值是， 故， A又 有三个不同的特征值，故 为单根，且 一定能相似对角化.A1.2)(,r（2）由（1） ， 的通解为 ，0AxTk1,2，故有 .321TA1,321， 即).(),为 任 意 常 数的 通 解 为 kkAxTT（21） （本题满分 11 分） 设二次型 在正交变换 下2212313132(,)8fxxaxxQyx的标准形为 ，求 的值及一个正交矩阵 。yQ（21） 【答案】二次型的矩阵 ，aA142因为二

11、次型在正交变换下的标准形为 ，故 有特征值 0，2yA，故 .0A2a由 得特征值为0)6(32144E.0,6,3321解齐次线性方程组 ，求特征向量.xAEi数学（一）试题 第 8 页（共 4 页）对 ， ,得 ；31 015142AE 1对 ， ,得 ；62 712对 ， ,得 ；03 021214AE 13因为 属于不同特征值，已经正交，只需规范化：123,令 ，TTT 1,26,102,1321 所求正交矩阵为 ,对应标准形为 .612310Q2163yf（22） （本题满分 11 分） 设随机变量 与 相互独立，且 的概率分布为 ， 的概XYX10X2PY率密度为 2,01()yf

12、其 他 .（I）求 EP（II）求 的概率密度。ZXY22、 【答案】 （1） ，32d)(10yyfY.942d3032fEP（2） 的分布函数为Z数学（一）试题 第 9 页（共 4 页）)2()21 2210 ,0,)( zF zYPzzYXPYXP XzZzZ ，故 的概率密度函数为Z. 其 它,0321,3,021,0)2()21)( zzzzfzFzfZ（23） （本题满分 11 分） 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n 次测量，该物体的质量 是已知的.设 n 次测量结果 相互独立且均服从正态分布 .该nX,21 ),(2N工程师记录的是 n 次测量的绝对误差

13、 .利用 估),21(iZii nZ21计 .（I）求 的概率密度；iZ（II）利用一阶矩求 的矩估计量；（III）求 的最大似然估计量.【答案】 的分布函数为 ，1 zXPzXPzZzFZ 111)(1.2)(,0;11zFzZ时时所以 的概率密度均为 .i2e,0()()0,zZZfzFz其 他（2） ， 22d2d2 0200122 ttztz eeezEZ令令 ，即 ，得 的矩估计量为：1Z数学（一）试题 第 10 页（共 4 页），其中 .Z2niZ1（3）记 的观测值为 ，当 时，n,1 nz,2 ),21(0nii似然函数为 ，nii znniii eezfL 122211);()( ，nizn12l)2l(l)(ln令 ninizdL121230l ， 得.niZ12的 最 大 似 然 估 计 量 为