正弦定理习题.doc

1、 5.1 包括试卷题型和考点组成、难度、适用年 菁优网 2010-2014 菁优网 5.1 包括试卷题型和考点组成、难度、适用年 一选择题（共 13 小题） 1（ 2013陕西）设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 bcosC+ccosB=asinA，则 ABC 的形状为（ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不确定 2（ 2013陕西）设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 bcosC+ccosB=asinA，则 ABC 的形状为（ ） A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不确定 3（ 2

2、013山东） ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c，若 B=2A， a=1， b= ，则 c=（ ） A B 2 C D 1 4（ 2013辽宁）在 ABC，内角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c asinBcosC+csinBcosA= b，且 a b，则 B=（ ） A B C D 5（ 2013湖南）在锐角 ABC 中，角 A， B所对的边长分别为 a， b若 2asinB= b，则角 A等于（ ） A B C D 6（ 2013北京）在 ABC 中， a=3， b=5， sinA= ，则 sinB=（ ） A B C D 1 7（ 2012广东）

3、在 ABC 中，若 A=60， B=45， ，则 AC=（ ） A B C D 8（ 2010湖北）在 ABC 中， a=15， b=10， A=60，则 cosB=（ ） A B C D 9（ 2009广东）已知 ABC 中， A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 a=c= + ，且 A=75，则 b=（ ） A 2 B 4+2 C 4 2 D 10（ 2007重庆）在 ABC 中， AB= ， A=45， C=75，则 BC=（ ） A B C 2 D 菁优网 2010-2014 菁优网 11（ 2005江苏） ABC 中， A= ， BC=3，则 ABC 的周长为（ ） A

4、4 sin（ B+ ） +3 B 4 sin（ B+ ） +3 C 6sin（ B+ ） +3 D 6sin（ B+ ） +3 12在 ABC 中， sin2Asin2B+sin2C sinBsinC，则 A的取值范围是（ ） A （ 0， B ， ） C （ 0， D ， ） 13 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 b=2， B= ， C= ，则 ABC 的面积为（ ） A 2 +2 B C 2 2 D 1 二填空题（共 15 小题） 14（ 2013浙江） ABC 中， C=90， M 是 BC 的中 点，若 ，则 sin BAC= _ 15（ 2012福

5、建）在 ABC 中，已知 BAC=60， ABC=45， BC= ，则 AC= _ 16（ 2012北京）在 ABC 中，若 a=3， b= ， ，则 C 的大小为 _ 17（ 2011北京）在 ABC 中若 b=5， ， sinA= ，则 a= _ 18（ 2011北京）在 ABC 中若 b=5， ， tanA=2，则 sinA= _ ； a= _ 19（ 2010广东）已知 a， b， c 分别是 ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边，若 a=1， b= ， A+C=2B，则 sinC= _ 20（ 2009湖南）在锐角 ABC 中， BC=1， B=2A，则 的值等于 _ ， A

6、C 的取值范围为 _ 21（ 2008陕西） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 c= ， b= ， B=120，则 a= _ 22（ 2006江苏）在 ABC 中，已知 BC=12， A=60， B=45，则 AC= _ 23（ 2006湖北）在 ABC 中，已知 a= ， b=4， A=30，则 sinB= _ 24（ 2005上海）在 ABC 中，若 A=120， AB=5， BC=7，则 ABC 的面积 S= _ 25（ 2005陕西）已知 ABC 中， ACB=90， BC=3， AC=4，则 AB上的点 P 到 AC、 BC 的距离的乘积的最大值是 _

7、 菁优网 2010-2014 菁优网 26（ 2005北京）在 ABC 中， AC= ， A=45， C=75，则 BC 的长度是 _ 27（ 2004上海）在 ABC 中， a， b， c 分别是角 A， B， C 所对的边， A=105， B=45， b=2 ，则 c= _ 28（ 2003上海） ABC 中，若 sinA： sinB： sinC=2： 3： 4，则 cos2C= _ 三解答题（共 2 小题） 29（ 2013浙江）在锐角 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 2asinB= b （ ）求角 A的大小； （ ）若 a=6， b+c=8，求 A

8、BC 的面积 30（ 2013北京）在 ABC 中， a=3， b=2 ， B=2 A （ ）求 cosA的值； （ ）求 c 的值 菁优网 2010-2014 菁优网 5.1 包括试卷题型和考点组成、难度、适用年 参考答案与试题解析 一选择题（共 13 小题） 1（ 2013陕西）设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 bcosC+ccosB=asinA，则 ABC 的形状为（ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不确定 考点 ： 正弦定理 菁优 网版权所有 专题 ： 解三角形 分析： 由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCc

9、osB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得 sinA=1，可得 A= ，由此可得 ABC 的形状 解答： 解： ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA， 即 sin（ B+C） =sinAsinA，可得 sinA=1，故 A= ，故三角形为直角三角形， 故选 B 点评： 本题主要考查正 弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题 2（ 2013陕西）设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b，

10、 c，若 bcosC+ccosB=asinA，则 ABC 的形状为（ ） A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不确定 考点 ： 正弦定理；三角形的形状判断 菁优网版权所有 专题 ： 计算题；压轴题；解三角形 分析： 直接利用正弦定理以及两角和的正弦函数，化简已知表达式，即可求出 A的正弦函数值，然后求出角 A，即可判断三角形的形 状 解答： 解：因为 bcosC+ccosB=asinA，由正弦定理可得： sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA， 所以 sin（ B+C） =sin2A，即 sinA=sin2A， A为三角形内角，所以 sinA=1， A= 三角形是

11、直角三角形 故选 A 点评： 本题考查正弦定理以及两角和的正弦函数的应用，三角形形状的判断方法，考查计算能力 3（ 2013山东） ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c，若 B=2A， a=1， b= ，则 c=（ ） A B 2 C D 1 考点 ： 正弦定理；二倍角的正弦 菁优网版权所有 专题 ： 解三角形 分析： 利用正弦定理列出关系式，将 B=2A， a， b 的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出 cosA的值，再由 a， b 及 cosA的值，利用余弦定理即可求出 c 的值 解答： 解： B=2A， a=1， b= ， 菁优网 2010-2014

12、 菁优网 由正弦定理 = 得： = = = ， cosA= ， 由余弦定理得： a2=b2+c2 2bccosA，即 1=3+c2 3c， 解得： c=2 或 c=1（经检验不合题意，舍去）， 则 c=2 故选 B 点评： 此题考 查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键 4（ 2013辽宁）在 ABC，内角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c asinBcosC+csinBcosA= b，且 a b，则 B=（ ） A B C D 考点 ： 正弦定理；两角和与差的正弦函数 菁优网版权所有 专题 ： 解三角形 分析： 利用正弦定理化简已知的等式，根据

13、sinB不为 0，两边除以 sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出 sinB的值，即可确定出 B的度数 解答： 解：利用正弦定理化简已知等式得： sinAsinBcosC+sinCsinBcosA= sinB， sinB0， sinAcosC+sinCcosA=sin（ A+C） =sinB= ， a b， A B，即 B为锐角， 则 B= 故选 A 点评： 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键 5（ 2013湖南）在锐角 ABC 中，角 A， B所对的边长分别为 a， b若 2asinB= b，则角 A等于（ ） A B C D

14、 考点 ： 正弦定理 菁优网版权所有 专题 ： 计算题；解三角形 分析： 利用正弦定理可求得 sinA，结合题意可求得角 A 解答： 解： 在 ABC 中， 2asinB= b， 由正弦定理 = =2R 得： 2sinAsinB= sinB， sinA= ，又 ABC 为锐角三角形， A= 故选 D 点评： 本题考查正弦定理，将 “边 ”化所对 “角 ”的正弦是关键，属于基础题 菁优网 2010-2014 菁优网 6（ 2013北京）在 ABC 中， a=3， b=5， sinA= ，则 sinB=（ ） A B C D 1 考点 ： 正弦定理 菁优网版权所有 专题 ： 解三角形 分析： 由

15、正弦定理列出关系式，将 a， b 及 sinA的值代入即可求出 sinB的值 解答： 解： a=3， b=5， sinA= ， 由正弦定理得： sinB= = = 故选 B 点评： 此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键 7（ 2012广东）在 ABC 中，若 A=60， B=45， ，则 AC=（ ） A B C D 考点 ： 正弦定理 菁优网版权所有 专题 ： 计算题 分析： 结合已知，根据正弦定理， 可求 AC 解答： 解：根据正弦定理， ， 则 故选 B 点评： 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题 8（ 2010湖北）在 ABC 中， a=15， b=1

16、0， A=60，则 cosB=（ ） A B C D 考点 ： 正弦定理 菁优网版权所有 分析： 根据正弦定理先求出 sinB的值，再由三角形的边角关系确定 B的范围，进而利用 sin2B+cos2B=1 求解 解答： 解：根据正弦定理 可得， ， 解得 ， 又 b a， B A，故 B为锐角， 菁优网 2010-2014 菁优网 ， 故选 D 点评： 正弦定理可把边的关系转化为角的关系，进一步可以利用三角函数的变换，注意利用三角形的边角关系确定所求角的范围 9（ 2009广东）已知 ABC 中， A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 a=c= + ，且 A=75，则 b=（ ）

17、A 2 B 4+2 C 4 2 D 考点 ： 正弦定理 菁优网版权所有 专题 ： 计算题 分析： 先根据三角形内角和求得 B的值，进而利用正弦定理和 a 的值以及 sin75的 值，求得 b 解答： 解：如图所示在 ABC 中， 由正弦定理得： =4， b=2 故选 A 点评： 本题主要考查了正弦定理的应用正弦定理常用与已知三角形的两角与一边，解三角形；已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形；运用 a： b： c=sinA： sinB： sinC 解决角之间的转换关系 10（ 2007重庆）在 ABC 中， AB= ， A=45， C=75，则 BC=（ ） A B C 2 D 考点 ：

18、 正弦定理 菁优网版权所有 专题 ： 计算题 分析： 结合已知条件，直接利用正弦定理作答 解答： 解： AB= ， A=45， C=75， 由正弦定理得： ， 故选 A 点评： 本题考查了正弦定理 = = =2R，注意 sin75= 11（ 2005江苏） ABC 中， A= ， BC=3，则 ABC 的周长为（ ） A 4 sin（ B+ ） +3 B 4 sin（ B+ ） +3 C 6sin（ B+ ） +3 D 6sin（ B+ ） +3 考点 ： 正弦定理 菁优网版权所有 专题 ： 计算题 分析： 根据正弦定理分别求得 AC 和 AB，最后三边相加整理即可得到答案 菁优网 2010

19、-2014 菁优网 解答： 解：根据正弦定理 ， AC= =2 sinB， AB= =3cosB+ sinB ABC 的周长为 2 sinB+3cosB+ sinB+3=6sin（ B+ ） +3 故选 D 点评： 本题主要考查了正弦定理的应用属基础题 12在 ABC 中， sin2Asin2B+sin2C sinBsinC，则 A的取值范围是（ ） A （ 0， B ， ） C （ 0， D ， ） 考点 ： 正弦定理；余弦定理 菁优网版权所有 专题 ： 计算题 分析： 先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得 cosA的范围，进而求得 A的范围 解答： 解：由

20、正弦定理可知 a=2RsinA， b=2RsinB， c=2RsinC sin2Asin2B+sin2C sinBsinC， a2b2+c2 bc cosA= A A 0 A的取值范围是（ 0， 故选 C 点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆 13 ABC 的内角 A， B， C 的对边 分别为 a， b， c，已知 b=2， B= ， C= ，则 ABC 的面积为（ ） A 2 +2 B C 2 2 D 1 考点 ： 正弦定理；三角形的面积公式 菁优网版权所有 专题 ： 解三角形 分析： 由 sinB， sinC 及 b 的值，利用正弦

21、定理求出 c 的值，再求出 A的度数，由 b， c 及 sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积 解答： 解： b=2， B= ， C= ， 由正弦定理 = 得： c= = =2 ， A= ， sinA=sin（ + ） =cos = ， 菁优网 2010-2014 菁优网 则 S ABC= bcsinA= 22 = +1 故选 B 点评： 此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键 二填空题（共 15 小题） 14（ 2013浙江） ABC 中， C=90， M 是 BC 的中点，若 ，则 sin BAC= 考

22、点 ： 正弦定理 菁优网版权所有 专题 ： 压轴题；解三角形 分析： 作出图象，设出未知量，在 ABM 中，由正弦定理可得 sin AMB= ，进而可得 cos= ，在 RT ACM中，还可得 cos= ，建 立等式后可得 a= b，再由勾股定理可得 c= ，而 sin BAC = ，代入化简可得答案 解答： 解：如图 设 AC=b， AB=c， CM=MB= ， MAC=， 在 ABM 中，由正弦定理可得 = ， 代入数据可得 = ，解得 sin AMB= ， 故 cos=cos（ AMC） =sin AMC=sin（ AMB） =sin AMB= ， 而在 RT ACM 中， cos= = ， 故可得 = ，化简可得 a4 4a2b2+4b4=（ a2 2b2） 2=0， 解之可得 a= b，再由勾股定理可得 a2+b2=c2，联立可得 c= ， 故在 RT ABC 中， sin BAC= = = = ， 故答案为：