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三角函数的应用教案.DOC

1、 三角函数的应用教案 罗湖外语学校初中实验部 徐爱华 教学目标 ( 一 ) 教学知识点 1经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用 2 能够把实际问题转化为数学问题 , 能够借助于计算器进行有关三角函数的计算 , 并能对结果的意义进行说明 ( 二 ) 能力训练要求 发展学生的数学应用意识和解决问题的能力 ( 三 ) 情感与价值观要求 1 在经历弄清实际问题题意的过程中 , 画出示意图 , 培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气 2 选择生活中学生感兴趣的题材 , 使学生能积极参与数学活动 , 提高学 习数学、学好数学的欲望 教学重点 1 经历探索船是否有触礁危险

2、的过程 , 进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用 2 发展学生数学应用意识和解决问题的能力 教学难点 根据题意 , 了解有关术语 , 准确地画出示意图 教学过程 (一)复习旧知 , 引入新课 1 一物体沿坡度为 1 8 的山坡向上移动 65m , 则物体升高了 m 答案: 1 2 在地面上一点 , 测得一电视塔尖的仰角为 45, 沿水平方向 , 再向塔底前进 a m, 又测得塔尖的仰角为 60, 那么电视塔的高为 m www.21-cn- 2 m30 答案 : 1(3 3)2 a3 如图所示 , 在高 2 m, 坡角为 30的楼梯 表面铺地毯 , 地毯的长度至少需要 m 答案 : 2 2

3、3 4创设问题 , 引入新课 海中有一个小岛 A, 该岛四周 10 海里内有暗 礁 今有货轮由西向东航行 , 开始在 A 岛南偏西 55 的 B 处 , 往东行驶 20 海里后 , 到达该岛的南偏西 25 的 C 处 , 之后 , 货轮继续往东航 行 , 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗 ? 你是如何想的 ? 与同伴进行交流 21*cnjy*com (二)讲授新课 1思路点拔 ( 1)我们注意到题中有很多方位 , 在平面图形中 , 方位是如何规定的 ? 应该是 “ 上北下南 , 左西右东 ” ( 2)请同学们根据题意在练习本上画出示意图 , 然后说明你是怎样画出来的 首先我们可将小岛

4、 A 确定 , 货轮 B 在小岛 A 的南偏西 55 的 B 处 , C 在 B 的正东方 ,且在 A 南偏东 25 处 示意图如下 21 世纪教育网版权所有 ( 3)货轮要向正东方向继续行驶 , 有没有触礁的危险 , 由谁来决定 ? 根据题意 , 小岛四周 10 海里内有 暗礁 , 那么货 轮继续向东航行的方向如果到 A 的最短距离大于 10 海里 , 则无触礁的危险 , 如果小于 10 海里则有触礁的危险 A 到 BC 所在直线的最短距离为过 A 作 AD BC, D 为垂足 , 即 AD 的长度 我们需根据题意 , 计算出 AD 的长度 , 然后与 10 海里比较 www-2-1-cnj

5、y-com ( 4)下面我们就来看 AD 如何求 根据题意 , 有哪些已知条件呢 ? 20 2 0 .7 9ta n 5 5 ta n 2 5AD 已知 BC=20 海里 , BAD=55, CAD=25 ( 5)在示意图中 ,有两个直角三角形 Rt ABD 和 Rt ACD你能在哪一个三角形中求出 AD 呢? 在 Rt ACD 中,只知道 CAD=25,不能求 AD 在 Rt ABD 中,知道 BAD=55,虽然知道 BC=20 海里,但它不是 Rt ABD 的边,也不能求出 AD 21*cnjy*com ( 6)那该如何是好?是不是可以将它们结合起来,站在一个更高的角度考虑? 这两个三角形

6、有联系, AD 是它们 的公共直角边 而且 BC 是这两个直角三角形 BD 与CD 的差,即 BC=BD-CD BD、 CD 的对角是已知的, BD、 CD 和边 AD 都有联系 ( 7)有何联系呢? 在 Rt ABD 中,tan55 BDAD, tan 55BD AD;在 Rt ACD 中, tan25 CDAD , tan 25CD AD 利用 BC=BD-CD 就可以列出关于 AD 的一元一次方程,即 ADtan55 -ADtan25 =20 总结:其实,在解决数学问题时,很多地方都可以用到方程,因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一 解:过 A 作 BC 的垂线,交 BC 于

7、点 D 得到 Rt ABD 和 Rt ACD,从而 BD=ADtan55, CD=ADtan25,由 BD-CD=BC,又 BC=20 海里得 ADtan55 -ADtan25 =20 AD( tan55 -tan25) =20, (海里) 这样 AD 20.79 海里 10 海里,所以货轮没有触礁的 危险 2小组合作,探索问题 ( 1)想一想你会更聪明: 接下来,我们再来研究一个问题还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来看他是怎样测的,并根据他得到的数据帮他求出塔的高度 21cnjy 如图,小明想测 量塔 CD 的高 度他在 A 处仰望塔顶,测得仰角为 30,再往塔的方向前进 50m至

8、 B 处测得仰角为 60那么该塔有多高?(小明 的身高忽略不计,结果精确到 1 m) ( 2)思路点拔: 我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中, 30的仰角、 60的仰角分别指哪两个角? 当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角 30的仰角指 DAC, 60的仰角指 DBC 很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路,然后回答 首先,我们可以注意到 CD 是两个直角三角形 Rt ADC 和 Rt BDC 的公共边,在 Rt ADC 中, tan30 CDAC , 即 tan30CDAC , 在 Rt BDC 中, tan60 CDBC , 即 tan60CDBC ,又 AB

9、=AC-BC=50 m,得 50tan 3 0 tan 6 0C D C D 解得 CD 43( m), 即塔 CD 的高度约为 43 m 提出质疑,再探新知: 小明在测角时,小明本身有一个高度,因此在测量 CD 的高度时是否应考虑小明的身高? 在实际测量时,的确应该考虑小明的身高,更准确一点应考虑小明在测量时,眼睛离地面的距离 如果设小明测量时,眼睛离地面的距离为 1.6 m,其他数据不变,此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗? 21 教育网 示意图如图所示,由前面的 解答过程可知 CC 43 m,则 CD=43+1.6=44.6 m即考虑小明的高度,塔的高度为44.6 m 3巩固新知、解

10、决问题: 现在我手里有一个楼梯改造工程问题,想请同学们帮忙解决一下 某商场准备改善原来楼梯的安 全性能,把倾 角由 40减至 35,已知原楼梯长为 4 m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到 0.0l m) 请同学们根据题意,画出示意图,将这个实际问题转化成数学问题,(先独立完成,然后相互交流,讨论各自的想法) 21世纪 *教育网 ( 1)思路点拔 要注意调整前后梯楼的高 度是一个不变 量根据题意可画示意图(如右图)其中 AB表示楼梯的高度 AC 是原楼梯的长, BC 是原楼梯的占地长度; AD 是调整后的楼梯的长度,DB 是调整后的楼梯的占地长度 ACB 是原楼梯的倾

11、角, ADB 是调整后的楼梯的倾角转化为数学问题即为: 21cnjycom 如图, AB DB, ACB=40, ADB=35, AC=4m求 AD-AC 及 DC 的长度 ( 2)解决问题 解:由条件可知,在 Rt ABC 中, sin40 ABAC ,即 AB=4sin40 m,原楼梯占地 长 BC=4cos40 m 调整后,在 Rt ADB 中, sin35 ABAD , 则 4 s in 4 0s in 3 5 s in 3 5ABAD m楼梯占地长 4sin 40tan 35DB m 调整后楼梯加长 4 s i n 4 0 4 0 .4 8s i n 3 5A D A C ( m),

12、 楼梯比原来多占 4 s i n 4 0 4 c o s 4 0 0 . 6 1t a n 3 5D C D B B C ( m) (三)随堂练习 1如图,一灯柱 AB 被 一钢缆 CD 固 定, CD 与地面成 40夹角,且 DB=5 m,现再在C 点上方 2m 处加固另一条钢缆 ED,那么钢缆 ED 的长度为多少? 【来源: 21世纪教育网】 解:在 Rt CBD 中, CDB=40, DB=5 m, sin40 BCDB , BC=DBsin40 =5sin40( m) 2-1-c-n-j-y 在 Rt EDB 中, DB=5 m, BE=BC+EC=2+5sin40( m) 根据勾股定

13、理,得 22 2 25 2 5 s i n 4 0 7 . 9 6D E D B B E ( m) 所以钢缆 ED 的长度为 7.96 m 2如图,水库大坝的截面是梯形 ABCD,坝顶 AD=6 m,坡长 CD=8 m坡底 BC=30 m, ADC=135 【来源: 21cnj*y.co*m】 ( 1)求 ABC 的大小; ( 2)如果坝长 100 m那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到 0.01 m3) 解:过 A、 D 分别作 AE BC, DF BC, E、 F 为垂足 ( 1)在梯形 ABCD 中 ADC=135, FDC=45, EF=AD=6 m在 Rt FDC 中, DC

14、=8 m DF=FC=CD sin45 4 2 ( m) 3 0 4 2 6 2 4 4 2B E B C C F E F ( m) 在 Rt AEB 中, 42AE DF ( m) 4 2 2ta n 0 .3 0 82 4 4 2 6 2AEABC BE ABC 17821 ( 2)梯形 ABCD 的面积: 11 6 3 0 4 2 7 2 222S A D B C A E ( m2) 坝长为 100 m,那么建筑这个大坝共需土石料 1 0 0 7 2 2 1 0 1 8 2 .3 4 ( m3) 综上所述, ABC=17821,建筑大坝共需 10182.34 m3土石料 (四)活动与探究

15、,拓展知识 例题:如图,某货船以 20 海里 /时 的速度将一批 重要物资由 A 处运往正西方向的 B 处,经 16 小时的航行到达,到达后必须立即卸货 此时接到气象部门通知,一台风中心正以 40海里 /时的速度由 A 向北偏西 60方向移动,距台风中心 200 海里的圆形区域(包括边界)均受到影响 【出处: 21 教育名师】 ( 1)问: B 处是否会受到台风的影响?请说明理由 ( 2)为避免受到台风的影响,该船应在多少小时内卸完货物? 过程 这是一道需借助三角知识解决的应用问题,需抓住问题的本质特征在转化、抽象成数学问题上下功夫 【版权所有: 21 教育】 结果 ( 1)过点 B 作 BD

16、 AC垂 足为 D 依题意,得 BAC=30,在 Rt ABD 中, 11 2 0 1 6 1 6 0 1 2 022B D A B , B 处会受到台风影响 ( 2)以点 B 为圆心, 200 海里为半径画圆交 AC 于 E、 F,由勾股定理可求得 DE=120, 160 3AD 1 6 0 3 1 2 0A E A D D E 160 3 120 3.840 (小时) 因此,该船应在 3.8 小时内卸完货物 (五)课时小结 本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际 问题,提高了我们分析和解决实际问题的能力 其实,我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴请同学们阅读“读一读”,了解“三角学”的发展,相信你会对“三角学”更感兴趣 21 教育名师原创作品 习题 1.6 第 1、 2、 3 题

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