第章非线性系统分析参考答案汇总.doc

1、参考答案一、填空题1. 非本质；本质 2. 自持振荡 3. 初始条件；输入信号大小 4. 饱和非线性；死区非线性；间隙非线性；继电器非线性 5. 不稳定 6. 稳定；不稳定；半稳定 7. 自左向右；自右向左二、分析与计算题1. 求 的描述函数。3()ytaxt解：由于 是单值奇函数，所以其傅里叶级数展开式中 A0=0、A 1=0、 1=0，()将 代入 B1 的计算公式，可得()sinxtAt20340320303()sin2sin1co()2s41cos1c22(ss4)881in24ytdtaAtdtaAdtttaAtd31in003ta所以 321()4BaAN2设具有滞环继电器非线性特

2、性的非线性系统结构如题图 8.1 所示，已知b=1，a=0.3，试判断系统是否存在自持振荡，若存在，则求出自持振荡的幅值和频率。r = 0xy c+-10(2).4)syx0- aab- b题图 8.1解：具有滞环的继电器非线性特性的描述函数为 2244()1()j()babNAAa其描述函数负倒数特性为 2()j()()44bb可见，描述函数负倒数特性的虚部为常数 ，即 曲线为一条虚部为 的直线。a1()NA4ab由于 ，所以10()2)(.4)Gss2222210jj(.4j).610(.j08)4).14j(.6)()(10.6)由以上可知， 曲线与 必有交点，而且交点为稳定的，因此会产

3、生自持振荡。1()NAj)G令 ，此时有j() 22221081()44)(.6)()(.abA将 b=1，a=0.3 代入可得 =5.02rad/s，A=0.57。所以，该系统存在自持振荡，振荡的幅值为 0.57，角频率为 =5.02rad/s。3.设具有死区继电器非线性特性的非线性系统结构如题图 8.2 所示，已知 b=3，a=1。试分析系统的稳定性，并求系统不产生自持振荡时 a 与 b 应满足什么关系。r = 0xc+-y 2(0.51)(ssyx0- aab- b题图 8.2解：具有死区继电器非线性特性的描述函数为 24()1()baNAA其描述函数的负倒数特性为 2()()41)ab

4、对上式求导，并令导数等于 0，可知当 时， 有极大值 。将 b=3，a=1Aa(NA2代入，可得当 时， 有极大值 ，即 在负实轴上的最大值为 。2A1()N6) 6由于 ，所以4()0.5Gss2 24(j)(0.5j1)(j.64j(10.5)(10.5)(G令 G(j)的虚部为 0，即 ImG(j) = 0，可得 rad/s。将24(10.5)(2代入到 G(j)的实部，可得 。所以 G(j)2 264Rej) =. 3曲线与负实轴的交点是( ， j0)。43由于 小于 ，所以 G(j)曲线与 曲线必有交点，如题 3 解图所示。令 61()NA，可得 ，解之得 A1=4.9896，A 2

5、=1.0207。由于1(j)GNA2413()AA2=1.0207 小于 ，所以系统在 A2=1.0207 处不稳定，而 A1=4.9896 大于 ，所2 2以系统在 A1=4.9896 处稳定，产生自持振荡。即系统会产生自持振荡，振幅为 4.9896，频率为 1.414 rad/s。I m0R e1()NG ( j )ABC题 3 解图要想使系统不产生自持振荡，只需 G(j)曲线与 曲线没有交点即可，即满足1()NA423ab可得 8当 时，系统不会产生自持振荡。83ab4. 具有理想继电器非线性特性的非线性系统如题图 8.3 所示，已知 b=1。(1) 当 =0时，系统受到扰动后会出现什么

6、样的运动形式？(2) 当 0 时，如果系统输出产生一个振幅为 4、角频率为 1rad/s 的自持振荡，求系统参数 K 和 的值。r = 0xy c+-yx0- bb (1)2se题图 8.3解：(1)理想继电器非线性特性的描述函数为4()bNA其负倒数特性为 1()4b将 b=1 代入可得 ，即 曲线为负实轴。1()4NANA当 =0 时，线性部分的开环幅相频特性为 222j(j1)j43j(1)(1)4KGK令 G(j)的虚部为 0，即 ImG(j) = =0，可得 rad/s。将 代22入到 G(j)的实部，可得 。所以 G(j)曲线与负实223Re(j)=1)(46轴的交点是( ，j0)

7、，如题 4 解图所示。6KI m0R e()NAG ( j )AB题 4 解图所以 G(j)曲线与 曲线必有交点，并且交点坐标与 A 和 K 值有关，并且，当 A1()NA增大时， 曲线将从不稳定区进入稳定区域，所以交点为稳定点，会产生自持振荡。1()因此，系统受到扰动后会产生稳定的自持振荡。(2) 当 0 时，线性部分的开环幅相频特性为 j(j)(1)2KeG由于系统要产生振幅为 4、角频率为 1rad/s 的自持振荡，即 =1rad/s。14()ANbj(j)2110KeK所以 ，K=9.935。10又因为 o(j)57.390arctn1rta0.58G所以 =0.32。5. 判断如题图

8、 8.4 所示的系统是否稳定，是否存在自持振荡。I m0R e1()NAG ( j )ABI m0R e1()NAG ( j )ABI m0R e1()NAG ( j )ABCI m0R e1()NAG ( j )ABC(a) (b) (c) (d)题图 8.4解：(a) G(j)曲线与 曲线有交点 B，但当 A 增大时， 由 G(j)左侧进入1()NA ()右侧，即从稳定区进入不稳定区，所以交点 B 不是稳定工作点，不会产生自持振荡。(b) G(j)曲线与 曲线有交点 B、C 。对于 B 点，当 A 增大时， 由 G(j)() 1()NA左侧稳定区进入右侧不稳定区，所以交点 B 不是稳定工作

9、点，不会产生自持振荡。对于交点 C，当 A 增大时， 由 G(j)右侧不稳定区进入左侧稳定区，所以交点 C 是稳定工1()NA作点，会产生自持振荡。(c) G(j)曲线与 曲线有交点 B、C 。对于 B 点，当 A 增大时， 由 G(j)() 1()NA右侧稳定区进入左侧不稳定区，所以交点 B 不是稳定工作点，不会产生自持振荡。对于交点 C，当 A 增大时， 由 G(j)右侧不稳定区进入左侧稳定区，所以交点 C 是稳定工1()NA作点，会产生自持振荡。(d) G(j)曲线与 曲线有交点 B，但当 A 增大时， 由 G(j)的不稳定区进() 1()NA入稳定区，所以交点 B 是稳定工作点，会产生

10、自持振荡。6. 将题图 8.5 所示的非线性系统化为串联形式，并求出等效的开环传递函数。r = 0 eyc+-yx0- aab- bKs21T-x题图 8.5解：系统结构图的简化如题 6 解图所示。r = 0 eyc+-yx0- aab- bKs21T-xr = 0 eyc+-yx0- aab- bKs21T-xr = 0eyc+yx0- aab- bs2KT- xr = 0 ey+ y x0- a ab- b2KsT-x题 6 解图所以 。2()KsGT7. 设具有死区继电器非线性特性的非线性系统结构如题图 8.6 所示，已知 a=1，b=3。试用描述函数法分析 K 值与系统产生自持振荡的关

11、系，并求 K=3 时自持振荡的振幅和振荡频率。r = 0xc+-y (0.51)(ssyx0- ab- ba题图 8.6解：具有死区继电器非线性特性的描述函数为 24()1()aNAA其描述函数的负倒数特性为 2()()41)ab对上式求导，并令导数等于 0，可知当 时， 有极大值 。将 b=3，a=1Aa(NA2代入，可得当 时， 有极大值 ，即 在负实轴上的最大值为 。2A1()N6) 6由于 ，所以()0.5KGss2 2(j)(0.5j1)(j. (10.5)j(10.5)(K令 G(j)的虚部为 0，即 ImG(j) = ，可得 rad/s。将2.)(2代入到 G(j)的实部，可得

12、。所以 G(j)2 21.5Re(j) =0)3KK曲线与负实轴的交点是( ，j0)，如题 7 解图所示。3KI m0R e1()NAG ( j )ABC题 7 解图当 G(j)曲线与 曲线有交点时，即 时系统产生自持振荡，从而1()NA1(j)GNA可得 时产生自持振荡，解之得 ，所以当 时系统会产生自持振荡。36K2K2当 K=3 时， ，所以21.53Re(j) =10)(2G22()44()()AANba解之得 A1=3.6756，A 2=1.0392。由于 A2=1.0392 小于 ，所以系统在 A2=1.0392 处不稳定，而 A1=3.6756 大于 ，所以系统在 A1=3.67

13、56 处稳定，产生自持振荡。即系统会产生自持振荡，振幅为 3.6756，频率为 1.414 rad/s。所以，当 K=3 时系统的振荡振幅 A=3.6756，振荡频率 rad/s。8. 设非线性系统结构如题 8.7 所示，已知 a1=a2=a3=1，k 1=k2= k3=1，b=1。分析当T=0.5 时系统是否存在自持振荡，如果存在，求出振荡时的振幅和频率，并讨论参数 T 的变化对系统自振的影响。r ( t ) = 0+-x1( t )y1( t )x2( t )+y2( t )yx0- a3a3b- byx0- a1a1k1yx0- a2a2k2y3( t ) 21Tsc ( t )35k题

14、图 8.7解：题中饱和非线性特性和死区非线性特性恰好组成一个 K=1 的比例环节，所以，在已知条件下，系统结构图可以简化，如题 8 解图 1 所示。r ( t ) = 0+-x ( t )yx0- a3a3b- by ( t ) 25)Tsc ( t )题 8 解图 1由此可得系统线性部分的开环幅相频特性为 22j55.5()jjTTG可见，G(j )曲线是一条抛物线。具有滞环的继电器非线性特性的描述函数为 2333244()1()j()abbNAAa其描述函数负倒数特性为 2333()j()()44bb将 a3=b=1 代入可得， ，描述函数负倒数特性的虚部为2111)AN常数 ，即 曲线为

15、一条虚部为 的直线。4()A4G(j)曲线与 曲线如题 8 解图 2 所示，可见 G(j)曲线与 曲线相交，在1 1()NA交点处产生自持振荡。I m0R e1()NAG ( j )AB题 8 解图 2令 G(j)= ，可得 ，解之得 =3.183。将 =3.183 代入到 G(j)可得，1()NA2.5j4。所以 =-0.493，可得 A=1.181。将 A 折合到25Re(j)=0.933.821A输出端，可得输出端的振幅为 。.65由于 ，所以 ， 。可见，T 增大时，振荡2j()jTTG5420频率 增大，同时 减小，相应的 A 减小，即输出端的振幅减小。9. 设非线性系统结构如题图

16、8.8 所示，其中a=1，b=1， ， 。(1) 当 时，分析系统是否存在自持振荡，1()s2()Gs3()1Gs如果存在，求出振荡时的振幅和频率。(2) 当 时，试分析其对系统的影响。3r = 0eyc+-G3( s )G1( s )-xyx0- aab- bG2( s )题图 8.8解: 原系统结构图可以简化为如题 9 解图 1 的形式。r = 0ey+231()()Gss-xyx0- aab- b题 9 解图 1(1) 当 G3(s)=1 时，将 ， 代入，可得线性部分的传递函数为1()s2()Gs12(1)所以 2323223424342j( ()(j) j(j1)j()+)+()+具

17、有死区继电器非线性特性的描述函数为24()1()baNAA其描述函数的负倒数特性为 2()()41)ab对上式求导，并令导数等于 0，可知当 时， 有极大值 。将 a=1，b=1Aa(NA2代入，可得当 时， 有极大值 ，即 在负实轴上的最大值为 。2A1()N2) 2令 G(j)的虚部为 0，即 ImG(j) = ，可得 rad/s。将 代入342(0+11到 G(j)的实部，可得 。所以 G(j)曲线与负实轴的交243Re(j)1()点是( -2，j0) 。由于-2 小于 ，所以 G(j)曲线与 曲线必有交点。令 G(j)= ，可得2()NA1()NA，即 ，解之得 A1=2.29，A 2

18、=1.11。由于 A2=1.11 小于 ，1()NA241A 2所以系统在 A2=1.11 处不稳定，而 A1=2.29 大于 ，所以系统在 A1=2.29 处稳定，产生自持振荡。即系统会产生自持振荡，振幅为 2.29，频率为 1 rad/s。(2) 当 G3(s)=s 时，线性部分的传递函数为 1232()()Gss所以 222 2(j)(j) jj1(1)(1) 显然， 0Rej=Im(j)=0G， ， ；1()02， ， ； jI(j)， ， 。I m0R e1()NAG ( j )A11- 1- 2- 1- 1 . 5 72题 9 解图 2可见，G(j )曲线与 曲线没有交点，如题 9

19、 解图 2 所示，所以系统不存在自持振荡，1()NA并且 G(j)曲线不包围 曲线，系统稳定。10. 二阶系统的运动方程为 ，试用等倾线法绘制系统的相轨迹。0x解：系统的微分方程可以化为 dxdx令 ，则可以得到等倾线方程为dx x所以 。表明等倾线是过相平面原点的一簇直线。令 ，即等倾线的斜1x 1率用 表示。解表 8-1 列出了取不同 值时等倾线的斜率 和等倾线与 x 轴的夹角 。解表 8-1 题 10 中不同 取值所对应的等倾线的斜率 和等倾线与 x 轴的夹角 -3.75 -2.19 -1.58 -1.18 -0.82 -0.42 0.19 1.75 0.36 0.84 1.73 5.6

20、7 -5.67 -1.73 -0.84 -0.36 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180可得系统的等倾线如题 10 解图所示。x = - 3 . 7 5 = - 2 . 1 9 = - 1 . 5 8 = - 1 . 1 8 = - 0 . 8 2 = - 0 . 4 2 = 0 . 1 9 = 1 . 7 5x题 10 解图11. 求系统运动方程 的全部平衡点及其相轨迹。sin0x解：先求平衡点，令 ，可得 。sin0x所以系统的平衡点为 。令(12)ek， ， ()sinfxx， 0241()coco0 35eeeefxx ， ， ， ， ， ， ()0efx， ，所以原方程等效为 24135ex ， ， ，在奇点x e ，0的邻域内，可将相轨迹方程线性化为(024)， ， 0x其特征方程 的解为 ， ，所以奇点x e ，0为中心211j2j(024)x， ，点。在奇点x e ，0的邻域内，可将相轨迹方程线性化为(35)， ， 0其特征方程 的解为 ， ，所以奇点x e ，0 为鞍210121(135)x， ，点。所以，平衡点分布及其附近的相轨迹如题 11 解图所示。