1、随机信号分析第一章1.2.3.4.5.6.7.8. 设随机试验 的分布律为X求 的概率密度和分布函数，并给出图形。X解： )0.210.520.3iiifxpxxxx（ ).iiiFuuuu（9.10. 设随机变量 的概率密度函数为 ，X()xfxae求:(1) 系数 ；（2）其分布函数。a解：（1）由 ()1fxd00() 2x xxfxdaeaededa 所以 12a（2） 1()2xxtFftded所以 的分布函数为X1,021,xxeFx11.12.13. 若随机变量 与 的联合分布律为XY求：（1） 与 的联合分布函数与密度函数；（2） 与XY X的边缘分布律；（3） 的分布律；（4
2、） 与YZXY的相关系数。解：（1）, ,0.7,10.8,0.15,1832,.2,ijijijFxypuxyuuxyxyux , ,0.7,10.8,0.15,1832,.2,ijijijfxypxyxyxyxyy （2） 的分布律为（ ）XiijjP0.70.18.50.41326P的分布律为Y10.7.08.15.8.32.10.5.0.5PY（3） 的分布律为ZXY111,0.800,0.4.32.7111,0PZPXYPXYPZXYPXY（4）因为 0.410.6.051.350.2EY10.80.72.1X则 ov,0.12.60.20CXYEXYEXY与 的相关系数 ，可见它们
3、无关。XYXY14.15. 设随机变量 ， 且相互独立， 0,1N0,1N。UXYV（1） 随机变量 的联合概率密度 ；,V,UVfuv（2） 随机变量 与 是否相互独立？U解：（1）随机变量 的联合概率密度为,XY2 21, ,xyXYfxyexR由反函数 ， ， 2uvxvy1122J2 241, ,uvUVXYfuvfxyJeR由于, （3）2 2 24 4 41112uv u veee 2, ,UVUVfuvfufvuvR所以随机变量 与 相互独立。16.17.18.19.20. 已知对随机变量 与 ，有 ， ，XY1EX3Y， ， ，又设 ()4DX()16D0.5X， ，试求 ，
4、， ，3UY2VUV()DU和 。()V(,)CovU（ ）22DE解：首先， 2 2()()5EXDEX。2 2()()YY又因为 ()(,) 7XYECovXYEYD于是 (3)36EUEXY225VXYE2222()()3()96()76DUYUEY222 22()() ()4()5VEVXYEVEXYEV22()(3)()570UVYXYEX(,)() 4CovUVEV21.22.23. 已知随机变量 服从 上的均匀分布。随机变X0,a量 服从 上的均匀分布，试求Y,a（1） ；(),(0)Ea（2） Y解：（1）对 有，0,xa()2XEY（2） /23()24aXaEYYXEa24
5、.25. 设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目服从（参数为 ）泊松分布。进舱后每个粒子造成N损坏的概率为 p，彼此独立。求：造成损坏的粒子平均数目。解：每个粒子是否造成损坏用 表示iX1, 1,2,0iXiN 造 成 损 坏没 有 造 成 损 害 造成损坏的粒子数 ，于是1NiiYX11(|)(|)|niiniiEYNEnXNn可合理地认为 和 是独立的，于是i1(|)niiEYNEXnp()(|)YNpNp27 若随机变量 X 的概率特性如下，求其相应的特征函数： （1） 为常数 c，即 ； 1Pc（2）参数为 2 的泊松分布；（3） （1，1）伯努利分布：()0.4(1)0.6(1)
6、fxxx（4）指数分布：30(),0xef其 他解：（1） ，()jvXjvcjvcXvEee如果 c=0，则 。()1Xv（2） 00 01()!jvjvjvXjvkXkkjvkjvk keevEeeP （3） 11()0.40.6.40.6jvjvXjv jvjvXEee （4） 3(3)0 0()jvXjvxxjvxXveddjv 28. 随机变量 彼此独立；且特征函数分别为123,X，求下列随机变量的特征函数：123(),(),()vv（1） ； 12XX（2） ； 123（3） ； （4） ； 123410XX解：（1） 1212()()jvXXvEev（2） 123XX同（1） ， 123()()()vv（3） 123XX123()()()vv（4） 12324100123()()(4)jvXev29. 随机变量 X 具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值、均方值与方差。（1） ； 2424()0.30.0.0.1jvjvjvjvveeee （2） ； .7jvjv（3） ； ()4/()vj（4） ； sin5/v解：（1） 1()ikjvxiivpe1kiiifxpx2424()0.30.0.0.jvjvjvjvv ee .3.0.20.14fxxxx
