高中空间立体几何典型例题.doc

1、 1 如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1中，侧面对角线 AB1， BC1上分别有两点 E， F，且 B1E=C1F. 求证： EF平面 ABCD. 证明 方法一 分别过 E， F作 EM AB 于 M， FN BC 于 N，连接 MN. BB1平面 ABCD， BB1 AB， BB1 BC， EM BB1， FN BB1， EM FN. 又 B1E=C1F， EM=FN， 故四边形 MNFE是平行四边形， EF MN. 又 MN 平面 ABCD， EF 平面 ABCD， 所以 EF平面 ABCD. 方法二 过 E 作 EG AB 交 BB1于 G， 连接 GF，则BBGBABEB 1

2、111 ， B1E=C1F， B1A=C1B， BBGBBCEC 1111 ， FG B1C1 BC， 又 EG FG=G， AB BC=B， 平面 EFG 平面 ABCD， 而 EF 平面 EFG， EF 平面 ABCD. 2 已知 P为 ABC所在平面外一点， G1、 G2、 G3分别是 PAB、 PCB、 PAC 的重心 . （ 1）求证：平面 G1G2G3平面 ABC； （ 2）求 S321 GGG S ABC. （ 1） 证明 如图所示，连接 PG1、 PG2、 PG3并延长分别与边 AB、 BC、AC 交于点 D、 E、 F， 连接 DE、 EF、 FD，则有 PG1 PD=2 3

3、， PG2 PE=2 3， G1G2 DE. 又 G1G2不在平面 ABC内， G1G2平面 ABC.同理 G2G3平面 ABC. 又因为 G1G2 G2G3=G2， 平面 G1G2G3平面 ABC. （ 2） 解 由（ 1）知PEPGPDPG 21 =32， G1G2=32DE. 又 DE=21AC， G1G2=31AC. 同理 G2G3=31AB， G1G3=31BC. G1G2G3 CAB，其相似比为 1 3， S321 GGG S ABC=1 9. 3 如图所示，已知 S是正三角形 ABC 所在平面外的一点，且 SA=SB=SC，SG 为 SAB上的高， D、 E、 F 分别是 AC、

4、 BC、 SC的中点，试判断 SG与平面 DEF的位置关系，并给予证明 . 解 SG平面 DEF，证明如下： 方法一 连接 CG交 DE 于点 H， 如图所示 . DE 是 ABC的中位线， DE AB. 在 ACG 中， D是 AC 的中点， 且 DH AG. H 为 CG的中点 . FH 是 SCG的中位线， FH SG. 又 SG平面 DEF， FH 平面 DEF， SG平面 DEF. 方法二 EF为 SBC的中位线， EF SB. EF平面 SAB， SB 平面 SAB， EF平面 SAB. 同理可证， DF平面 SAB， EF DF=F， 平面 SAB平面 DEF，又 SG 平面 S

5、AB， SG平面 DEF. 5 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、 F、 G、 H分别是 BC、 CC1、 C1D1、 A1A的中点 .求证： （ 1） BF HD1； （ 2） EG平面 BB1D1D； （ 3） 平面 BDF 平面 B1D1H. 证明 （ 1）如图所示，取 BB1的中点 M，易证四边形 HMC1D1是平行四边形， HD1 MC1. 又 MC1 BF， BF HD1. （ 2）取 BD的中点 O，连接 EO， D1O， 则 OE 21DC， 又 D1G 21DC， OE D1G， 四边形 OEGD1是平行四 边形， GE D1O. 又 D1O 平面 BB1

6、D1D， EG平面 BB1D1D. （ 3）由（ 1）知 D1H BF，又 BD B1D1， B1D1、 HD1 平面 HB1D1， BF、BD 平面 BDF，且 B1D1 HD1=D1， DB BF=B，平面 BDF平面 B1D1H. 6 如图所示，四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形 . （ 1）求证： AB平面 EFGH， CD平面 EFGH. （ 2）若 AB=4， CD=6，求四边形 EFGH周长的取值范围 . （ 1） 证明 四边形 EFGH为平行四边形， EF HG. HG 平面 ABD， EF平面 ABD. EF 平面 ABC，平面 ABD平

7、面 ABC=AB， EF AB. AB平面 EFGH. 同理可证， CD平面 EFGH. (2)解 设 EF=x（ 0 x 4），由于四边形 EFGH为平行四边形， 4xCBCF. 则6FG=BCBF=BCCFBC=1-4x. 从而 FG=6- x23. 四边形 EFGH的周长 l=2(x+6- x23)=12-x. 又 0 x 4,则有 8 l 12, 四边形 EFGH周长的取值范围是（ 8， 12） . 7 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， O 为底面 ABCD的中心， P是 DD1的中点，设 Q是 CC1上的点，问：当点 Q在什么位置时，平面 D1BQ平面 PAO？ 解

8、 当 Q 为 CC1的中点时， 平面 D1BQ平面 PAO. Q 为 CC1的中点， P为 DD1的中点， QB PA. P、 O 为 DD1、 DB 的中点， D1B PO. 又 PO PA=P， D1B QB=B， D1B平面 PAO， QB平面 PAO， 平面 D1BQ平面 PAO. 8 正方形 ABCD与正方形 ABEF所在平面相交于 AB，在 AE、 BD 上各有一点 P、 Q，且 AP=DQ. 求证： PQ平面 BCE. 证明 方法一 如图所示，作 PM AB交 BE 于 M，作 QN AB交 BC于 N，连接 MN. 正方形 ABCD和正方形 ABEF有公共边 AB， AE=BD

9、. 又 AP=DQ， PE=QB， 又 PM AB QN， AEPEABPM，BDBQDCQN，DCQNABPM， PM QN， 四边形 PMNQ为平行四边形， PQ MN. 又 MN 平面 BCE， PQ 平面 BCE， PQ平面 BCE. 方法二 如图所示，连接 AQ，并延长交 BC 于 K，连接 EK， AE=BD， AP=DQ， PE=BQ， PEAP=BQDQ 又 AD BK，BQDQ=QKAQ 由得PEAP=QKAQ， PQ EK. 又 PQ平面 BCE， EK 平面 BCE， PQ平面 BCE. 方法三 如图所示，在平面 ABEF内，过点 P作 PM BE，交 AB 于点 M，

10、连接 QM. PM BE， PM平面 BCE， 即 PM平面 BCE， PEAP=MBAM 又 AP=DQ， PE=BQ， PEAP=BQDQ 由得MBAM=BQDQ， MQ AD， MQ BC，又 MQ 平面 BCE， MQ平面 BCE. 又 PM MQ=M，平面 PMQ平面 BCE， PQ 平面 PMQ， PQ平面 BCE. 8 如下的三个图中 ,上面的是一个长方体截 去一个角所得多面体的直观图 ,它的正视图和左视图在下面画出 (单位 :cm). (1)在正视图下面 ,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图 ; (2)按照给出的尺寸 ,求该多面体的体积 ; (3)在所给直观图中连接 BC

11、,证明 :BC平面 EFG. (1)解 如图 (1)所示 . 图（ 1） (2)解 所求多面体体积 V=V 长方体 -V 正三棱锥 =4 4 6-31 (21 2 2) 2=3284(cm3). (3)证明 如图 (2),在长方体 ABCD A B C D中 , 连接 AD ,则 AD BC . 因为 E,G 分别为 AA ,A D的中点 , 所以 AD EG,从而 EG BC . 又 BC 平面 EFG, 图（ 2）所以 BC面 EFG. 9.如图所示，正四棱锥 P ABCD 的各棱长 均为 13， M， N分别为 PA，BD 上的点，且 PM MA=BN ND=5 8. （ 1）求证：直线

12、 MN平面 PBC； （ 2）求线段 MN的长 . （ 1） 证明 连接 AN并延长交 BC 于 Q， 连接 PQ，如图所示 . AD BQ， AND QNB， NQAN=NBDN=BQAD=58， 又MAPM=NDBN=85， MPAM=NQAN=58， MN PQ， 又 PQ 平面 PBC， MN 平面 PBC， MN平面 PBC. （ 2） 解 在等边 PBC中， PBC=60， 在 PBQ 中由余弦定理知 PQ2=PB2+BQ2-2PB BQcos PBQ =132+ 2865-2 1386521=642818， PQ=891， MN PQ， MN PQ=8 13， MN=891138

13、=7. 10 在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， M， N分别是 AB， PC 的中点， 求证： MN平面 PAD 证明： 方法一，取 PD 中点 E，连接 AE， NE 底面 ABCD 是平行四边形， M， N 分别是 AB， PC 的中点， MA CD， .21CDMA E 是 PD的中点， NE CD， .21CDNE MA NE，且 MA NE， AENM 是平行四边形， MN AE 又 AE 平面 PAD， MN 平面 PAD， MN平面 PAD 方法二取 CD 中点 F，连接 MF， NF MF AD， NF PD， 平面 MNF平面 PAD， MN平面 P

14、AD 11 在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 AC， AB AC，求证： A1C BC1 【分析】 要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明 A1C垂直于经过 BC1的平面即可 证明： 连接 AC1 ABC A1B1C1是直三棱柱， AA1平面 ABC， AB AA1 又 AB AC， AB平面 A1ACC1， A1C AB 又 AA1 AC， 侧面 A1ACC1是正方形， A1C AC1 由，得 A1C平面 ABC1， A1C BC1 12 在三棱锥 P ABC 中，平面 PAB平面 ABC， AB BC， AP PB，求证：平面 PAC平面 PBC 【分析】 要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又 可以通过“线线垂直”进行转化