第2讲初一相交线与平行线动点提高题压轴题.doc

1、 第 1 页（共 13 页） 第 2 讲 相交线与平行线 动点 提高题 知识点： 1、 平行线的判定： 同位角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。 2、推论： 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 3、 平行线的性质： 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。 4、平移：平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。对应点的线段平行且相等。 平移： 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。 对应点： 平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动

2、后得到的，这样的两个点叫做对应点。 动点型问题是最近几年中考的一个热点题型， 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 ,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目 .解决这类问题的关键是动中求静 ,灵活运用有关数学知识解决问题 . 关键 :动中求静 .在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路 ,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 典型例题 例 1.（ 1）如图（ 1）， EF GF，垂足为 F， AEF=150， DGF=60 试判断 AB 和 CD的位置关系，并说明理由 （ 2）如图（ 2）， AB DE， ABC=70， CDE=147， C=_（直接

3、给出答案） （ 3）如图（ 3）， CD BE，则 2+ 3- 1=_（直接给出答案） （ 4）如图（ 4）， AB CD， ABE= DCF，求证： BE CF 解（ 1）： AB CD 理由：如答图，过点 F 作 FH AB，则 AEF+ EFH=180 AEF=150， EFH=30， 又 EF GF， HFG=90 -30 =60 又 DGF=60， HFG= DGF， HF CD， 第 2 页（共 13 页） 则 AB CD； （ 2）延长 ED 交 BC 于点 F AB DE， BFE= ABC=70，则 CFE=180 - BFD=110， C= CDE- CFE=147 -11

4、0 =37， 故答案是： 37； （ 3）延长 DC 交 AB 于点 F，作 ACF 的外角 4 CD BE， DFB= 3， 又 DFB+ 2+ 4=360， 2+ 3+ 4=360，即 2+ 3=360 - 4 2+ 3- 1=360 - 4- 1=360 -180 =180， 故答案是： 180； （ 4）延长 BE 交直线 CD 于点 G AB CD， ABE= BGD， 又 ABE= DCF， BGF= DCF， BE CF 例 2.平面内 的 两条直线 有 相交 和 平行两种位置关系 （ 1） 如 图 1 若 AB CD 点 P 在 AB、 CD 外部 求证： BPD= B- D；

5、 （ 2） 将 点 P 移 到 AB、 CD 内部 如 图 2 （ 1） 中的 结论 是 否 成 立 若 成 立 说明理由：若不成 立 则 BPD、 B、 D 之 间 有 何数量关系 不 必说明理由； （ 3） 在 图 2 中 将 直线 AB 绕点 B 逆 时 针 方 向旋转 一 定角度交直线 CD 于点 Q 如 图 3 则BPD、 B、 D、 BQD 之 间 有 何数量关系 并证明 你的 结论； （ 4） 在 图 4 中 若 A+ B+ C+ D+ E+ F+ G=n 90 则 n=_ 解（ 1） AB CD， B= BOD， 而 BOD= BPD+ D， B= BPD+ D， 即 BPD=

6、 B- D； （ 2）（ 1）中的结论不成立， BPD= B+ D 作 PQ AB，如图 2， AB CD， AB PQ CD， 第 3 页（共 13 页） 1= B， 2= D， BPD= B+ D； （ 3） BPD= B+ D+ BQD理由如下： 连结 QP 并延长到 E，如图 3， 1= B+ BQP， 2= D+ DQP， 1+ 2= B+ BQP+ D+ DQP， BPD= B+ D+ BQD； （ 4）连结 AG，如图 4， B+ F= BGA+ FAG， A+ B+ C+ D+ E+ F+ G= A+ FAG+ C+ D+ E+ BAG+ G=（ 5-2） 180 =6 90，

7、 n=6 故答案为 6 例 3.如图，直线 AC BD，连结 AB，直线 AC、 BD 及线段 AB 把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。当动点 P 落在某个部分时，连结 PA、 PB，构成 PAC、 APB、 PBD 三个角。 (提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 0 ) (1)当动点 P落在第部分时，求证： APB PAC PBD； (2)当动点 P落在第部分时， APB PAC PBD 是否成立 (直接回答成立或不成立 )？ (3)当动点 P 落在第部分时，全面探究 PAC、 APB、 PBD 之间的关系，并写出动点 P的具体位置和相应的结论。选择其中一种结论加

8、以证明。 （ 1）解法一：如图 9-1 延长 BP 交直线 AC 于点 E ACBD , PEA = PBD . APB = PAE + PEA , APB = PAC + PBD . 解法二：如图 9-2 过点 P 作 FPAC , PAC = APF . ACBD , FPBD . FPB = PBD . APB = APF + FPB = PAC + PBD . 解法三：如图 9-3， AC BD , CAB + ABD = 180 即 PAC + PAB + PBA + PBD = 180. 又 APB + PBA + PAB = 180, APB = PAC + PBD . （ 2）

9、不成立 . （ 3） (a)当动点 P 在射线 BA 的右侧时，结论是 PBD=PAC+APB . (b)当动点 P 在射线 BA 上， 结论是 PBD =PAC +APB . 或 PAC = PBD +APB 或 APB = 0 ， PAC =PBD （任写一个即可） . (c) 当动点 P 在射线 BA 的左侧时， A B A B A B P (第 5 题图 ) C D C D C D 第 4 页（共 13 页） 结论是 PAC =APB +PBD . 选择 (a) 证明： 如图 9-4，连接 PA， 连接 PB 交 AC 于 M ACBD , PMC = PBD . 又 PMC =PAM

10、 +APM , PBD =PAC +APB . 选择 (b) 证明：如图 9-5 点 P 在射线 BA 上， APB = 0. ACBD , PBD =PAC . PBD =PAC +APB 或 PAC = PBD+ APB 或 APB = 0 ， PAC =PBD . 选择 (c) 证明： 如图 9-6，连接 PA，连接 PB 交 AC 于 F AC BD , PFA =PBD . PAC =APF +PFA , 考点训练 一选择题 1将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（ 1） 1= 2；（ 2） 3= 4；（ 3） 2+ 4=90；（ 4） 4+ 5=180，其中正确的

11、个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【分析 】根据两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，及直角三角板的特殊性解答 解：纸条的两边平行， （ 1） 1= 2（同位角）； （ 2） 3= 4（内错角）； （ 4） 4+ 5=180（同旁内角）均正确； 又直角三角板与纸条下线相交的角为 90， （ 3） 2+ 4=90，正确 故选： D 2如图， A0B 的两边 OA， OB 均为平面反光镜， A0B=40在射线 OB 上有一点 P，从 P点射出一束光线经 OA上的 Q点反射后，反射光线 QR恰好与 OB平行，则 QPB的度数是（ ） A 60 B 80 C 100 D 120

12、【分析】根据两直线平行，同位角相等、同旁内角互补以及平角的定义可计算即可 解： QR OB， AQR= AOB=40， PQR+ QPB=180； AQR= PQO， AQR+ PQO+ RQP=180（平角定义）， PQR=180 2 AQR=100， QPB=180 100 =80 故选： B 3如图，直线 l1 l2， A=125， B=85，则 1+ 2=（ ） 第 5 页（共 13 页） A 30 B 35 C 36 D 40 【分析】过点 A 作 l1的平行线，过点 B 作 l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得 3= 1， 4= 2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出 CA

13、B+ ABD=180，然后计算即可得解 解：如图，过点 A 作 l1的平行线，过点 B 作 l2的平行线， 3= 1， 4= 2， l1 l2， AC BD， CAB+ ABD=180， 3+ 4=125 +85 180 =30， 1+ 2=30 故选： A 4如图，把矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，若 1=20，则 2=（ ） A 80 B 70 C 40 D 20 【分析】过 G 点作 GH AD，则 2= 4，根据折叠的性质 3+ 4= B=90，又 AD BC，则HG BC，根据平行线性质得 1= 3=20，所以 2 4=90 20 =70 解：过 G 点作 GH AD，如图， 2

14、= 4， 矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠， 3+ 4= B=90， AD BC， HG BC， 1= 3=20， 4=90 20 =70， 2=70 故选 B 5如图，已知 DE 由线段 AB 平移得到的，且 AB=DC=4cm， EC=3cm，则 DCE 的周长是（ ） A 9cm B 10cm C 11cm D 12cm 6如图，将 ABC 沿 BC 方向平移 2cm 得到 DEF，若 ABC 的周长为 16cm，则四边形ABFD 的周长为（ ） 第 6 页（共 13 页） A 16cm B 18cm C 20cm D 22cm 二填空题 1.如图，计划把河水引到水池 A 中，先作 A

15、B CD，垂足为 B，然后沿 AB 开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短 【 分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短 解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短， 沿 AB 开渠，能使所开的渠道最短 故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短 2用等腰直角三角板画 AOB=45，并将三角板沿 OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转 22，则三角板的斜边与射线 OA 的夹角为 22 度 【分析】由平移的性质知， AO SM，再由平行线的性质可

16、得 WMS= OWM，即可得答 案 解：由平移的性质知， AO SM， 故 WMS= OWM=22； 故答案为： 22 3如图，直线 AE BD，点 C 在 BD 上，若 AE=4， BD=8， ABD 的面积为 16，则 ACE 的面积为 8 【分析】根据两平行线间的距离相等，可知两个三角形的高相等，所以根据 ABD 的面积可求出高，然后求 ACE 的面积即可 解：在 ABD 中，当 BD 为底时，设高为 h， 在 AEC 中，当 AE 为底时，设高为 h， AE BD， h=h， ABD 的面积为 16， BD=8， h=4 第 7 页（共 13 页） 则 ACE 的面积 = 4 4=8

17、三解答题 1如图，已知， l1 l2， C1在 l1上，并且 C1A l2， A 为垂足， C2， C3是 l1上任意两点，点 B在 l2上设 ABC1的面积为 S1， ABC2的面积为 S2， ABC3的面积为 S3，小颖认为 S1=S2=S3，请帮小颖说明理由 【分析】根据两平行线间的距离相等，即可解答 解：直线 l1 l2， ABC1， ABC2， ABC3的底边 AB 上的高相等， ABC1， ABC2， ABC3这 3 个三角形同底，等高， ABC1， ABC2， ABC3这些三角形的面积相等 即 S1=S2=S3 2如图，已知 AB CD， BE 平分 ABC， DE 平分 ADC

18、， BAD=80，试求： （ 1） EDC 的度数； （ 2）若 BCD=n，试求 BED 的度数 【分析】（ 1）由 AB 与 CD 平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由 DE 为角平分线，即可确定出 EDC 的度数； （ 2）过 E 作 EF AB，则 EF AB CD，利用两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义求得 BEF 的度数，根据平行线的性质求得 FED 的度数，则 BED 即可求解 解：（ 1） AB CD， ADC= BAD=80， 又 DE 平分 ADC， EDC= ADC=40； （ 2）过 E 作 EF AB，则 EF AB CD AB CD， ABC=

19、BCD=n， 又 BE 平分 ABC， ABE= n， EF AB， BEF= ABE= n， EF CD， FED= EDC=40， BED= n +40 3 ABC 在如图所示的平面直角中，将其平移后得 A B C，若 B 的对应点 B的坐标是（ 4， 1） 第 8 页（共 13 页） （ 1）在图中画出 A B C； （ 2）此次平移可看作 将 ABC 向 左 平移了 2 个单位长度，再向 下 平移了 1 个单位长度得 A B C； （ 3） A B C的面积为 10 【分析】（ 1）根据“ B 的对应点 B的坐标是（ 4， 1）”的规律求出对应点的坐标，顺次连接即可 （ 2）通过作图可

20、直接得到答案是：向左平移 2 个单位长度，向下平移 1 个单位长度 （ 3）平移后的面积与原面积相同，可用补全法求面积 解：（ 1）如图 （ 2）向左平移 2 个单位长度，向下平移 1 个单位长度（平移的顺序可颠倒） （ 3）把 ABC 补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得 A B C的面积 = ABC的面积为 =24 4 4 6=10 作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；确定图形中的关键点；利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形 4实验证明，平

21、面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等 （ 1）如图，一束光线 m 射到平面镜 a 上，被 a 反射到平面镜 b 上，又被 b 反射若被 b 反射出的光线 n 与光 线 m 平行，且 1=38，则 2= 76 ， 3= 90 （ 2）在（ 1）中，若 1=55，则 3= 90 ；若 1=40，则 3= 90 （ 3）由（ 1）、（ 2），请你猜想：当两平面镜 a、 b 的夹角 3= 90 时，可以使任何射到平面镜 a 上的光线 m，经过平面镜 a、 b 的两次反射后，入射光线 m 与反射光线 n 平行你能说明理由吗？ 【分析】（ 1）根据入射角与反射角相

22、等，可得 1= 5， 7= 6，根据邻补角的定义可得4=104，根据 m n，所以 2=76， 5=38，根据三角形内角和为 180，即可求出答案； （ 2）结合题（ 1）可得 3 的度数都是 90； （ 3）证明 m n，由 3=90，证得 2 与 4 互补即可 第 9 页（共 13 页） 解：（ 1）入射角与反射角相等，即 1= 5， 7= 6， 又 1=38， 5=38， 4=180 1 5=104， m n， 2=180 4=76， 6=（ 180 76） 2=52， 3=180 6 5=90； （ 2）由（ 1）可得当 1=55和 1=40时， 3 的度数都是 90； （ 3） 3=

23、90， 6+ 5=90， 又由题意知 1= 5， 7= 6， 2+ 4=180（ 7+ 6） +180（ 1+ 5）， =360 2 5 2 6， =360 2（ 5+ 6）， =180 由同旁内角互补，两直线平行， 可知： m n 故答案为： 76， 90 90， 90 90 5如图，已知直线 l1 l2， l3、 l4和 l1、 l2分别交于点 A、 B、 C、 D，点 P 在直线 l3或 l4上且不与点 A、 B、 C、 D 重合记 AEP= 1， PFB= 2， EPF= 3 （ 1）若点 P 在图（ 1）位置时，求证： 3= 1+ 2； （ 2）若点 P 在图（ 2）位置时，请直接写

24、出 1、 2、 3 之间的关系； （ 3）若点 P 在图（ 3）位置时，写出 1、 2、 3 之间的关系并给予证明 【分析】此题三个小题的解题思路是一致的，过 P 作直线 l1、 l2的平行线，利用平行线的性质得到和 1、 2 相等的角，然后结合这些等角和 3 的位置关系，来得出 1、 2、 3的数量关系 证明：（ 1）过 P 作 PQ l1 l2， 由两直线平行，内错角相等，可得： 1= QPE、 2= QPF； 3= QPE+ QPF， 3= 1+ 2 （ 2）关系 ： 3= 2 1； 过 P 作直线 PQ l1 l2， 则： 1= QPE、 2= QPF； 3= QPF QPE， 3=

25、2 1 （ 3）关系： 3=360 1 2 过 P 作 PQ l1 l2； 同（ 1）可证得： 3= CEP+ DFP； CEP+ 1=180， DFP+ 2=180， CEP+ DFP+ 1+ 2=360， 第 10 页（共 13 页） 即 3=360 1 2 6如图，直线 CB OA， C= OAB=100， E、 F 在 CB 上，且满足 FOB= AOB， OE 平分COF （ 1）求 EOB 的度数； （ 2）若平行移动 AB，那么 OBC： OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值 （ 3）在平行移动 AB 的过程中，是否存在某种情况，

26、使 OEC= OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由 【分析】（ 1）根据两直线平行，同旁内角互补求出 AOC，然后求出 EOB= AOC，计算即可得解； （ 2）根据两直线平行，内错角相等可得 AOB= OBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 OFC=2 OBC，从而得解； （ 3） 根据三角形的内角和定理求出 COE= AOB，从而得到 OB、 OE、 OF 是 AOC 的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解 解：（ 1） CB OA， AOC=180 C=180 100 =80， OE 平分 COF， COE= EOF， FOB= AOB， EOB= EOF+ FOB= AOC= 80 =40； （ 2） CB OA， AOB= OBC， FOB= AOB， FOB= OBC， OFC= FOB+ OBC=2 OBC， OBC： OFC=1： 2，是定值； （ 3）在 COE 和 AOB 中， OEC= OBA， C= OAB， COE= AOB， OB、 OE、 OF 是 AOC 的四等分线， COE= AOC= 80 =20， OEC=180 C COE=180 100 20 =60， 故存在某种情况，使 OEC= OBA，此时 OEC= OBA=60