1、最短路径（将军饮马）问题与拓展相关定理或公理：线段公理：两点之间，线段最短。由此可以推出两边之和大于第三边；垂线段性质：垂线段最短。问题提出：唐朝诗人李欣的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。 ”诗中隐隐含着一个有趣的数学问题。如图，将军在观望烽火后从山脚下的 A 点出发，走到河边饮马后再走到 B 点的营地。怎样走才能使总的路程最短？模型【1】一定直线，异侧两定点已知：直线 l 和它异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PAPB 最小模型【2】一定直线，同侧两定点已知：直线 l 和它同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PAPB 最小模型【3】两定直线
2、，两定点已知：MON 内部有两点 P、Q ，在 OM、ON 上分别作点 A、B ，使四边形 PQBA 周长最小模型【4】两定直线，一定点已知：MON 内部有一点 P 在 OM、ON 上分别作点 A、B，使PAB 周长最小lB lB MO NPQ MO NP模型【5】两定直线，一定点已知：MON 内部有一点 P 在 OM、ON 上分别作点 A、B，使 ABPB 最小注意：模型 4 与模型 5 的联系与区别变式：线段之差最大问题模型【6】一定直线，同侧两定点已知：直线 l 和它同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使PA PB最大模型【7】一定直线，异侧两定点已知：直线 l 和它同侧两点
3、A、B，在直线 l 上求作一点 P，使PA PB最大造桥选址问题利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。原题再现如图 1，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN。桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥与河垂直）。（人教版八年级上册第 86 页）MO NPlAB lAB变式拓展模型【8】一定直线及直线上一长度不变的线段，同侧两定点已知：直线 l 和它同侧两点 A、B，在直线求作一条线段 CD（长度不变） ，使 ACCD DB 最小巩固练习1、如图，在四边形 ABCD 中，BD90，BAD110，在 BC 上存在一点 M，
4、在 CD 上存在点 N，使AMN 的周长最短，则MAN 的度数为 ；2、如图，RtABC 中，BC3，AC4 ，AB5， BD 平分BAC ，点 E、F 分别为 BD、BC 上的动点，连接 CE、EF ，则 CEEF 的最小值是_3、如图，若 AP4，CAB 30，在 AB 上有一动点 M，AC 上有一动点 N，则 PMN 周长的最小值是_4、如图，ABC 在平面直角坐标系中，且 A(1，3) 、B(4，1)、若 M（a- 1，0） 、N（a，0） ，当 BMMNNA 最小时，直接写出 a 的值是_几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某
5、些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1特殊位置与极端位置法；2几何定理(公理) 法；3数形结合法等lDBC第 1 题图DCBA BACP DCABEF例 1、如图，ABC 是等边三角形，边长为 6，ADBC，垂足是点 D，点 E 为直线 AD 上一点，以 CE 为边作等边三角形 CEF，则 DF 的最小值是_练习：1、 如图，ABC 是等边三角形，边长为 6， 点 D 为 BC 中点，点 E 为直线 BC 上一点，以 AE 为边作等边三角形 AEF，则 DF 的最小值是_2、 平面直角坐标系中，C(0 ，4) ，K (2，0)，A 为 x 轴上一动点，连接 AC，将 AC 绕 A 点顺时针旋转 90得到 AB，当点 A 在 x 轴上运动，BK 取最小值时，点 B 的坐标为 FDAB CEFDCABExy BKCOA
