1、第三节 随机变量的协方差和相关系数协方差相关系数协方差矩阵相关系数矩阵原点矩、中心矩前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（ X， Y），我们除了讨论 X与 Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述 X和 Y之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的协方差和相关系数E X-EXY-EY称为随机变量 X和 Y的协方差 ,记为 cov(X,Y) ， 即 一、协方差cov(X,Y)=EX-EXY-EY=EXY-EXEY1.定义1) 当 (X,Y)是离散型随机变量时 ,2) 当 (X,Y)是连续型随机变量时 ,(6) cov(X1+X2,Y)= cov(X1,Y) + cov(X2,Y) (
2、5) cov(aX, bY) = ab cov(X,Y) a, b 是常数(7) D(XY)=D(X)+D(Y)2cov(X,Y)(4) cov(aX+b, Y) = a cov(X,Y) a, b 是常数2.简单性质(3) cov(X,Y)= cov(Y,X)(2) cov(X,X)= D(X)(1) cov(X,C)= 0, C为常数；协方差的大小在一定程度上反映了 X和 Y相互间的关系，但它还受 X与 Y本身度量单位的影响 . 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了 相关系数 .二 、相关系数为随机变量 X 和 Y 的相关系数 .定义 : 设 D(X)0, D(Y)0, 称在不
3、致引起混淆时 ， 记 为 .相关系数的性质：证 : 由方差的性质和协方差的定义知 ,对任意实数 b, 有0D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b cov(X,Y )令 ，则上式为D(Y- bX)= 由于方差 D(Y)是正的 ,故必有1 0, 所以 | 1。存在常数 a,b(b0)， 使 PY= a + b X=1，即 X 和 Y 以概率 1 线性相关 .3. X和 Y独立时， =0，但其逆不真 .由于当 X和 Y独立时， cov(X,Y)= 0, 故= 0但由 并不一定能推出 X和 Y 独立 .例 1 设 XN(0,1), Y=X2, 求 X和 Y的相关系数。证 :4. 若 ，则 称 X和 Y（线性）不相关。定理： 若随机变量 X与 Y的数学期望和方差都存在，且均不为零，则下列四个命题等价：（ 1） ； （ 2） cov(X ,Y) = 0； （ 3） E(XY)=EXEY；（ 4） D(X Y)=DX+DY。 注： 反应了 X与 Y的线性关系密切程度； X与 Y不相关表明两者没有线性关系，但不等于说没有其他关系。
