1、第五章 . 解线性代数方程组的直接方法1.引言（一般有限步内得不到精确解）解线性方程组的两类方法 ：直接法 : 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差 !)迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。2. Gauss (高斯 )消去法相当于第 i个方程 -第一个方程 数 新的第 i方程 同解！第一方程不动！ Gauss 消去法计算过程在 A(1):b(1)中 ,红方框中的元素是要化为 0的部分； A(2):b(2)中 ,红方框中的元素全部已发生变化 ,故上标由 (1)改 (2).即对增广阵进行初等行变换 :(i=2,3, ,n)(i,j=2,3, ,n
2、)(i=2,3, ,n)(i=2,3, ,n)第 k次消元 (1kn-1)设第 k-1次消元已完成 ,且 0,此时增广矩阵如下 :本次消元的目的是对框内部分作类似第一次消元的处理 ,消掉第 k+1个方程到第 n个方程中的 xk项 ,即把 到 化为零 .计算公式如下 :(i=k+1, ,n) (i,j=k+1, ,n)(i=k+1, ,n)(i=k+1, ,n)只要 0,(k=1,2, ,n-1)消元过程就可以进行下去 .当 k=n-1时 ,消元过程完成 ,得 :它的方阵部分 A(n)是一个上三角形矩阵 ,它对应的方程组是一个上三角形方程组 ,只要 0,就可以回代求解公式为 :(i=n-1,n-2, ,1)综合以上讨论 ,高斯消元法解线性方程的公式为 :1 消元 令 (i,j=1,2, ,n)(i=k+1,k+2, ,n)(i,j=k+1,k+2, ,n)(i=k+1,k+2, ,n)2 回代 ,若 0(i=n-1,n-2, ,1) 对 k=1到 n-1,若 0 ,进行 :(i=k+1,k+2, ,n)
