1、Logistic 方程的一些应用摘 要：Logistic 方程是荷兰生物学家 Verhulst 在 19 世纪中叶提出的著名的人口模型。本文首先通过这一人口模型介绍了 Logistic 方程，然后简单讨论这一方程在技术革新及传染病模型中的应用。 关键词：Logistic 方程；增长率；日接触率 1 Logisitic 方程的介绍及在人口模型中的应用 Logistic 方程是荷兰生物学家 Verhulst 在 19 世纪中叶提出的，它不仅能够大体上描述人口及许多物种数量的变化规律，而且在经济、管理、传染病学等领域也有着广泛的应用。因为由这一方程建立的模型能够描述一些事物符合逻辑的客观规律，所以称
2、它为 Logistic 方程。最初的人口模型是英国著名人口学家 Malthus 调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口增长率 r 不变的假设，并据此建立了著名的人口增长模型 （1） 其中 N=N（t）表示时刻 t 的人口数量，N0 是初始时刻人口的数量，很容易解出 （2） 当 r0 时， （1）式表示人口数量按指数规律随时间无限增长。但从长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长。实际情况是人口增长到一定数量以后，增长速度就会慢下来。因为自然资源、环境条件等因素对人口的增长都会起到阻滞作用，而且随着人口的增加，这种阻滞作用会越来越大，所以人口增长率 就不应该是个常量，应该随人口数量的增加而
3、变小。不妨令 ，其中 Nm 是自然资源和环境条件所容纳的最大人口数量，r 为固有增长率。可以看到当 N=Nm 时，人口就不再增长，即r（Nm）=0。于是得到人口的阻滞增长模型（Logistic 模型） （3） rN 体现人口自身的增长趋势，因子 则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。若以 N 为横轴，dN/dt 为纵轴，方程（3）的图形（图 1） ，可以看到人 图 1 图 2 口增长速度 dN/dt 随 N 的变化趋势先快后慢，当 N=Nm/2 时增长速度最快。方程（3）可以用分离变量法求得 （图 2） ，是平面上一条 S 形曲线，人口增长速度先快后慢，当 t时，NNm，拐点在 N=Nm/2
4、 处。这个模型描绘的人口变化趋势与实际情况基本符合，而方程（3）称为Logistic 方程，方程右端带有阻滞增长因子。 2 Logistic 方程在技术革新推广中的应用 社会的进步离不开技术的进步创新，对于一项新技术在该领域中推广一直是经济学家和社会学家关注的问题。假设在某一社会中某领域共有 Nm 个企业，初始时刻有 N0 家企业采用了一项新技术，N（t）表示 t时刻采用新技术的企业数量， 那么这项技术如何推广到该领域中的其它企业，其它企业将以怎样的速度接受该技术呢？在推广过程中我们可以认为，对于一个尚未采用新技术的企业家来说，只有当采用新技术的企业家对他谈论了该技术后，他才有可能会采纳。那么
5、在 t 到 t+t 这段时间内，新增的企业数量N 应该与之前已采纳新技术的企业数量N（t）和还不知道这项技术的企业数量 Nm-N（t）成正比，即 其中 c 为比例系数，它与人们接受新事物的能力，新技术转化为生产力等方面有关 当t0 时，得 （4） （5） 方程（4）为技术革新推广的 Logistic 模型，从方程（4）中还可以看到，企业家采用这一新技术的速度是先快后慢，当数量未达到 Nm/2 时，接纳的速度越来越快，到达 Nm/2 后速度开始减慢，直到趋向于零，最终所有的企业都进行了技术革新，淘汰旧技术，采用新技术。 3 Logistic 方程在传染病学中的简单应用 随着科技的进步、卫生设施的
6、改进、医疗水平的提高以及人们对自身健康的关注，曾经一些全球肆虐的传染病像天花、霍乱已得到控制，但一些新的、变异的传染病悄悄地向人类袭来。像上世纪的艾滋病、2003 年 SARS、今年的 H7N9 禽流感病毒，给我们的生命和财产都带来了极大的危害。因此建立传染病模型，分析感染人数的变化规律是一个有必要的工作。在这里我们建立关于传染病传播的简单模型。 假设在疾病传播期内所考察地区的总人数 N 不变，不考虑出生、死亡、迁移。人群分为易感者和已感染者，以下称为健康人和病人。t 时刻这两类人在总人数中所占比例分别记作 s（t）和 i（t） ，每个病人每天有效接触人数为常数 ， 称为日接触率。那么从 t
7、到 t+t 时间段内新增病人人数为 Ni（t+t）-i（t）=Ns（t）i（t）t s（t）+i（t）=1 整理得到 当t0 时，得 （6） 它的解为 （7） 其中 i0 为初始时刻病人所占比例。 由方程（6）及其解（7）同样可以看到 i=1/2 时，病人增加得最快，可以认为是医院门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，此时 ，当有效接触数 越小，这一天来临得就越晚，所以为了推迟这一天的到来，可以通过改善卫生环境、提高医疗水平、对患者作必要的隔绝来降低 的值。另外一方面，从（7）可以看到当 t时，i1 即所有人都会感染，显然不符合实际。这是因为我们没考虑病人会被治愈，考虑到这一因素，只需要在
8、方程（6）的右端再减去一个因子 i（ 表示日治愈率）即可，在这里我们就不讨论。 由于 Logistic 方程能够反映出一些事物本身符合逻辑的规律，它在社会、经济、科学研究中都有着重要的作用，非常值得我们去深入研究。参考文献： 1 龚德恩，范培华.微积分M.北京：高等教育出版社，2008. 2 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第 3 版）M.北京：高等教育出版社，2004. 3周宇虹.Logistic 方程及其应用J.工程数学，1996（12）：18-21. 4 徐荣辉.逻辑斯蒂方程研究及应用J.忻州师范学院学报，2011，27（5）：28-30. 本论文受郑州大学西亚斯国际学院微积分精品课程建设资助。
