初中数学九大几何模型.doc

1、初中数学九大几何模型1、 手拉手模型-旋转型全等（1 ） 等边三角形【条件】：OAB 和OCD 均为等边三角形；【结论】：OACOBD；AEB=60；OE 平分AED（2）等腰直角三角形【条件】：OAB 和OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：OACOBD；AEB=90；OE 平分AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形OABCDE图 1OABCDE图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OABCDEOABCDE图 1图 2【条件】：OAB 和OCD 均为等腰三角形；且COD=AOB【结论】：OACOBD；AEB=AOB；OE 平分AED2、 模型二：手拉手模型-旋转型相似（1）一般情况【条件

2、】：CDAB，将OCD 旋转至右图的位置【结论】：右图中OCDOABOACOBD；延长 AC交 BD于点 E，必有BEC=BOA（2）特殊情况【条件】：CDAB，AOB=90将OCD 旋转至右图的位置【结论】：右图中OCDOABOACOBD；延长 AC交 BD于点 E，必有BEC=BOA；OABCDOABCDEOABCD EOABCD tanOCD；BDAC；OABCD连接 AD、BC，必有 ；22CDB BDAC21SB3、模型三、对角互补模型（1）全等型-90【条件】：AOB=DCE=90；OC 平分AOB【结论】：CD=CE；OD+OE= OC；2 2OCEDCE1SS证明提示：作垂直，

3、如图 2，证明CDMCEN过点 C作 CFOC，如图 3，证明ODCFEC当DCE 的一边交 AO的延长线于 D时（如图 4）：以上三个结论：CD=CE；OE-OD= OC；2 2OCDE1S（2）全等型-120【条件】：AOB=2DCE=120；OC 平分AOB【结论】：CD=CE；OD+OE=OC； 2OCEDCE43SSOBCE图 AOBEMN图 2AOBCDEF图 3AOBCDEMN图 4证明提示：可参考“全等型-90”证法一；如右下图：在 OB上取一点 F，使 OF=OC，证明OCF 为等边三角形。（3）全等型-任意角 【条件】：AOB=2，DCE=180-2；CD=CE；【结论】：

4、OC 平分AOB；OD+OE=2OCcos； cosinOCSS2EOCDE 当DCE 的一边交 AO的延长线于 D时（如右下图）：原结论变成： ； ； 。可参考上述第种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。AOBCEF AOBCEFFAO BEDCAO B ECD对角互补模型总结：常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；注意 OC平分AOB 时，CDE=CED=COA=COB 如何引导？4、模型四：角含半角模型 90（1）角含半角模型 90-1【条件】：正方形 ABCD；EAF=45；【结论】：EF=DF+BE

5、；CEF 的周长为正方形 ABCD周长的一半；也可以这样：【条件】：正方形 ABCD；EF=DF+BE；【结论】：EAF=45；AOBCDEABCDEFABCDEFG（2）角含半角模型 90-2【条件】：正方形 ABCD；EAF=45；【结论】：EF=DF-BE；（3）角含半角模型 90-3【条件】：RtABC；DAE=45；【结论】： （如图 1）22DECB若DAE 旋转到ABC 外部时，结论 仍然成立（如图 2）2DECBABCDEFABCDEFABCDEFABCDEABCDEF（4）角含半角模型 90变形【条件】：正方形 ABCD；EAF=45；【结论】：AHE 为等腰直角三角形；证明

6、：连接 AC（方法不唯一）DAC=EAF=45，DAH=CAE，又ACB=ADB=45；DAHCAE， AECHDAHEADC，AHE 为等腰直角三角形模型五：倍长中线类模型（1）倍长中线类模型-1【条件】：矩形 ABCD；BD=BE；DF=EF；【结论】：AFCF模型提取：有平行线 ADBE；平行线间线段有中点 DF=EF；ABCDE ABCDEFABCDGHFEABCDGHFEABCEFDHABEFDH可以构造“8”字全等ADFHEF。（2）倍长中线类模型-2【条件】：平行四边形 ABCD；BC=2AB；AM=DM；CEAB；【结论】：EMD=3MEA辅助线：有平行 ABCD，有中点 AM

7、=DM，延长 EM，构造AMEDMF，连接 CM构造等腰EMC，等腰MCF。 （通过构造 8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）模型六：相似三角形 360旋转模型（1）相似三角形（等腰直角）360旋转模型-倍长中线法【条件】：ADE、ABC 均为等腰直角三角形；EF=CF；【结论】：DF=BF；DFBF辅助线：延长 DF到点 G，使 FG=DF，连接 CG、BG、BD，证明BDG 为等腰直角三角形；突破点：ABDCBG；难点：证明BAO=BCGABCDMEABCDMEFAEBDFCABDFCG（2）相似三角形（等腰直角）360旋转模型-补全法【条件】：ADE、ABC 均为等腰直角三角形；E

8、F=CF；【结论】：DF=BF；DFBF辅助线：构造等腰直角AEG、AHC；辅助线思路：将 DF与 BF转化到 CG与 EF。（3）任意相似直角三角形 360旋转模型-补全法【条件】：OABODC；OAB=ODC=90；BE=CE；【结论】：AE=DE；AED=2ABO辅助线：延长 BA到 G，使 AG=AB，延长 CD到点 H使 DH=CD，补全OGB、OCH 构造旋转模型。转化 AE与 DE到 CG与 BH，难点在转化AED。AEBDFCAEBDFCHGOABDCEOABDCEG H（4）任意相似直角三角形 360旋转模型-倍长法【条件】：OABODC；OAB=ODC=90；BE=CE；【结论】：AE=DE；AED=2ABO辅助线：延长 DE至 M，使 ME=DE，将结论的两个条件转化为证明AMDABO，此为难点，将AMDABC 继续转化为证明ABMAOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在证明ABM=AOD模型七：最短路程模型（1）最短路程模型一（将军饮马类）总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决；特点：动点在直线上；起点，终点固定OABDCEOABDCEMABBPl+BAPQBl2l1+APQBBlAPQBl12A+A+